SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. SUITES ARITHMETIQUES. ET SUITES GEOMETRIQUES. I. Suites arithmétiques. 1) Définition.
Fiche de synthèse sur les suites Fiche de synthèse sur les suites
Exemple 1 :(Un) est une suite géométrique telle que q = 2 U7 = 5. Calculer U19. On peut utiliser la formule suivante : Un = Up*q(n-p). On obtient ainsi : U19 =
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3. La suite est donc définie par : 0. 1. 3. 5 n.
SUITES GEOMETRIQUES
1) Calculer u2 et u3. 2) Quelle est la nature de la suite (un) ? On donnera son premier terme et sa raison. 3) Exprimer un
LES SUITES
Suite géométrique. Définition 1.1.5. Une suite (un)n? est géométrique s'il existe un réel q indépendant de n tel que pour tout n ?
Chapitre 1 Suites réelles et complexes
Ainsi un et vn convergent et ont même limite puisque (vn ? un) converge vers 0. 10. Page 10. 1.4.3 Exemples. Limite d'une suite géométrique
Chapitre 3 - Suites arithmétiques et géométriques
On numérote les termes ce qui revient à faire correspondre à des entiers naturels des nombres réels. Rang du terme 1 2 3. 4 n. ? ? ?. ?. ?.
Convergence de suites
Nov 5 2010 Limites des suites géométriques. Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u0 = 0. • si q > 1
SUITES NUMERIQUES
On considère la suite (wn)n?IN définie par w0 = – 2 et wn+1 = 1. 2 wn – 3. Calculer w1 ; w2 ; w3 et w4 . II. Suites arithmétiques et géométriques.
RAPPELS CHAPITRE 4 : SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES
pour une suite géométrique (m et n entiers naturels). EX 1 : Soit la suite arithmétique (un) dont on connaît deux termes u15 = 5. 4 et u37 =.
[PDF] SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Propriété : (un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0 Pour tout entier naturel n on a : u n = u 0 + nr Démonstration
[PDF] SUITES GEOMETRIQUES - maths et tiques
On considère la suite géométrique (un) de raison q = 2 et de premier terme u1 = 5 1) Exprimer un en fonction de n 2) A l'aide de la calculatrice calculer la
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Elle traduit exactement la définition de suite géométrique En revanche elle est incommode dans le cas où il s'agit de calculer un terme de rang élevé Par
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Si la suite (un) est géométrique de premier terme u0 et de raison q pour tout entier naturel n un = u0 + nr un = u0 × qn • Les suites arithmétiques sont
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Plus généralement on montre de la même façon que toute suite un définie par un =an b ( où a?? et b?? ) est une suite arithmétique de raison a et de
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Cours de Mathématique 1S2 Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 11 Méthode : Démontrer si une suite est géométrique La suite ( )n u définie par : 2 1
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On appelle suite arithmétique une suite de nombres où on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre (ce nombre est appelé raison de la
[PDF] CHAPITRE 1—LES SUITES NUMÉRIQUES
Exemple Soit (un)n? la suite géométrique de premier terme u0 = 5 de raison q = ?2 Calculer u1 u2 et u3 4 2 Formule explicite Proposition Si u est une
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Exercice 1 : Calculer les 5 premiers termes ainsi que le 8e terme des suites proposées puis les représenter graphiquement a) 15?3n ( )n?IN* b) 3
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1 Suites géométriques Définition : Une suite a ? a a a a est un ensemble ordonné de nombres L'indice de chaque terme de la suite indique la
Comment montrer qu'une suite est géométrique avec un 1 ?
Une suite (un) est géométrique si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1=a×un où a est un nombre indépendant de n. Pour démontrer qu'un suite est géométrique, on peut donc montrer qu'elle respecte bien la relation un+1=a×un.Qu'est-ce qu'un +1 ?
Par exemple, un+1 est le terme de rang n + 1 (celui qui suit un) alors que un +1 est le terme de rang n augmenté de 1.Comment trouver u1 ?
On considère une suite (un) définie pour tout entier naturel n par un+1=f(un) où f est une fonction donnée. De plus, le premier terme u0 est également connu. Si l'exercice demande de calculer u1, on peut se servir de la relation un+1=f(un) en rempla?nt n par 0.- Exemple : Montrons que la suite (Un) définie par Un = 5n + 3 est arithmétique. Un+1 - Un = [5(n + 1) + 3] - [5n +3]. Un+1 - Un = [5n + 5 + 3] - [5n +3].
1 ) SUITES ARITHMÉTIQUES
A ) D É FINITION PAR R É CURRENCE
Définition :
On dit qu'une suite un est une suite arithmétique , s'il existe un réel r tel que pour tout entier
naturel n , on ait un1=unr .Le réel
r est appelé raison de la suite un .r peut-être positif ou négatif .Ex emples :
La suite des entiers naturels est une suite arithmétique de raison 1 . La suite des entiers naturels impairs est une suite arithmétique de raison 2 . Soitun la suite définie par un=4n4 . un est-elle une suite arithmétique ?
Pour tout n∈ℕ , on a un1-un=4
Ainsi pour tout
n∈ℕ , on a un1=un4 et un est une suite arithmétique de raison 4 .
Plus généralement, on montre de la même façon, que toute suiteun définie par un=anb ( où a∈ℝ et b∈ℝ ) est une suite
arithmétique de raison a et de premier terme b .B ) D É FINITION PAR UNE FORMULE EXPLICITE
Propriété :
Soit un une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r .Alors, pour tout entier naturel n , on a : un=u0nr
Ex emple : Soit
un la suite arithmétique définie par u0=7 et r=12 , alors u6=76×12=79 ...
Plus généralement :
Soit un une suite arithmétique de raison r .Pour tous entiers naturels p et q , on a : up=uq
p-qrIntérêts :
Cette formule permet de calculer n'importe quel terme d'une suite arithmétique dès que l'on connaît la raison et un terme
quelconque ( il n'est pas nécessaire de connaître u0)Cette formule permet aussi de calculer la raison d'une suite arithmétique dont on connaît deux termes.
Ex emples :
Soit un une suite arithmétique telle que u2=4 et u4=10 . Calculer la raison r. On a u4=u24-2r , donc r=...=3 Soit un une suite arithmétique définie par u10=30 et r=2 . Calculer u20 .On a u20=u10
20-102=50C ) SOMME DE TERMES CONS É CUTIFS
Remarque préliminaire : NOMBRE DE TERMES D'UNE SOMME u1u2 est une somme de deux termes ; u1u2u3 est une somme de trois termes De manière générale, u1u2...up est une somme de p termes . Comment faire ( sans compter sur les doigts ) pour calculer le nombre de termes de la somme u12u13...u56 ?On peut écrire
u12u13...u56= u111u211...u4511 La somme a donc 45 termes, c'est à dire 56 - 12 + 1Plus généralement :
Le nombre de termes de la somme
upup1...uq ( p , q entiers naturels tels que pq ) est q-p1Propriété :
La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique est égale auproduit du nombre de termes par la demi-somme des termes extrêmes .S = nombre de termes ´ premier termedernier terme
2Suites arithmétiques et suites géométriques - auteur : Pierre Lux - cours prof - page 1/2L'astuce :
calculer un1-unEx emple :
Soit vn la suite arithmétique de raison 4 et de premier terme v0=15 . Calculer v0v1...v8.
On a v8=v04×8=1532=47
On en déduit que
2=9×1547
2=2792 ) SUITES G É OM É TRIQUES
A ) D É FINITION PAR R É CURRENCE
Définition :
On dit qu'une suite
un est une suite géométrique , s'il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n ,
on ait un1=qun .Le réel q est appelé raison de la suite
un.q peut-être positif ou négatif et non nul ( sans intérêt )Ex emples :
Soitun , la suite des puissances de 2 , définie par un=2n . un est-elle une suite géométrique ?
Pour tout entier naturel n , on a
un1=2n1=2×2n=2unCette suite est donc une suite géométrique de raison 2 . Soitvn la suite définie par vn=n×5n . vn est-elle une suite géométrique ?
Pour tout n∈ℕ* , on a vn1
vn=5×n1 n , ce qui n'est pas un rapport constant.La suite
vn n'est donc pas une suite géométrique. Soitwn la suite définie pour tout entier naturel n , par wn=4×3n . wn est-elle une suite géométrique ?
Pour tout
n∈ℕ , on a wn1=4×3n1=3×4×3n=3×wnCette suite est donc une suite géométrique de raison 3.
Plus généralement, on montre de la même façon, que toute suite un définie par un=aqn ( où a∈ℝ* et q∈ℝ*) est une suite géométrique de raison q et de premier terme a.B ) D É FINITION PAR UNE FORMULE EXPLICITE
Propriété :
Soit unune suite géométrique de premier terme u0 et de raison q. Alors, pour tout entier naturel n , on a : un=u0qnEx emple : Soit un la suite géométrique définie par u0=7 et r=12 , alors u3=7×123=12096
Plus généralement :
Soitun une suite géométrique de raison q . Pour tout entier naturel m et n , on a um=un×qm-n
Intérêt : Cette formule permet de calculer n'importe quel terme d'une suite géométrique dès que l'on connaît la raison et un terme quelconque
( il n'est pas nécessaire de connaître u0 )Ex emple s :
Soit un une suite géométrique définie par u10=30 et q=2 . Calculer u13.On a u13=u10×213-10=30×23=30×8=240
Soit vn une suite géométrique telle que v2=5 et v8=320 . Déterminer la raison q. On a v8=v2×q8-2, donc 320=5×q6 c'est à dire q6=64Il y a donc deux valeurs possibles q=2 ou q=-2
Attention : Cette formule ne permet pas de calculer la raison d'une suite géométrique dont on connaît deux termes .
C ) SOMME DE TERMES CONS É CUTIFS
Propriété :
Pour calculer la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q , on applique la formule suivante :
S = premier terme
×1-qnombredetermes
1-qEx emple :
Soitvn la suite géométrique définie , pour tout n∈ℕ , par vn=2n . Simplifier 1222...2n
On a1-2=2n1-1Suites arithmétiques et suites géométriques - auteur : Pierre Lux - cours prof - page 2/2
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