SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. SUITES ARITHMETIQUES. ET SUITES GEOMETRIQUES. I. Suites arithmétiques. 1) Définition.
Fiche de synthèse sur les suites Fiche de synthèse sur les suites
Exemple 1 :(Un) est une suite géométrique telle que q = 2 U7 = 5. Calculer U19. On peut utiliser la formule suivante : Un = Up*q(n-p). On obtient ainsi : U19 =
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3. La suite est donc définie par : 0. 1. 3. 5 n.
SUITES GEOMETRIQUES
1) Calculer u2 et u3. 2) Quelle est la nature de la suite (un) ? On donnera son premier terme et sa raison. 3) Exprimer un
LES SUITES
Suite géométrique. Définition 1.1.5. Une suite (un)n? est géométrique s'il existe un réel q indépendant de n tel que pour tout n ?
Chapitre 1 Suites réelles et complexes
Ainsi un et vn convergent et ont même limite puisque (vn ? un) converge vers 0. 10. Page 10. 1.4.3 Exemples. Limite d'une suite géométrique
Chapitre 3 - Suites arithmétiques et géométriques
On numérote les termes ce qui revient à faire correspondre à des entiers naturels des nombres réels. Rang du terme 1 2 3. 4 n. ? ? ?. ?. ?.
Convergence de suites
Nov 5 2010 Limites des suites géométriques. Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u0 = 0. • si q > 1
SUITES NUMERIQUES
On considère la suite (wn)n?IN définie par w0 = – 2 et wn+1 = 1. 2 wn – 3. Calculer w1 ; w2 ; w3 et w4 . II. Suites arithmétiques et géométriques.
RAPPELS CHAPITRE 4 : SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES
pour une suite géométrique (m et n entiers naturels). EX 1 : Soit la suite arithmétique (un) dont on connaît deux termes u15 = 5. 4 et u37 =.
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Propriété : (un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0 Pour tout entier naturel n on a : u n = u 0 + nr Démonstration
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On considère la suite géométrique (un) de raison q = 2 et de premier terme u1 = 5 1) Exprimer un en fonction de n 2) A l'aide de la calculatrice calculer la
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Elle traduit exactement la définition de suite géométrique En revanche elle est incommode dans le cas où il s'agit de calculer un terme de rang élevé Par
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Si la suite (un) est géométrique de premier terme u0 et de raison q pour tout entier naturel n un = u0 + nr un = u0 × qn • Les suites arithmétiques sont
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Plus généralement on montre de la même façon que toute suite un définie par un =an b ( où a?? et b?? ) est une suite arithmétique de raison a et de
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Cours de Mathématique 1S2 Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 11 Méthode : Démontrer si une suite est géométrique La suite ( )n u définie par : 2 1
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On appelle suite arithmétique une suite de nombres où on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre (ce nombre est appelé raison de la
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Exemple Soit (un)n? la suite géométrique de premier terme u0 = 5 de raison q = ?2 Calculer u1 u2 et u3 4 2 Formule explicite Proposition Si u est une
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Exercice 1 : Calculer les 5 premiers termes ainsi que le 8e terme des suites proposées puis les représenter graphiquement a) 15?3n ( )n?IN* b) 3
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1 Suites géométriques Définition : Une suite a ? a a a a est un ensemble ordonné de nombres L'indice de chaque terme de la suite indique la
Comment montrer qu'une suite est géométrique avec un 1 ?
Une suite (un) est géométrique si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1=a×un où a est un nombre indépendant de n. Pour démontrer qu'un suite est géométrique, on peut donc montrer qu'elle respecte bien la relation un+1=a×un.Qu'est-ce qu'un +1 ?
Par exemple, un+1 est le terme de rang n + 1 (celui qui suit un) alors que un +1 est le terme de rang n augmenté de 1.Comment trouver u1 ?
On considère une suite (un) définie pour tout entier naturel n par un+1=f(un) où f est une fonction donnée. De plus, le premier terme u0 est également connu. Si l'exercice demande de calculer u1, on peut se servir de la relation un+1=f(un) en rempla?nt n par 0.- Exemple : Montrons que la suite (Un) définie par Un = 5n + 3 est arithmétique. Un+1 - Un = [5(n + 1) + 3] - [5n +3]. Un+1 - Un = [5n + 5 + 3] - [5n +3].
RAPPELS CHAPITRE 4
RAPPELS CHAPITRE 4 :
SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES.I) RAPPELS DE COURS :
Suites arithmétiques Suites géométriquesCaractérisation par
une relation de récurrence un+ 1 = un + r où r est un réel, indépendant de n, appelé la raison de la suite. un + 1 = un × q où q est un réel non nul, indépendant de n, appelé la raison de la suite.Caractérisation par
une formule explicite un = u0 + n × r u0 étant le terme initial de la suite. u
n = u0 × qn u0 étant le terme initial de la suite.
Représentation
graphique sur un axeRelation entre deux
termes quelconques de la suite pour tous entiers naturels p et q, u p = uq + r × (p - q) pour tous entiers naturels m et n, u m = un × q(m - n)Sommes
particulières 1 + 2 + 3 + ................ + n = n × 1 + n 2 = n × (n + 1) 2Si q ≠ 1, alors :
1 + q + q
2 + ... + qn - 1 + qn = 1 - q
n + 1 1 - qSi q = 1, alors :
1 + q + q
2 + ... + qn - 1 + qn = n + 1
Sommes de termes
consécutifs La somme de (n + 1) termes consécutifs d'une suite arithmétique est : S = u0 + u1 + u2 + ...................... + un
= (n + 1) × (u0 + un
2)Somme des termes consécutifs
d'une suite arithmétique = nombre de termes × premier terme + dernier terme 2La somme de (n + 1) termes consécutifs d'une
suite géométrique de raison q ≠ 1 est : S = u0 + u1 + u2 + ...................... + un
= u0 × 1 - q
n + 1 1 - qSomme des termes consécutifs
d'une suite géométrique = premier terme × 1 - raison" nombre de termes"1 - raison
ou premier terme - dernier terme × raison1 - raison
Remarque : NOMBRE DE TERMES dans S = u
p + up + 1 + ... + uq - 1 + uq Il y a q - (p - 1) = q - p + 1 termes dans cette somme. u0 u1 u2 un - 1 un = u0 + ...... + r + r + r + r un = u0 ×××× ............. u0 u1 u2 un - 1 u3 ×××× q ×××× q ×××× q ×××× q 2RAPPELS CHAPITRE 4
II) EXERCICES "TYPES" :
Point méthode 1 : montrer qu'une suite est arithmétique. On peut montrer que la différence (un + 1 - un) est toujours constante.EX : Soit la suite (u
n) définie par u0 = 1 et, pour tout n ∈ V, par un + 1 = un - 2.Montrer que (u
n) est arithmétique. Point méthode 2 : montrer qu'une suite est géométrique. On peut montrer, à condition que la suite (un) soit à termes non nuls, que le quotient un + 1 un est toujours constant. EX : Soit (un) la suite définie, pour tout n ∈ V, par un = 2 3n.Montrer que cette suite est géométrique.
∀ n ∈ V, 3 n ≠ 0 et 23n ≠ 0, donc un ≠ 0 pour tout n ∈ V.
Point méthode 3 : calculer le premier terme et la raison d'une suite arithmétique ou géométrique.
On utilise la formule up = uq + r × (p - q) pour une suite arithmétique (p et q entiers naturels).
On utilise la formule um = un × q(m - n) pour une suite géométrique (m et n entiers naturels).
EX 1 : Soit la suite arithmétique (un) dont on connaît deux termes u15 = 5 4 et u37 = 49 4.Calculer le premier terme u
0 et la raison r de cette suite.
3RAPPELS CHAPITRE 4
On a, pour tous entiers naturels p et q : up = uq + r × (p - q). En particulier :La suite arithmétique (u
n) a donc pour premier terme u0 = ...... et pour raison r = .......EX 2 : Soit la suite géométrique (u
n) dont on connaît deux termes u7 = 4374 et u4 = - 162.Calculer le premier terme u
0 et la raison q de cette suite.
On a, pour tous entiers naturels m et n, u
m = un × q(m - n). En particulier :La suite géométrique (u
n) a donc pour premier terme u0 = ..... et pour raison q = ....... Point méthode 4 : calculer la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique ou géométrique. Pour une suite arithmétique, on utilise la formule :Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique = nombre de termes × premier terme + dernier terme
2 Pour une suite géométrique, on utilise la formule :Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique = premier terme × 1 - raison"
nombre de termes"1 - raison
EX 1 : Reprenons la suite arithmétique (un) dont on connaît deux termes u15 = 5 4 et u37 = 49 4.Calculer la somme S =
k=1537 u k.On utilise la formule ci-après :
4RAPPELS CHAPITRE 4
Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique = nombre de termes × premier terme + dernier terme
2 S =EX 2 : Calculer S = 5
2 + 53 + ... + 510.
On définit la suite (u
n) par : ∀ n ∈ V, un = 5n . ∀ n ∈ V, on a : un + 1 = 5n + 1 = 5 × 5n = 5un ce qui prouve que la suite (un) est une suite géométrique de raison q = 5.
52 = u2 et 510 = u10.
On utilise la formule :
Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique = premier terme × 1 - raison"
nombre de termes"1 - raison
S = Point méthode 5 : trouver le terme général d'une suite (u n).On introduit une nouvelle suite, définie à partir de (un), et on étudie la nature de cette suite.
EX : On considère la suite (un) définie sur V par u0 = 1 et pour tout n de V, un + 1 = 1 2 un - 2.On pose v
n = un + 4 pour tout n de V.1. Montrer que la suite (v
n) est géométrique.2. Exprimer v
n, puis un en fonction de n.SOLUTION :
1. ∀ n ∈ V, on a : v
n + 1 = un + 1 + 4 =Comme, ∀ n ∈ V, on a : u
n = vn - 4, on obtient : vn + 1 =On a donc : ∀ n ∈ V, v
n + 1 = ........, ce qui prouve que la suite (vn) est une suite géométrique de raison .....2. Par propriété, ∀ n ∈ V, on a : v
n = .................... . Or : v0 = .....................Par conséquent :
∀ n ∈ V, on a : v n = .................. et ∀ n ∈ V, on a : u n = ..................................................... 5RAPPELS CHAPITRE 4
III) SENS DE VARIATION :
Propriété 1 : soir u une suite arithmétique de raison r. Si r > 0 alors la suite est strictement croissante ; Si r < 0 alors la suite est strictement décroissante ; Si r = 0 alors la suite est .................................EX : Soit (u
n) la suite définie par : ∀ n ∈ V, un = - 3n + 170. ∀ n ∈ V, on a : un + 1 - un =La variation absolue (u
n + 1 - un) est ................., donc la suite u est .............................., de raisonLa suite (u
n) est une suite arithmétique de raison ....... , strictement ................., donc la suite (un) est
strictement ........................Propriété 2 : Soit q un réel non nul.
• Si q > 1, alors la suite (qn) est strictement croissante • Si q = 1 alors la suite est constante • Si 0 < q < 1, alors la suite (qn) est strictement décroissante • Si q < 0, alors la suite (qn) n'est pas monotoneJustification :
Pour tout entier naturel n, q
n + 1 - qn = qn(...........)Si q > 0, alors q
n ...... 0 et qn + 1 - qn a le même signe que (..........) • Si q = 1, alors q n + 1 = qn pour tout n de V, donc la suite est constante. • Si q > 1, alors q - 1 ...... 0, donc, pour tout n ∈ ℕ, q n + 1 - qn ...... 0 et la suite (qn) est strictement • Si 0 < q < 1, alors q - 1 ...... 0, donc, pour tout n ∈ ℕ, q n + 1 - qn ...... 0 et la suite (qn) est strictement ............................... • Si q < 0, alors q n + 1 et qn sont de signes ....................., donc la suite (qn) prend alternativement des valeurs ......................... et des valeurs ................... : la suite (q n) ne peut être 6RAPPELS CHAPITRE 4
Propriété 3 : Soit (un) une suite géométrique de raison q strictement positive et de terme initial u0.
• Si 0 < q < 1 et u0 < 0, alors la suite (un) est strictement .......................... Si 0 < q < 1 et u0 > 0, alors la suite (un) est strictement .......................... • Si q > 1 et u0 < 0, alors la suite (un) est strictement ............................. Si q > 1 et u0 > 0, alors la suite (un) est strictement ............................. • Si q = 1 alors la suite est ...................Justification :
Soit n ∈ IN .
On a u
n = u0 × qn et un + 1 = u0 ×qn + 1Ainsi,
∀ n ∈ V, on a : un + 1 - un = u0 × qn + 1- u0 ×qn = u0 × (................) = qn × u0 × (............)
q > 0, donc on en déduit que le signe de u n + 1 - un est le signe de u0 × (...........) • Si 0 < q < 1 et u0 < 0, alors (q - 1) ...... 0 et u0 < 0, donc un + 1 - un ....... 0 et la suite (un) est
strictement ................................Si 0 < q < 1 et u0 > 0, alors (q - 1) ...... 0 et u0 > 0, donc un + 1 - un ....... 0 et la suite (un) est
strictement ................................ • Si q > 1 et u0 < 0, alors (q - 1) ...... 0 et u0 < 0, donc un + 1 - un ....... 0 et la suite (un) est
strictement ................................ • Si q > 1 et u0 > 0, alors (q - 1) ...... 0 et u0 > 0, donc un + 1 - un ....... 0 et la suite (un) est
strictement ............................... EX 1 : Soit u la suite géométrique de raison q = 2 et de terme initial u 0 = 1 4 ∀ n ∈ V, on a : u n = u0 × ............. = ...... × ................. .La suite (u
n) est une suite géométrique de raison ......., strictement ...........................et u0 .......,
donc la suite (u n) est strictement ........................ EX 2 : Soit v la suite géométrique de raison q = 1 2 et de terme initial v0 = 8. ∀ n ∈ V, on a : v n = v0 × ............. = ...... × ................. .La suite (v
n) est une suite géométrique de raison ....... , comprise strictement entre ................. et
v0 ........., donc la suite (vn) est strictement ........................
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