Fiche de synthèse sur les suites Fiche de synthèse sur les suites
Attention on ne peut pas se contenter de calculer quelques termes ! Rappel : Dire qu'une suite (Un) est croissante signifie que pour tout entier n Un+1. Un.
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
ET SUITES GEOMETRIQUES. I. Suites arithmétiques. 1) Définition. Exemple : Considérons une suite numérique (un) où la différence entre un terme et son.
Méthode 1 : On étudie le signe de Un+1 – Un
1. SUITES. I Comportement d'une suite numérique. 1°) Sens de variation a) Définition. (Un) est croissante à partir du rang n0 si pour tout n ? n0 Un+1 ?
Suites 1 Convergence
Calculer unq et unq+1. En déduire que la suite (un) n'a pas de limite. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000524]. Exercice 6. Soit Hn = 1+. 1.
Amérique du Nord mai 2019
On pose u0=1 et pour tout entier naturel n un+1=un?ln(1+un) . On admet que la suite de terme général un est bien définie. 1. Calculer une valeur approchée
LES SUITES
Variations monotonie d'une suite. Définition 1.1.2. Soit (un) une suite. On dit que : a) la suite (un) est croissante si pour tout n ?. : un ? un+1 ;.
Nouvelle Calédonie mars 2019
On considère la suite (un) à valeurs réelles définie par u0=1 et pour tout entier naturel n
Suites
1- Suite des valeurs d'une fonction. Soit f une fonction définie sur [0; +?[. On peut définir une suite (un) par un = f (
?un +1+un ?un+1+un
Conjectures : la suite (un) est minorée par 1 majorée par 8
TS. DM1 - Correction Dans ce devoir on sintéresse aux suites (un
Dans ce devoir on s'intéresse aux suites (un) qui vérifient la relation de récurrence : un+2 = un+1 +un. On note E l'ensemble des suites réelles qui
[PDF] SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
1) Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un) 2) Exprimer un en fonction de n 1) Les termes de la suite sont de la forme u n
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Exercice 4 Soit (un)n?N une suite de R Que pensez-vous des propositions suivantes : • Si (un)n converge vers un réel l alors (u2n)n et (u2n+1)n
[PDF] Suites - Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 4 ** Soit (un)n?N une suite arithmétique ne s'annulant pas Montrer que pour tout entier naturel n on a ?n k=0 1 ukuk+1 = n+1 u0un+1
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Feuille d'exercices n°1 : Suites réelles Suites usuelles Exercice 1 ( ) Pour chacune des suites suivantes définies par récurrence donner une ex-
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Chapitre 1 Les nombres réels et complexes 1 1 Nombres rationnels On désigne par N l'ensemble des entiers naturels N = {0123 }
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Montrer que la suite ( ) ?? est bien définie convergente et déterminer sa limite Allez à : Correction exercice 16 : Exercice 17 : 1 Calculer si cette
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8 nov 2011 · En utilisant le théorème 1 on en déduit que le quotient de deux suites convergentes converge vers le quotient des limites pourvu que la limite
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Exemple Soit (un)n? la suite définie pour tout entier naturel n par un = 1+3n Calculer u0 u1 u2 et u10 2 Sens de variation d'une suite Définition
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Définition 1 2 1 On dit qu'une suite (un)n?N d'éléments de K converge vers l ? K si : pour tout ? >
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n(1 + xn) Exercice 9 [ 00870 ] [Correction] On pose un(x)=e?nx sin(nx) avec x ? R+ (a) Étudier la convergence simple de la suite de fonctions (un) sur
Quand utiliser un 1 un ou un 1 un ?
MÉTHODE 1. –
Pour déterminer le sens de variation d'une suite (un), on peut utiliser l'une des règles suivantes : a) On étudie le signe de la différence un+1 ? un. ? Si un+1 ? un est positive, alors la suite (un) est croissante. ? Si un+1 ? un est négative, alors la suite (un) est décroissante.Comment calculer un et un 1 ?
Un+1 - Un = [5n + 5 + 3] - [5n +3]. Un+1 - Un = [5n + 8] - [5n +3]. Un+1 - Un = 5n + 8 - 5n - 3 Un+1 - Un = 5. La différence Un+1 - Un est un réel ne dépendant pas de n (constant), donc la suite (Un) est arithmétique de raison r=5 et de premier terme U0= 3.Comment calculer V1 et V2 ?
V1 = V0 – 15%V0 = (1 – 0,15) x V0 = 0,85 x 18 000 = 15 300 € en 2004. V2 = V1 – 15%V1 = (1 – 0,15) x V1 = 0,85 x 15 300 = 13 005 € en 2005. Le montant la valeur de la voiture définit une suite géométrique (Vn) de premier terme V0 = 18000 et de raison q = 0,85. Donc, pour tout entier n, on a Vn +1 = 0,85 x Vn .- On considère une suite (un) définie pour tout entier naturel n par un+1=f(un) où f est une fonction donnée. De plus, le premier terme u0 est également connu. Si l'exercice demande de calculer u1, on peut se servir de la relation un+1=f(un) en rempla?nt n par 0.
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EXERCICE 3 6 points
Partie A : établir une inégalité
Sur l'intervalle [0;+∞[, on définit la fonction f par f(x)=x-ln(x+1).1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0;+∞[.
2. En déduire que pour tout nombre réel de l'intervalle [0;+∞[,
ln(x+1)⩽x. Partie B : application à l'étude d'une suiteOn pose
u0=1 et pour tout entier naturel n, un+1=un-ln(1+un). On admet que la suite de terme général un est bien définie.1. Calculer une valeur approchée à 10-3 près de
u2.2.a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un⩾0.
2.b. Démontrer que la suite (un) est décroissante, et en déduire que pour tout entier naturel n,
un⩽1.2.c. Montrer que la suite
(un) est convergente.3. On note L la limite de la suite
(un) et on admet que f(L)=L où f est la fonction définie dans la partie A. En déduire la valeur de L.4.a. Écrire un algorithme, qui pour un naturel p donné, permet de déterminer le plus petit rang N à partir
duquel les termes de la suite (un) sont inférieurs à 10-p.4.b. Déterminer le plus petit entier naturel n à partir duquel tous les termes de la suite
(un) sont inférieurs à10-15.
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CORRECTION
Partie A : établir une inégalité
1. f est dérivable sur [0;+∞[
(ln(u))'=u' u (ln(x+1))'=1 x+1 f'(x)=1-1 x+1=x+1-1 x+1=x x+1⩾0 f est croissante sur [0;+∞[.2. f(0)=0-ln(0+1)=-ln(1)=0
Pour tout nombre réel x de [0;+∞[ :
f(0)⩽f(x) ⇔ 0⩽x-ln(x+1) ⇔ ln(x+1)⩽x Partie B : application à l'étude d'une suite 1. u0=1 u1=f(1)=1-ln(2) u2=f(u1)1-ln(2)-ln(1-ln(2)+1)=1-ln(2)-ln(2-ln(2))= 0,039 à10-3 près.
2.a. On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n, on a
un⩾0. . Initialisation : u0=1⩾0La propriété est vérifiée pour n=0.
. HéréditéPour démontrer que la propriété est héréditaire pour tout entier naturel n, on suppose que un⩾0 et
on doit démontrer que un+1⩾0.un+1=f(un)=un-ln(1+un) Or un⩾0 et un⩾ln(1+un) (résultat de la question 2 de la partie A)
donc un+1⩾0 . Conclusion Le principe de récurrence nous permet d'affirmer que pour tout entier naturel n on a : un⩾0.2.b. Pour tout entier naturel n :
un+1-un=un-ln(1+un)-un=-ln(1+un) un⩾0 donc 1+un⩾1 et ln(1+un)⩾ln(1)=0 (car la fonction ln est croissante sur ]0;+∞[)Conséquence :
un+1-un=-ln(1+un)⩽0 et la suite (un) est décroissante.Pour tout entier naturel n, un⩽u0=1.
2.c. Pour tout entier naturel n, un⩾0 et la suite (un) est décroissante et minorée par 0 donc la suite
(un) est convergente.3. L=f(L)
⇔ L=L-ln(1+L) ⇔ ln(1+L)=0 ⇔ 1+L=e0=1 ⇔ L=04.a. p est est un entier naturel donné.
Algorithme proposé :
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Programmation en python (non demandée)
On demande initialement la valeur de p.
4.b. En utilisant l'algorithme on obtient N=6.
En utilisant la programmation en python on obtient.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] un+1/un suite géométrique
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