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MATRICES EXERCICES CORRIGES - Maurimath
MATRICES EXERCICES CORRIGES Exercice n° 1 On considère la matrice 1 6 8 4 0 7 3 11 22 17 01 8 A ? = 1) Donner le format de A 2) Donner la valeur de chacun des éléments a14 a23 a33et a32 3) Ecrire la matrice transposée Atde A et donner son format Exercice n° 2
Comment calculer la matrice de passage?
La matrice A est donc semblable à diag ( 1, 2, ? 4) diag ( 1, 2, ? 4), la matrice de passage étant P = ( 1 4 2 1 3 ? 3 1 ? 2 2). P = ? ? ? 1 4 2 1 3 ? 3 1 ? 2 2 ? ? ?.
Quel est le coefficient de la spé maths ?
Le programme reprend les programmes de seconde et de première sans introduire de notion nouvelle, afin de consolider le travail des classes précédentes. En Terminale, le programme de la spé maths se corse encore un peu. Avec 6h de cours par semaine (contre 4h en première), le coefficient passe à 16 !
Comment passer la spé maths en terminale ?
Si vous décidez de garder la spé maths en terminale: vous êtes évalué (e) par une épreuve finale ( coeff 16!) et au grand oral du bac au moins un de vos sujets sera lié au mathématiques. Cette épreuve se déroule au printemps et comporte 3 à 5 exercices portant sur le programme de terminale.
Comment calculer l'existence d'une matrice?
Pour prouver l'existence d'une matrice B telle que B 3 = A, l'idée est de d'abord faire la même chose avec D. Mais si M = ( 1 0 0 ? 2) alors on a M 3 = D. Posons B = P M P ? 1. Alors B 3 = P M 3 P ? 1 = P D P ? 1 = A. Remarquons que l'énoncé de l'exercice ne demande pas de calculer B ...
ExercicesLes matrices2012-2013
Spécialité Mathématiques
Term ES
Utiliser l"inverse d"une matrice pour résoudre un systèmed"équations & courbes polynomialesExercice 1: Dans une ferme, il y a des lapins et des poules. On dénombre 58 têtes et 160 pattes.
Combien y a-t-il de lapins de moins que de poules?Solution:
On c hoisitles deux inconn ues:
-xle nombre de lapins; -yle nombre de poules. Le nombre de têtes étant de 58, on a l"égalité : x+y= 58 Le nombres de pattes étant de 160, on a l"égalité :4x+ 2y= 160
On obtient ainsi le système :?x+y= 58
4x+ 2y= 160
C esystème p eutse traduire sous la forme matricielle AX=Bavec :A=?1 1
4 2? ,X=?x y? etB=?58 160?Il reste à v érifierque la matrice du système A est in versible,auquel cas on aurait :
AX=B??X=A-1B
A la calculatrice, on obtient :
A -1=?-1 0,52-0,5?
On effectue le calcul :
X=A-1B=?-1 0,5
2-0,5?
×?58
160??-1×58 + 0,5×160
2×58-0,5×160?
?22 36?Doncx= 22ety= 36.
Finalement, il y a36-22 = 14lapins de moins que de poules.Exercice 2: Stères de bois D"après BAC Pro Maintenance de matériels 2008Pour mesurer la quantité de bois de chauffage, on utilise comme unité le stère. Lorsqu"un stère
de bois est coupé en bûches, il occupe un volume qui dépend de la longueur de coupe comme indiqué
ci-dessous : un stère de bûc hesde longueur 1 mètre o ccupeun v olumede 1m3;Géraldine MénéxiadisPage 1 / 5
ExercicesLes matrices2012-2013
Spécialité Mathématiques
Term ES
un stère de bûc hesde longueur 0,5 mètre o ccupeun v olumede 0,8m3; un stère de bûc hesde longueur 0,33 mètre o ccupeun v olumed"en viron0,68m3.Pour une longueur L de bûches donnée, le nombre de stèresnest proportionnel au volume V occupé
par le bois rangé. Le coefficient de proportionnalitékL, dont la valeur dépend de la longueur de
coupe, vérifie la relationn=kL×V.Pour des longueurs de bûches L comprises entre 0,20 m et 1 m, le coefficient de proportionnalitékL
peut être calculé à l"aide de la formule suivante : kL=aL3+bL2+cL+d
où a, b, c et d sont des réels à déterminer. a.Avec les données fournies, déterminer les valeurs exactes dek1etk0,5.Solution:Pourk1, on a :1 =k1×1donc :k1= 1.
Pourk0,5, on a :1 =k0,5×0,8donck0,5 =10,8= 1,25.b.En admettant quek0,8= 1,1et quek0,2= 1,76, à l"aide de la questiona, déterminer un
système vérifié par les inconnues a, b, c et d.Solution:k1= 1donca+b+c+d= 1.
k0,5 = 1,5donc0,125a+ 0,25b+ 0,5c+d= 1,25.
k0,8 = 1,1donc0,512a+ 0,64b+ 0,8c+d= 1,1.
k0,2 = 1,76donc0,008a+ 0,04b+ 0,2c+d= 1,76.
On a donc le système :
?????a+b+c+d= 10,125a+ 0,25b+ 0,5c+d= 1,25
0,512a+ 0,64b+ 0,8c+d= 1,1
0,008a+ 0,04b+ 0,2c+d= 1,76c.Résoudre le système précédent à l"aide d"un calcul matriciel. En déduire l"expression dekLen
fonction de L. Solution:Le système d"équations précédent s"écrit sous forme matricielle :AX=Bavec : A=( ((((1 1 1 10,125 0,25 0,5 1
0,512 0,64 0,8 1
0,008 0,04 0,2 1)
)))),X=( ((((a b c d) ))))etB=( ((((1 1,25 1,1 1,76)On chercheA-1à la calculatrice :
((((252 2009-2509 -12518 -754 -4009 4259
57536
334
2329
-2009 -42536 -1-329 259
259
))))Géraldine MénéxiadisPage 2 / 5
ExercicesLes matrices2012-2013
Spécialité Mathématiques
Term ES
On détermineXpar :X=(
((((a b c d) ))))=A-1B=( ((((-2,5 5,75 -4,75 2,5) Finalement :kL=-2,5L3+ 5,75L2-4,75L+ 2,5.d.Déterminer avec ce qui précède la valeur dek0,6.Déterminer alors le volume occupé par un stère de bois coupé en bûches de 0,60 m (donner le résultat
arrondi au centième).Solution:k0,6 = 1,18donc le volume occupé par un stère de bois coupé en bûches de 0,6 m est
de :V=11,18, soit environ0,85m3.Exercice 3: On considère la fonctionfdéfinie sur?parf(x) =ax2+bx+c, où a, b et c sont des coefficients réels.On donnef(-0,5)=7,f(1)=4 etf(1,5)=5.
a.Montrer que les informations surfse traduisent sous la formeAX=BoùX=( (a b c) )et A et B deux matrices à préciser.Solution:
f(0,5) = 7??0,25a-0,5b+c= 7 f(1) = 4??a+b+c= 4 f(1,5) = 5??2,25a+ 1,5b+c= 5 Les données précédentes se traduisent sous forme matricielle par :AX=BavecX=(
(a b c) )etB=( (7 4 5) (0,25-0,5 1 1 1 12,25 1,5 1)
(a b c) (7 4 5) )b.En déduire les coefficients a, b et c.Géraldine Ménéxiadis
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ExercicesLes matrices2012-2013
Spécialité Mathématiques
Term ES
Solution:A la calculatrice, on obtient :A-1=(
(13 -43 1 5643
-12 12 1-12
On obtient donc l"inconnueX=(
(a b c) )=A-1( (7 4 5) (2 -3 5)Pour tout réelx:f(x) = 2x2-3x+ 5Exercice 4:
D"après BAC Pro Aéronautique 2008
Après arrêt d"un moteur turbo propulseur, l"hélice d"un avion continue à tourner librement jus-
qu"à son arrêt. Son mouvement est un mouvement de rotation uniforme décéléré. Le nombre de tours
Neffectués en fonction du temps t (en secondes) est donné parN=f(t) =at2+bt, où a et b sont des
réels à déterminer ett?[0;72,5].a.Sachant que l"hélice étudiée effectue 250 tours en 20 secondes et 510 tours en une minute, déter-
miner le système d"équations d"inconnues a et b correspondant à ces données.Solution:
f(20) = 250??400a+ 20b= 250 f(60) = 510??3600a+ 60b= 510Comme dans l"exercice précédent, les données précédentes se traduisent sous la forme matricielle :
?400 203600 60??
a b? =?250510?b.Résoudre ce système à l"aide d"un calcul matriciel et en déduire l"expression def(t).
Solution:
AX=B??X=A-1B
A l"aide de la calculatrice :A-1=?-1800
12400340
-1120
On trouve :X=A-1B=?-0,1
14,5?Donc pourt?[0;72,5]:f(t) =-0,1t2+ 14,5t.c.On admet que la fréquence de rotation de l"hélice est donnée par la dérivéef"de la fonctionf.
Déterminerf"(t) pourt?[0;72,5], puis déterminer le nombre de tours effectués par l"hélice jusqu"à
son arrêt (arrondir à l"unité).Géraldine Ménéxiadis
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ExercicesLes matrices2012-2013
Spécialité Mathématiques
Term ES
Solution:Pourt?[0;72,5],f?(t) =-0,2t+14,5. Lorsque l"on arrête le moteur :f?(t) = 0?? t=14,50,2= 72,5.L"hélice aura alors effectué f(72,5) tours, soit environ 526 tours.Géraldine MénéxiadisPage 5 / 5
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