Limite dune suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le
Terminale S. Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com ... L'objectif de cet exercice est de déterminer la limite de cette suite u.
Fiche BAC 02 Terminale S Calcul des limites de Suites numériques
?n. Exercice n°2. 1 ère partie : On considère la suite définie par : u0=0 et pour tout entier n : un+1=?2un+3 a) A l'aide de votre calculatrice
Suites 1 Convergence
2. Calculer unq et unq+1. En déduire que la suite (un) n'a pas de limite. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000524]. Exercice 6. Soit Hn = 1+.
Exercices supplémentaires : Suites
3) Montrer que converge et déterminer sa limite. Exercice 5. La suite est définie par. 2. 3. 1) Montrer que est majorée par 6.
Limite dune suite Exercices Partie 1 - Terminale S Corrigés en
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Terminale S - Limite de suites - ChingAtome
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TS Exercices sur les suites 1 Exercice 1 : Déterminer la limite de
1) Vérifier que u1 = 2 v1 = 3.Calculer u2 et v2. 2) a) Etudier le sens de variation de chaque suite. b) Comparer un et vn et en
DS 3 Terminale S Limites de suites Le Mardi 15 octobre 2019
Exercice 1 ( 3 points ):. Pour chacune des informations suivantes dire si elle est vraie ou fausse et justifier votre réponse : Soit (un) une suite de
TS Exercices sur les suites
1Exercice 1 :
Déterminer la limite de chaque suite (un)n ³1. a) un = 1 n sin p n b) un = (-1) n n c) un = n+1 n d)0,5n + cos(np)
Exercice 2 : la constante d'Apéry
Pour tout entier n ³ 1, un = 1
13 + + 1
23 + .... + 1
n3 1)Donner un minorant de cette suite.
2) Déterminer le sens de variation de la suite (un). 3) Montrer que, pour tout entier n ³ 1, un £ 2 - 1 n. 4) a) Justifier que la suite (un) converge. b) Que peut-on dire de sa limite ?Exercice 3
(un) est la suite définie sur V* par u n = n n² + 1 + n n² + 2 + .... + n n² + n = ∑ k=1n n n² + k a)Calculer u1, u2 et u3.
b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant un ? Quel est le plus petit de ces termes ? Quel est le plus grand ? c) En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, n² n² + n £ un £ n² n² + 1TS Exercices sur les suites
2Exercice 4 : Suites mêlées
Soit a un réel et les suites (un) et (vn) définies par u0 = a, v0 = - 3 4 a et pour tout pour tout n de u n+1 = 15(un + 4vn) et vn+1 = 1
5(3un + 2vn)
1) A l'aide d'un tableur ou d'un autre logiciel, conjecturer le comportement des deux suites à l'infini.Semble-t-il dépendre de la valeur de a ?
2) Emettre une conjecture sur la suite (wn) définie sur V par wn = 3un + 4vn.Démontrer cette conjecture.
3) En déduire vn en fonction de un puis exprimer un+1 en fonction un seulement. 4)En déduire les limites de (un) et (vn).
Exercice 5 : Approximation de e
On pose, pour n appartenant à V* : un = 1 + 1
1! + 1
2! + 1
3! + ..... + 1
n! et vn = un + 1 n´n! 1)Vérifier que u1 = 2, v1 = 3.Calculer u2 et v2.
2) a) Etudier le sens de variation de chaque suite. b) Comparer u n et vn et en déduire que la suite (un) est majorée par v1 et la suite (u n) minorée par (u1). c) En déduire que ces suites convergent et montrer qu'elles ont la même limite l.3) Pour n fixé dans V* on pose, f(x) =
1! + x²2! + ... + x
n n!e-x et g(x) = f(x) + x n! pour 0 £ x £ 1. a) Calculer f(0) et vérifier que f(1) = u n´e-1. b) Etudier les variations de f et g sur [0 ;1] et en déduire que pour tout n³ 1, e - e
n! £ un £ e. c) En déduire la valeur exacte de l et justifier que pour tout n de V*, u n £ e£ vn.
d) Ecrire puis programmer un algorithme qui affiche un encadrement de eà une précision 10
-k (k Î V*) ainsi que la plus petite valeur de n pour laquelle il est obtenu. Qu'obtient-t-on pour k = 6 ? k = 12 ?TS Exercices sur les suites
CORRECTION
3 Exercice 1 :
Déterminer la limite de chaque suite (un)n ³1. a) un = 1 n sin p n b) un = (-1) n n c) un = n+1 n d)0,5n + cos(np)
a) On a pour n > 0, -1 £ sin p n £ 1Donc -
1 n£ un £ 1
nOr lim
n = lim 1 n = 0Donc selon le théorème des gendarmes lim u
n = 0Exercice 2 : la constante d'Apéry
Pour tout entier n ³ 1, un = 1
13 + + 1
23 + .... + 1
n3 1)Donner un minorant de cette suite.
2) Déterminer le sens de variation de la suite (un). 3) Montrer que, pour tout entier n ³ 1, un £ 2 - 1 n. 4) a) Justifier que la suite (un) converge. b) Que peut-on dire de sa limite ?1) 0 est un minorant évident de un.
2) un+1 - un = 1
(n + 1)3 > 0Donc (u
n) est croissante.3) Montrons par récurrence que u
n £ 2 - 1 n.Soit P
n la proposition un £ 2 - 1 n. u1 = 1 £ 2 - 1
1Donc P
1 est vraie.
TS Exercices sur les suites
CORRECTION
4Supposons Pn vraie pour entier n fixé.
u n+1 = un + 1 (n+1)3L'hypothèse de récurrence au rang n donne :
u n £ 2 - 1 nOn a donc u
n+1 £ 2 - 1 n + 1 (n + 1)3Or Comme -
1 n£ 0 alors 2 - 1
n + 1 (n + 1)3 £ 2 - 1 (n + 1)3Donc u
n+1 £ 2 - 1 (n + 1)3.Donc la proposition P
n+1 est vraie. Donc selon le principe de récurrence, la proposition P n est héréditaireOn a donc bien pour n
³ 1, un £ 2 - 1
n. u n £ 2 - 1 n £ 2La suite (u
n) est croissante et majorée par 2.Donc la suite (u
n) est convergente.Pour n
³ 1, on a 0 £ un £ 2 - 1
nComme (u
n) est convergente, en faisant tendre n vers l'infini, on a : 0£ lim un £ 2.
Remarque : la limite de la suite (u
n) se nomme la constante d'Apéry du nom d'un mathématicien qui a montré que cette limite est un nombre irrationnel. lim (u n) » 1,20205690.TS Exercices sur les suites
CORRECTION
5 Exercice 3
(un) est la suite définie sur V* par u n = n n² + 1 + n n² + 2 + .... + n n² + n = ∑ k=1n n n² + k a)Calculer u1, u2 et u3.
b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant un ? Quel est le plus petit de ces termes ? Quel est le plus grand ? c) En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, n² n² + n £ un £ n² n² + 1 d)Déterminer alors la limite de la suite (un).
a) u1 = 11² + 1 = 1
2 u 2 = 22² + 1 + 2
2² + 2 = 2
5 + 2 6 = 2 5 + 13 = 2´3 + 1´5
15 = 11
15 u 3 = 33² + 1 + 3
3² + 2 + 3
3² + 3 = 3
10 + 3
11 + 3
12 = 181
220b) un est définie par une somme de n termes.
Le plus petit de ces termes est
n n² + nLe plus grand de ces termes est
n n² + 1 c) Pour 1 £ k £ n, on a n²+ 1 £ n²+ k £ n² + nEt par suite,
1 n² + n£ 1
n² + k £ 1 n² + 1 (car la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; + En multipliant membre à membre par l'entier naturel n > 0, on obtient : n n² + n£ n
n² + k £ n n² + 1Et en sommant pour k = 1 à n, on obtient :
n² n² + n k=1n n n² + k£ n²
n² + 1Soit finalement l'encadrement demandé :
n² n² + n£ un £ n²
n² + 1TS Exercices sur les suites
CORRECTION
6 d) n² n² + n = 1 1 + 1 n et n² n² + 1 = 1 1 + 1 n² e)Donc limn®+ ¥ n²
n² + n = 1 et limn®+ ¥ n² n² + 1 = 1 Donc d'après le théorème des gendarmes, on obtient lim n®+ ¥ un = 1.Exercice 4 : Suites mêlées
Soit a un réel et les suites (un) et (vn) définies par u0 = a, v0 = - 3 4 a et pour tout pour tout n de u n+1 = 15(un + 4vn) et vn+1 = 1
5(3un + 2vn)
1) A l'aide d'un tableur ou d'un autre logiciel, conjecturer le comportement des deux suites à l'infini.Semble-t-il dépendre de la valeur de a ?
2) Emettre une conjecture sur la suite (wn) définie sur V par wn = 3un + 4vn.Démontrer cette conjecture.
3) En déduire vn en fonction de un puis exprimer un+1 en fonction un seulement. 4)En déduire les limites de (un) et (vn).
1) a -6 n u(n) v(n)0 -6 4,5
1 2,4 -1,8
2 -0,96 0,72
3 0,384 -0,288
4 -0,1536 0,1152
5 0,06144 -0,04608
6 -0,024576 0,018432
7 0,0098304 -0,0073728
80,00393216 0,00294912
9 0,00157286
0,00117965
100,00062915 0,00047186
a 1 n u(n) v(n)0 1 -0,75
1 -0,4 0,3
2 0,16 -0,12
3 -0,064 0,048
4 0,0256 -0,0192
5 -0,01024 0,00768
6 0,004096 -0,003072
7 -0,0016384 0,0012288
8 0,00065536
0,00049152
90,00026214 0,00019661
10 0,00010486
-7,8643E- 05TS Exercices sur les suites
CORRECTION
7 Il semble que lim un = lim vn = 0 quelle que soit la valeur de a.TS Exercices sur les suites
CORRECTION
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