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Transformations

Géométriques

Transformations Géométriques

Graphique : soucis principal est

G·MIILŃOHU GHV RNÓHPV 3G

De les manipuler

GH OHV RNVHUYHU G·XQ SRLQP GH YXH MUNLPUMLUH

Toutes ces questions sont liées au fait de

vouloir les afficher dans des repères pratiques pour nous

Transformations géométriques

Transformations Géométriques

Translation

(1,0)

Rotation(90

°)Scale

(0.25,0.25)

Combinaisons

Translation (3,0)

Scale(1,0.5)

Rotation (-30°)

Ici toutes les transformations

sont globales !

Matrices

Addition

Multiplication

Multiplication généralement non commutative

SiAB =AC, MORUV QRXV Q·MŃRQV SMV IRUŃpPHQP B=C

Multiplication est associative et distributive

(AB)C = A(BC)

A(B+C) = AB + AC

(A+B)C = AC + BC Transposée AT = inversion des lignes et colones

Question

A = --

Que vaut A+BT?

ABT= --

Translation

En 3 dimensions : définie par vecteur [tx, ty, tz] [· [ Ą tx\· = y + ty ]· = z + tz

Attention,

tx ty tz

Définition

Une translationest un déplacement dans une direction donnée

Translation

Définition

Une translationest un déplacement dans une direction donnée

Translation sur y

Homothétie (Scale)

En 3 dimensions: définie par vecteur [sx, sy, sz] [· Sx* x \· = Sy* y ]· = Sz* z

Définition

I·ORPRPOpPLH scale) est une expansion ou une contraction sur un ou plusieurs axes,ŃHQPUpH JpQpUMOHPHQP j O·RULJLQH Scale

Définition

I·ORPRPOpPLH scale) est une expansion ou une contraction sur un ou plusieurs axes,ŃHQPUpH JpQpUMOHPHQP j O·RULJLQH

Originalscale all axesscale Y axis

offset from origindistance from origin also scales

Rotation

5RPMPLRQ JpQpUMOHPHQP SMU UMSSRUP j O·RULJLQH

GMQV OH ŃMV G·XQH URPMPLRQ G·MQJOH ljMXPRXU GH O·M[H ]

ŃRVlj) ²y * sin(lj)

\· = x * cos(lj) + y * sin(lj) ]· = z

Définition

La rotationest le mouvement d'un corps autour d'un point ou d'un axe

Rotation

Les rotations se font dans le sans

PULJRQRPpPULTXH SMU UMSSRUP j O·RULJLQH

rotation of 45oabout the Z axis offset from origin rotation

Rotation

Les rotations se font dans le sans

PULJRQRPpPULTXH SMU UMSSRUP j O·RULJLQH

x y

Rotation

autour de z x x

Rotation

autour de y y z

Rotation

autour de x

Rotation

Une rotation dans le sens trigonométrique a

pour inverse la même rotation dans le sens anti-trigonométrique

Si la matrice a pour propriété RT= R-1

alors M est orthonormée

Toutes les matrices orthonormée sont des

PMPULŃHV GH URPMPLRQ SMU UMSSRUP j O·RULJLQH

Combinaisons

Translation (3,0)

Scale(1,0.5)

Rotation (-30°)

Ici toutes les transformations

sont globales !

Combinaisons

Translation (3,0)

Scale(1,0.5)

Rotation (-30°)

Alors que si les transformations

sont locales,

Exercice

Rotation (-30°)

Translation (0,3)

Quelle succession de

transformations locales nous donne ce résultat ?

Scale(0.5,1)

Exercice

Rotation (-30°)

Scale(0.5,1)

Pouvait-RQ LQYHUVHU O·RUGUH GH OM

translation et du scaleen utilisant les mêmes transformations?

Translation (0,3)

NON

Combinaisons

Il est intéressant de combiner plusieurs

transformations pour en créer une complexe

6L O·RQ GpŃRXSH OH ŃMOŃXO MOJpNULTXH j OM

main AEcompliqué

Utilisation de matrices

Toute transformation affine

est une combinaison de rotations, scaleet translation

Coordonnées Homogènes

Utilité : représenter aussi bien les translations, scalesou rotations par une matrice

AE1·LPSRUPH TXHOOH RSpUMPLRQ ŃRUUHVSRQG j

une multiplication de matrices

Coordonnées Homogènes

%MVH G·XQ V\VPqPH GH ŃRRUGRQQpHV ORPRJqQHV Q YHŃPHXUV Ą SRVLPLRQ G·RULJLQH

Chaque point ou vecteur est représenté par

leur coordonnées et plus couramment en 3D par

Coordonnées Homogènes

Vecteurs : par de position AEaO= 0

Points : aO= 1

Exemples

Vecteurs

correspondantsPoints

Coordonnées Homogènes

Matrice

Identité

Translation

Homothétie

Rotation

sur axe x

Orientation : Représentations

Différentes façon de représenter des

orientations / rotations

Angles d'Euler

Angle-Axe (Axis-Angle)

0MPULŃHV QRQ MGMSPpHV SRXU O·LQPHUSROMPLRQ

Matrices intermédiaires incorrectes

Rx(0)

Rx(60)

0.5*Rx(0)+0.5*Rx(60)=

$QJOHV G·(XOHU

Trois angles pour représenter la rotation

Les axes de rotation sont les axes locauxdu

système de coordonnées Représentations variées : xyz, xzy, zyx, zxz, yxz"

Limitation : gimballock

$QJOHV G·(XOHU ²XYZ x y z x

Angle-Axe

Rotation représentée par

Un axe de rotation (vecteur)

Un angle de rotation (scalaire)

Formules pour calculer la

matrice de rotation à partir

G·XQ M[H HP G·XQ MQJOH

Quaternion

Rotation représentées par un vecteur de

quatre scalaires [x, y, z, w] (ou [w, x, y, z])

Angle de rotation w

Axe de rotation [x, y, z]

Similaire à la représentation Angle-Axe, mais propriété mathématiques plus intéressantes (e.g., interpolation)

Petits Rappels

Algèbre linéaire nécessaire pour calculer lesquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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