[PDF] Synthèse dimages Outils mathématiques de base

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Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Synthèse d'imagesOutils mathématiques de baseEricGalin(semestre printemps)Florence Zara (semestre automne)LIRIS, équipe ORIGAMIUniversité Lyon 1Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Outils mathématiques Contexte : besoin mathématiques pour la synthèse d'images •Pour décrire la scène•Définition d'un système de coordonnées•Pour faire des transformations géométriques •Projection et transformationBases pour la géométrie•Points•Vecteurs•Lignes•SphèresMatrices et transformations géométriques

Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Outils mathématiques Contexte : besoin mathématiques pour la synthèse d'images •Pour décrire la scène•Définition d'un système de coordonnées•Pour faire des transformations géométriques •Projection et transformationBases pour la géométrie•Points•Vecteurs•Lignes•SphèresMatrices et transformations géométriquesIntroduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Description de la scèneDéfinition d'un système de coordonnéesXYZRight-Handed System(systèmeortho-normé)

Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 PointsP(x,y,z):donneunepositionrelativeàl'originedansnotresystèmedecoordonnéesYZXP(x,y,z)Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 PointsExercicex = ?y = ?z = ?YZXP(x,y,z)rφθP(r, θ, φ)OAMQP(r,θ,φ) : donne la position en coordonnées polaires

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Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Points -solution•On connaît le point P(r,θ,φ)•Triangle QOP est rectangle en Q•cos φ = z/OP=z/r => z = r cos φ•sin φ = QP/r => QP = r sin φ •Triangle OAM est rectangle en A•cos θ= OA/OM = x/OM => x = OM cos θ= QPcos θ=> x = r sin φcos θ•sin θ = AM/OM = y/OM =>y = OM sin θ= QPsin θ=> y = r sin φsin θYZXP(x,y,z)rφθP(r, θ, φ)OAMQIntroduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 VecteursV (x, y, z) : donne une directiondans l'espace 3DPoints != Vecteurs•Point -Point = ?•Vecteur + Vecteur = ?•Point + Vecteur = ?•Point + Point = ?

Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Vecteurs-solutionV (x, y, z) : donne une directiondans l'espace 3DPoints != Vecteurs•Point -Point = Vecteur (AB = B -A)•Vecteur + Vecteur = Vecteur•Point + Vecteur = Point(translation du point)•Point + Point = rien !Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Vecteursvwv + wAddition de vecteursv + wv2v(-1)v(1/2)VMultiplication par un scalaireàvecteursrestent//vwDifference de vecteursv -w = v + (-w)v-wv -wxyVecteurOP = P -OPO

Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Vecteurs Longueur(norme) d'un vecteur V (x, y, z) : ||v|| = Vecteur unitaire : u = u / (norme de u)Produit scalaire (Dot Product)•a · b = ||a|| ||b|| cos qd'où cosq= a ·b / ||a||||b||•a · b = xa* xb+ ya* yb+ za* zb•Si on considère les vecteurs unitaires du repère ?Le produitscalaireestun scalaireIntroduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Vecteurs -Solution•Si on considère les vecteurs unitaires du repère ?•Leproduitscalairededeuxvecteursperpendiculairesestnul=> i . j = j . k = k . i = 0•Le produit scalaire du même vecteur vaut 1=> i . i = j . j = k . k = 1cossin0

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Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Produit vectoriel (Cross Product)•Produit vectoriel àvecteur normal au 2 vecteurs•||a x b|| = ||a|| ||b|| sin qUVU x VLe produitvectorielestun vecteurUtile pour calculer les normalesIntroduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Produit vectoriel-Solution•Le produit vectoriel de deuxvecteurscolinéairesestnul•i x i = j x j = k x k= 0•|i x j| = |j x k| = |k x i| = 1cossin0

Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Plan3 points non alignés forment un plan unique•Equation : ax+ by + cz + d = 0Attention : 4 points ne sont pas forcement coplanaires (dans le même plan)Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Plan -Exercice 1Soit un point A élément du plan•Trouverunvecteur normal au plan •Trouverl'équation d'un plan passant par A

Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Plan -Solution•Trouver un vecteur normal au plan •Planpeutêtre défini par un point et vecteur n•On considère le point A dans le plan•OnconsidèreunpointMégalementdans leplan•Ilreprésente l'ensemble des points de ce plan•Soit n la normale au plan, on a : n .AM=0=>n.(AO + OM) = n . (OM -OA)= n . OM -n . OACela équivaut à l'équation cartésienne avec M (x, y, z) et n (n1, n2, n3) :n1 x + n2 y + n3 z -(n1 a1 + n2 a2 + n3 a3) = 0ÞÉquation ax+ by + cz + d = 0avec a = n1, b = n2, c = n3, d = -n . OA+A+MIntroduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Plan -Exercice 2Soient 3 points : A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)•Trouverunvecteur normal au plan •Trouverl'équation du plan A,B,C

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Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Plan -Solution•Vecteur normal au plan ABC avec A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)•n = ABxAC= (-1,1,0) x (0,-1,1) = (1, 1, 1)•SoitM(x, y, z) ∊(A B C)•AM=M-A=(x-1, y, z) qui est orthogonal à n (1, 1, 1)•AM.n=0<=> x-1 + y + z = 0 <=> x + y + z -1 = 0 équation du plan (ABC)Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Plan -Solution•Autre méthode•Onsaitquel'équationduplanestdelaformeax+by+cz+d=0•A(1, 0, 0) appartient au plan (A, B, C)Þa +d=0•B (0, 1, 0) appartient au plan (A, B, C)Þb + d = 0•C (0, 0, 1) appartient au plan (A, B, C)Þc + d = 0Þd = -a = -b = -cÞx + y + z -1 = 0 convient

Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Equation paramétrique d'une ligneSoient•P0 = (x0, y0, z0) •P1 = (x1, y1, z1) La ligne P passant par P0 et P1 estP(t) = P0+ t (P1-P0)x(t) = x0+ t (x1-x0)y(t) = y0+ t (y1-y0)z(t) = z0+ t (z1-z0)=avec -¥< t < ¥Si 0 < t < 1 on a le segment [P0 P1]sit=0, on a le point P0sit = 1, on a le point P1P0P1Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Equation d'un cercleabchypothénusea2+ b2= c2Pxy(0,0)rx2+ y2= r2Théorème de PythagoreCercle de centre (0,0) et de rayon r, pour tout P(x,y) sur le cercle :

Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Equation d'une sphèreThéorèmede Pythagoregénéraliséà la3D : a2+ b2+ c2= d2(x-xc)2+ (y-yc)2+ (z-zc)2= r2x2+ y2+ z2= r2Pour tout P(x,y,z) sur le sphère de centre (0,0,0) et de rayon r :Pour tout P(x,y,z) sur le sphère de centre (xc,yc, zc) et de rayon r :Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Outils mathématiques Contexte : besoin mathématiques pour la synthèse d'images •Pour décrire la scène•Définition d'un système de coordonnées•Pour faire des transformations géométriques •Projection et transformationBases pour la géométrieMatrices et transformations géométriques•Définitionet opérationssur les matrices•Transformations géométriques•Compositions de transformations

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Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 MatricesUne Matrice est un tableau de dimensions M (lignes) par N (colonnes)•matrice 3 par 6•élément 2,3 est (3)Un vecteur peut être considéré comme une matrice 1 (ligne) x M (col.)

()zyxv= ae

100025

114311

212003

Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Types de matricesMatrices identité notée I :Matrice diagonale:

ae 10 01 ae 1000
0100
0010 0001

Matrice symétrique:

ae 4000
0100
0020 0001 ae fec edb cba

Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Opérations sur les matricesAdditionde matrices : Transposéed'une matrice : M par N devient N par M

ae ae 389
724
651
376
825
941
T ae ae ae sdrc qbpa sr qp dc ba ae ae 63
52
41
654
321
T

Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Opérations sur les matricesMultiplicationde deux matrices•Matrice x1 y1multipliée par matrice x2 y2•Multiplication possible ssiy1= x2•Résultat : matrice x1 pary2•Attention : si A * B est possible, cela ne veut pas dire que B *A l'est aussi !!!

ae ae ae x1y1y2y2x1x2

Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Opérations sur les matrices•A est n par k , B est k par m•C = A * B est définie par•B*A != A*B

k l ljilijbac 1 ae ae ae ae ae ae ae ae ae

Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Exemple de multiplications de matrices

ae ae ae -____ ____ 10 11 12 101
132
ae ae ae ______ ______ ______ 010 001 100
111
013 322

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Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Solution ae ae ae -____ ____ 10 11 12 101
132
ae ae ae ______ ______ ______ 010 001 100
111
013 322

700-2-2 3210-3-1 -11Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Inverse d'une matrice•Si A * B = I et B * A = I alors A = B-1et B = A-1

Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Transformations géométriquesLes transformations géométriques sont utilisées partout•Changement de repère•Projection•Déplacement dans le tempsElles sont effectuées en utilisant des matrices de transformationChaque point P(x,y,z) de l'objet est multiplié par une matriceNous obtenons une nouvelle position issue de la transformation :P'(x', y', z') = matrice de transformation * PIntroduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Transformations géométriques en 2DAvantAprèsChangement d'échelle en 2DP(x,y,z)P'(x',y',z')

Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Transformations géométriques en 2DAvantAprèsqAvantAprèsTranslation en 2DRotation en 2DP(x,y,z)P(x,y,z)P'(x',y',z')P'(x',y',z')Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Matrice de transformation en 3DEn 3D, un vecteur est transformé en le multipliantpar une matrice 3x3 appelée matrice de transformation

ae ae ae izhygx fzeydx czbyax z y x ihg fed cba Matrice de transformationVecteur P' transforméVecteur P qui subit la transformation

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Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Matrice de changement d'échelleC'estunematricediagonalede la formesuivante(avec a, b, c les facteursd'échelle) : Exemple:

ae ae ae cz by ax z y x c b a 00 00 00 ae ae ae -10 4 6 5 4 3 200
010 002

Matrice de changement d'échelleIntroduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Rotation autour d'un axe : exerciceOn veut faire une rotation autour de l'axe des zQuelle est la matrice de transformation correspondante ?YX

a aa aa i re ir rr yxP ))sin()(cos( )sin()cos( qa+ i eP a

PPoint initial :

Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Matrice de rotation en 2DPoint P' issu de la rotation de P autour de l'axe des z :Remarque : Z ne change pas

ae ae- y x iyiiyxix iiyx erereP iii )cos()sin( )sin()cos( )sin()cos()sin()cos( ))sin())(cos(( qq qq qqqq qq qaqa YX qa+ i eP a

Pi2=-1Point PMatrice de transformationIntroduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Matrice de rotation en 3DMatrice de rotation autour de l'axe des z :

ae 100

0)θcos()θsin(

0)θsin(-)θcos(

YX ()yx()()()()()yθ cosxθ sin yθ sin-xθ cos+ car Z ne change pas

Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Matrice de rotation en 3DRotation autour de X :Rotation autour de Y :

ae )θcos()θsin(0 )θsin(-)θcos(0 001 ae )θcos(0)θsin( 010 )θsin(-0)θcos(

Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Matrice de translation Trouver la matrice qui translate un point P ?•P =P' = On cherche la matrice de transformation M tqP' = M * P

ae czquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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