[PDF] Méthode 1 : On étudie le signe de Un+1 – Un





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Fiche de synthèse sur les suites Fiche de synthèse sur les suites

Attention on ne peut pas se contenter de calculer quelques termes ! Rappel : Dire qu'une suite (Un) est croissante signifie que pour tout entier n Un+1. Un.



SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES

ET SUITES GEOMETRIQUES. I. Suites arithmétiques. 1) Définition. Exemple : Considérons une suite numérique (un) où la différence entre un terme et son.



Méthode 1 : On étudie le signe de Un+1 – Un

1. SUITES. I Comportement d'une suite numérique. 1°) Sens de variation a) Définition. (Un) est croissante à partir du rang n0 si pour tout n ? n0 Un+1 ? 



Suites 1 Convergence

Calculer unq et unq+1. En déduire que la suite (un) n'a pas de limite. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000524]. Exercice 6. Soit Hn = 1+. 1.



Amérique du Nord mai 2019

On pose u0=1 et pour tout entier naturel n un+1=un?ln(1+un) . On admet que la suite de terme général un est bien définie. 1. Calculer une valeur approchée 



LES SUITES

Variations monotonie d'une suite. Définition 1.1.2. Soit (un) une suite. On dit que : a) la suite (un) est croissante si pour tout n ?. : un ? un+1 ;.



Nouvelle Calédonie mars 2019

On considère la suite (un) à valeurs réelles définie par u0=1 et pour tout entier naturel n



Suites

1- Suite des valeurs d'une fonction. Soit f une fonction définie sur [0; +?[. On peut définir une suite (un) par un = f ( 



?un +1+un ?un+1+un

Conjectures : la suite (un) est minorée par 1 majorée par 8



TS. DM1 - Correction Dans ce devoir on sintéresse aux suites (un

Dans ce devoir on s'intéresse aux suites (un) qui vérifient la relation de récurrence : un+2 = un+1 +un. On note E l'ensemble des suites réelles qui 



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1) Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un) 2) Exprimer un en fonction de n 1) Les termes de la suite sont de la forme u n 



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Exercice 4 Soit (un)n?N une suite de R Que pensez-vous des propositions suivantes : • Si (un)n converge vers un réel l alors (u2n)n et (u2n+1)n 



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Exercice 4 ** Soit (un)n?N une suite arithmétique ne s'annulant pas Montrer que pour tout entier naturel n on a ?n k=0 1 ukuk+1 = n+1 u0un+1



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Exemple Soit (un)n? la suite définie pour tout entier naturel n par un = 1+3n Calculer u0 u1 u2 et u10 2 Sens de variation d'une suite Définition



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n(1 + xn) Exercice 9 [ 00870 ] [Correction] On pose un(x)=e?nx sin(nx) avec x ? R+ (a) Étudier la convergence simple de la suite de fonctions (un) sur 

  • Quand utiliser un 1 un ou un 1 un ?

    MÉTHODE 1. –
    Pour déterminer le sens de variation d'une suite (un), on peut utiliser l'une des règles suivantes : a) On étudie le signe de la différence un+1 ? un. ? Si un+1 ? un est positive, alors la suite (un) est croissante. ? Si un+1 ? un est négative, alors la suite (un) est décroissante.

  • Comment calculer un et un 1 ?

    Un+1 - Un = [5n + 5 + 3] - [5n +3]. Un+1 - Un = [5n + 8] - [5n +3]. Un+1 - Un = 5n + 8 - 5n - 3 Un+1 - Un = 5. La différence Un+1 - Un est un réel ne dépendant pas de n (constant), donc la suite (Un) est arithmétique de raison r=5 et de premier terme U0= 3.

  • Comment calculer V1 et V2 ?

    V1 = V0 – 15%V0 = (1 – 0,15) x V0 = 0,85 x 18 000 = 15 300 € en 2004. V2 = V1 – 15%V1 = (1 – 0,15) x V1 = 0,85 x 15 300 = 13 005 € en 2005. Le montant la valeur de la voiture définit une suite géométrique (Vn) de premier terme V0 = 18000 et de raison q = 0,85. Donc, pour tout entier n, on a Vn +1 = 0,85 x Vn .
  • On considère une suite (un) définie pour tout entier naturel n par un+1=f(un) où f est une fonction donnée. De plus, le premier terme u0 est également connu. Si l'exercice demande de calculer u1, on peut se servir de la relation un+1=f(un) en rempla?nt n par 0.
Méthode 1 : On étudie le signe de Un 1 – Un

1SUITES

I Comportement d"une suite numérique

1°) Sens de variation

a) Définition (U n) est croissante à partir du rang n0 si pour tout n ≥ n0 Un+1 ≥ Un (U n ) est constante à partir du rang n0 si pour tout n ≥ n0 Un+1 = Un

Remarque :

Une suite croissante ou décroissante à partir de son premier terme est dite monotone b) Quatre méthodes

Méthode 1 :

On étudie le signe de Un+1 - Un

Exemples : Etudier le sens de variations des trois suites suivantes (Un) définie pour tout entier n par Un+1 = Un + n . (V n) définie pour tout entier n par Vn+1 = -Vn 2 + 3 Vn - 1 . (w U n+1 - Un = n avec n≥0 donc Un+1 ≥Un d"où (Un) croissante. V décroissante. W W n+1 - Wn = ------------- = -------------- - 2n - 2 + 2 Wn+1 - Wn = ------------ = ---------- = -------- Et W n+1 - Wn < 0 , la suite est strictement décroissante.

2 Méthode 2 : Si U

n = f( n ) pour tout n ≥ n0 ; on étudie le sens de variation de f sur [ n0 ; + ∞ [ Et on en déduit le sens de variation de la suite (U n) .

Exemple : U

n = n - exp( n + 1) pour tout entier n.

Un =f ( n ) avec f( x ) = x - ex+1 f "(x ) = 1 - ex+1 . Comme x ≥ 0 alors x + 1 ≥ 0 et ex+1≥ 1 càd

f "( x ) et f est décroissante sur R + ce qui montre que la suite (Un) est décroissante puisque pour tout entier n U U n+1

Méthode 3 : Si U

n > 0 pour tout entier n ≥ n0 alors on peut comparer le quotient -- à 1. Un

Exemples :

1. U n+1 = Un2 + 1 et U0 = 1.

Pour tout entier n on a U

n ≥ 1 puisque Un - 1 =Un-12 càd Un - 1 ≥ 0 soir Un> 0 pour tout entier n. U n+1 Un2 + 1 1 1

Pour tout entier n ,

───── = ──────── = Un + ── .Or d"après précédemment ──>0

U n Un Un Un U n+1 Un+1 Soit

──── > Un et aussi Un ≥ 1 donc finalement ──── ≥ 1 pour tout entier n càd (Un )

U n Un croissante n + 1 2. U n = --- avec n ≥ 1. il est clair que Un > 0 pour tout entier n≥ 1 . 2 n U n+1 n+ 2 2n n +2 n + 2 Un+1

─── = ─── x ──── = ───── = ────── d"où ──── < 1 soit (Un ) strictement

U n 2n+1 n + 1 2(n + 1) 2n + 2 Un décroissante puisque pour tout n ≥1 2n > n.

3 Méthode 4 : la récurrence

Exemple : Soit la suite (U

Etudier la monotonie de (Un) à l"aide d"un raisonnement par récurrence.

Etudier la monotonie de (U

n) à l"aide d"un raisonnement par récurrence. f( x ) =

Initialisation : pour n=0 on U

0 < U1 puisque U1= 2 donc P0 est vraie

Hérédité : On suppose la propriété vraie pour un entier k fixé càd U k < Uk+1

Alors comme f est strictement croissante f( U

k)2°) Suites majorées, minorées, ....

Définition

( U ( U

n ) est minorée par un réel m s"il existe un réel m tel que Un ≥ m pour tout entier naturel n.

( U n ) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Exemples : . (U

n) telle que Un= n est minorée par 0 . n + 1 . ( V n) telle que Vn= --- est minorée par 0 et majorée par 1. n + 2 . ( W

Montrer que pour tout entier naturel n 0< W

_____

On étudie pour cela f( x ) =

1 f"( x ) =

───── d"où f strictement croissante sur [ 0 ; 3] et on a le tableau de variation

x 0 3 f(x) 3 Par récurrence : On définie la propriété P

Initialisation : pour n=0 on

Hérédité : On suppose la propriété vraie pour un entier k fixé càd 0< W dessus que pour tout x de l"intervalle [0 ; 3] on a 0< f( x ) récurrence 0 < f( W Conclusion : on en déduit par récurrence que pour tout entier n 0< W

4 Remarque : Si U

n= f ( n ) et si f bornée sur [0 ; + ∞[ alors la suite (Un) l"est aussi.

Exemple : Soit la suite (Un) définie pour tout entier n par Un = (n+1)e -( n+1) Montrer que la suite est bornée.

f( x ) = (x + 1)e décroissante sur R x 0 + f(x) 1/e 0 1

On en déduit que 0

Remarque : Si (U

n) est croissante (respectivement décroissante) elle est minorée (resp. majorée) par son premier terme.

3°) Limites de suites

a) Suites convergentes, suites divergentes

Définitions

o Une suite (Un) est dite convergente s"il existe un réel l tel que lim Un = l o Une suite non convergente est divergente. Remarque : Une suite divergente peut avoir une limite infinie ou ne pas avoir de limite

Exemples :

1 * U n = - * Vn = cos 2пn * Wn = 2 n n b) Convergence monotone

Théorème admis

Une suite croissante et majorée ( resp. décroissante et Minorée ) converge. Remarque : donne la convergence mais pas la limite !

5Propriété

Une suite croissante non majorée est divergente vers +∞ Une suite décroissante non minorée est divergente vers -∞

Exemple :

Voir exerice résolu 17

Remarque : Soit une suite ( (U

n) définie par U0 et Un+1=f(Un) Où f est continue. Si (Un) converge vers un réel a alors a vérifie a =f(a)

C"est un point fixe de f.

Exemples :

Ex1 Donner la limite de (Un) où Un = e(n2 - 1 /n) Ex2 : 1

Soit f la fonction définie sur [0 ; +

∞ [ par f( x ) = ---- et Un+ 1 = f (Un) , le premier terme est U 0

1 + 2x

1°) Déterminer le point fixe x

0 de f.

2°) On admet que pour tout entier n

18 | U 25
Ex 3 : La suite (Un) est définie par Uo = 1 et U n+1 = Un/( 2+ Un). a) Mtq pour tout n, Un>0 b) Etudier le sens de variation de f ( x ) = x/(x + 2) sur R +.En déduire le sens de variation de (U n) c) Mtq U n est convergente d) Conjecturer cette limite avec la calculette

Correction :

Ex1 : lim Un = +∞

Ex2 : 1°) f( x

0)=x0 donne x0 = 0,5 car x≥0.

2°) lim U

n = 0. Ex 3 : a) On le démontre très simplement par récurrence. b) f strictement croissante sur R + . On démontre par récurrence que (Un) est strictement décroissante

Initialisation : pour n=0 on U

1 < U0 puisque U1= 0,5

Hérédité : On suppose la propriété vraie pour un entier n fixé

Alors comme f est st Croiss f( U

n+1)Conclusion : pour tout entier n U n+1