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LES ROTATIONS DER3: VERSION MATRICIELLE

1.L"espaceRn

Les structures dontRnest muni appartiennent à quatre niveaux : Structure vectorielle:Vecteur. Combinaison linéaire. Familles libres et liées. Sous- espaces vectoriels et affines. Base. Dimension. Matrice associée à une application li- néaire. Le groupe linéaire généralGLn(R). Structure euclidienne:Produit scalaire. Norme euclidienne. Angle non signé entre vecteurs. Orthogonalité. Bases orthogonales et orthonormées. Isométries. Symétries orthogonales. Rotations. Projections orthogonales. Le groupe orthogonalOn(R). Structure orientée:Déterminant. Aire et volume signés. Eléments d"aire et de volume pour les intégrales multiples. Orientation. Bases directes et indirectes. Le groupe li- néaire spécialSLn(R). Structure euclidienne orientée:Angle signé entre vecteurs dansR2. Produit vecto- riel dansR3. Bases orthonormées directes. Rotations d"un angle signé donné. Le groupe orthogonal spécialSOn(R).

Notre étudierons les rotations. En principe elles apparaissent déjà au niveau de la structure

euclidienne deR2ouR3. Mais pour distinguer entre les rotations d"angleet d"angleon a besoin d"orientations aussi. Rappelons les produits scalaire et vectoriel, le déterminant (de matrices22et33) et quelques autres notions liées. Leproduit scalairede deux vecteurs~u= (u1;u2;u3)et~v= (v1;v2;v3)dansR3est u~v=u1v1+u2v2+u3v3:(1.1) Ce produit estbilinéaire, c"est à dire pour~u;~v;~w2R3etr2Ron a ~u+~v)~w=~u~w+~v~w;(r~u)~w=r(~u~w); u(~v+~w) =~u~v+~u~w;~u(r~v) =r(~u~v):(1.2) C"est aussisymétrique, c-à-d vérifiant~u~v=~v~u. Lanorme euclidienned"un vecteur est k ~uk=p~ u~u=qu

21+u22+u23:

Pourrun réel on akr~uk=jrjk~uk. On ak~uk 0pour tout~u2R3, et on ak~uk>0pour tout ~u6=~0. On a les inégalités de Cauchy-Schwarz et du triangle j ~u~vj k~ukk~vk;k~u+~vk k~uk+k~vk:(1.3) L"inégalité de Cauchy-Schwarz permet de définir l"angleentre deux vecteurs non nuls par 0et cos=~u~vk ~ukk~vk:(1.4) 1

2 LES ROTATIONS DER3: VERSION MATRICIELLE

Deux vecteurs

~uet~vsontorthogonauxs"ils vérifient~u~v= 0, ou équivalemment si l"angle entre eux est=2 Définition 1.1.Unebase orthogonaledeR3est une famille de trois vecteursf~u;~v;~wgnon nulsavec u~v=~u~w=~v~w= 0:(1.5) Une telle famille est toujours libre et ainsi une base deR3. Unebase orthonorméedeR3est une famille de trois vecteursf~u;~v;~wgavec k ~uk=k~vk=k~wk= 1;~u~v=~u~w=~v~w= 0:(1.6) C"est une base orthogonale dont tous les membres sont de norme1. Labase canoniquedeR3est orthonormée. Nous la noterons~i,~j,~kavec i= (1;0;0);~j= (0;1;0);~k= (0;0;1):(1.7) La base canonique deR2, notée~i= (1;0),~j= (0;1)est aussi orthonormée. Il y a une infinité d"autres bases orthonormées. Par exemple u1=1p2 (1;1;0);~u2=1p3 (1;1;1);~u3=1p6 (1;1;2)(1.8) est orthonormée parce qu"on a bien ~ui~uj= 0pour touti6=jmais~ui~ui= 1pour touti.

Pour les mêmes raisons

v1= (23 ;23 ;13 );~v2= (13 ;23 ;23 );~v3= (23 ;13 ;23 )(1.9) est une base orthonormée deR3. Les coordonnées d"un vecteur par rapport à une base orthonormée sont particulièrement facile à calculer. Proposition 1.2.Soit~u1;~u2;~u3une base orthonormée deR3. Pour~x2R3on a~x= a

1~u1+a2~u2+a3~u3avecai=~ui~xpouri= 1;2;3.

Donc par exemple pour

~x= (1;1;1)et la base orthonormée~u1;~u2;~u3de (1.8) on a~u1~x=p2et~u2~x=1p3 et~u3~x=2p6 . Donc on a~x=p2 ~u1+1p3 ~u22p6 ~u3par la proposition1.2 .

Pour le même

~x= (1;1;1)et la base orthonormée~v1;~v2;~v3de (1.9) on a~v1~x=53 et v2~x=13 et~v3~x=13 . Donc on a~x=53 ~v1+13 ~v2+13 ~v3par la proposition1.2 .

Preuve de la proposition

1.2 .Comme~u1;~u2;~u3est une base deR3il existea1;a2;a3tels qu"on ait ~x=a1~u1+a2~u2+a3~u3. On a alors u1~x=~u1(a1~u1+a2~u2+a3~u3) =a1(~u1~u1) +a2(~u1~u2) +a3(~u1~u3) =a11 +a20 +a30 =a1:

On a similairement

~u2~x=a10+a21+a30 =a2et on a~u3~x=a10+a20+a31 =a3. mée quelconque. Proposition 1.3.Soitf~u;~v;~wgune base orthonormée deR3et~x=a1~u+a2~v+a3~wet

y=b1~u+b2~v+b3~wdes vecteurs. Alors on a~x~y=a1b1+a2b2+a3b3.. L"argument est le suivant. Soit~u;~v;~wdes vecteurs non nuls vérifiant (1.5), et soitr;s;tdes réels avec

r ~u+s~v+t~w=~0. Alors on a0 =~u~0=~u(r~u+s~v+t~w) =rk~uk2. Mais on a~u6=~0et ainsik~uk>0. D"où r= 0. En faisant les produits scalaires der~u+s~v+t~w=~0avec~v6=~0et~w6=~0, on déduits= 0ett= 0.

LES ROTATIONS DER3: VERSION MATRICIELLE 3

Preuve.On développe

x~y= (a1~u+a2~v+a3~w)(b1~u+b2~v+b3~w) +a2b3~v~w+a3b1~w~u+a3b2~w~v+a3b3~w~w =a1b11 +a1b20 +a1b30 +a2b10 +a2b21 +a2b30 +a3b10 +a3b20 +a3b31 =a1b1+a2b2+a3b3: Définition 1.4.Lesupplément orthogonald"un sous-espace vectorielER3est E ?=f~v2R3j~e~v= 0pour tout~e2Eg:

Par exemple

R(1;2;3)?=f(x;y;z)2R3jr(1;2;3)(x;y;z) = 0pour toutr2Rg =f(x;y;z)2R3jx+ 2y+ 3z= 0g: Plus généralement, pour un vecteur(a;b;c)dansR3on R(a;b;c)?=f(x;y;z)2R3jr(a;b;c)(x;y;z) = 0pour toutr2Rg =f(x;y;z)2R3jax+by+cz= 0g:

C"est à dire, le supplément orthogonal de la droite vectorielle engendrée par(a;b;c)est le plan

vectoriel d"équationax+by+cz= 0. Proposition 1.5.Soitf~u;~v;~wgune base orthonormée deR3. Alors on a

R~u?=R~v+R~w;R~v+R~w?=R~u:(1.10)

Preuve.Exercice.

2.Le déterminant, le produit vectoriel, et orientations

Définition 2.1.Ledéterminantd"une matrice22est detu1v1 u 2v2 =u 1v1 u 2v2 =u1v2u2v1:(2.1)

Notation.Quand on entoure un tableau rectangulaire de parenthèses ou de crochets c"est une matrice. Quand on entoure un tableau carré de lignes verticales, c"est un

déterminant. Noter que quand on permute les deux colonnes de la matrice son déterminant change de signe.Idemquand on permute les deux lignesv 1u1 v 2u2 =v1u2v2u1=u 1v1 u 2v2 ;u 2v2 u 1v1 =u 1v1 u 2v2 Le déterminant d"une matrice22est apparu dans le premier cours d"algèbre linéaire comme une quantité qui est6= 0si et seulement si la matrice est inversible, et alors on aa b c d 1 =1adbc db c a :(2.2)

4 LES ROTATIONS DER3: VERSION MATRICIELLE

Définition 2.2.Leproduit vectorielde~u= (u1;u2;u3)et~v= (v1;v2;v3)est u^~v= (u2v3u3v2;u3v1u1v3;u1v2u2v1) = u 2v2 u 3v3 ;u 1v1 u 3v3 ;u 1v1 u 2v2 :(2.3)

Certains écrivent

~u~vau lieu de~u^~v. Le produit vectoriel est bilinéaire : il vérifie des formules analogues à ( 1.2 ). Il estanti- symétriquedans le sens qu"on a u^~v=~v^~u;~u^~u=~0:

Le produit vectoriel vérifie aussi

u(~u^~v) = 0;~v(~u^~v) = 0;k~u^~vk=k~ukk~vksin:(2.4)

Les deux premières formules de (

2.4 ) se vérifient par substitution. Pour la troisième on vérifie la formulek~u^~vk2=k~uk2k~vk2(~u~v)2par substitution. Par (1.4) on a donc k ~u^~vk2=k~uk2k~vk2(1cos2) =k~uk2k~vk2sin2 avecdans un intervalle oùsin0. Proposition 2.3.Une famillef~u;~vgde deux vecteurs dansR3est libre si et seulement si on a

~u^~v6=~0. Quand ceci est vérifié, le plan vectoriel orthogonal à~u^~vest le plan engendré

par ~uet~v: R ~u+R~v=f~x2R3j(~u^~v)~x= 0g:(2.5) Preuve.Montrons que les vecteurs~u;~vsont liés ssi~u^~v=~0. Il y a deux cas : (i) Si~u=~0 ou ~v=~0, alors~u;~vsont liés et satisfont à~u^~v= 0. (ii) Si~u6=~0et~v6= 0, alors ils sont liés ssi il exister2Rnon nul avec~u=r~v. Et par (2.4) ils satisfont à~u^~v=~0ssi on a sin= 0, qui signifie= 0ou=et donc~u=r~vavecr >0our <0. Les deux conditions sont équivalentes.

Les formules (

2.4 ) montrent qu"on a(~u^~v)(r~u+s~v) = 0pour toutr;s2R. Donc on a l"inclusiondans (2.5).Quand ~u;~vsont libres et donc~u^~v6=~0, l"ensemble à gauche est un espace vectoriel de dimension2, et l"ensemble à droite est un sous-espace vectoriel deR3ne contenant pas ~u^~v(on a(~u^~v)(~u^~v) =k~u^~vk2>0). Donc l"ensemble à droite est un sous-espace vectoriel deR3de dimension<3. Donc l"inclusionest une égalité=. Proposition 2.4.Une famillef~u;~v;~wgde trois vecteurs est une base orthonormée deR3si et seulement si elle satisfait à k ~uk=k~vk= 1;~u~v= 0;~w=~u^~v:(2.6) Preuve.(() Pour trois vecteurs vérifiant (2.6), l"angleentre~uet~vvérifie0 etcos= 0par la formule (1.4). Par conséquentsin= 1. Les formules (2.4) donnent les conditions manquantes de la définition d"une base orthonormée u~w=~u(~u^~v) = 0;~v~w=~v(~u^~v) = 0; k ~wk=k~u^~vk=k~ukk~vksin= 111 = 1: ()) Soitf~u;~v;~wgune base orthonormée deR3. Par le (() ci-dessusf~u;~v;~u^~vgest une base orthonormée deR3. Par conséquent~wet~u^~vsont tous les deux orthogonaux à~uet à vet de norme1. Ils sont donc des générateurs de norme1de la droite vectorielle orthogonale au plan vectorielR~u+R~v. Il y a exactement deux tels générateurs, qui sont opposés. Par conséquent ~wet~u^~vsont égaux ou opposés.

LES ROTATIONS DER3: VERSION MATRICIELLE 5

Définition 2.5.Ledéterminantd"une matrice33est det0 @u 1v1w1 u 2v2w2 u

3v3w31

A

Pour trois vecteurs

~u= (u1;u2;u3),~v= (v1;v2;v3)et~w= (w1;w2;w3)deR3notons

P(~u;~v;~w) =0

@u 1v1w1 u 2v2w2 u

3v3w31

A

Donc (

2.7 ) est une formule pourdetP(~u;~v;~w). En groupant les termes dans des différentes façons, on voit qu"on a detP(~u;~v;~w) = (~v^~w)~u= (~w^~u)~v= (~u^~v)~w:(2.8) On en déduit que le déterminant est invariant quand on fait une permutation cyclique des3 colonnes detP(~u;~v;~w) = detP(~v;~w;~u) = detP(~w;~u;~v): En revanche l"anti-symétrie du produit vectoriel implique que le déterminant change de signe quand on échange deux colonnes detP(~u;~v;~w) =detP(~v;~u;~w) =detP(~w;~v;~u) =detP(~u;~w;~v): Proposition 2.6.Une famille de trois vecteursf~u;~v;~wgdansR3est une base deR3si et seulement si on adetP(~u;~v;~w)6= 0.quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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