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1 LO12

Chap 4

4. Transformations géométriques

plusieurs repères : • objet, • scène, • observateur(caméra), • écran: transformations pour passer d'un repère à l'autre. description 3D pour un affichage 2D: projection de la scène sur l'écran xz yPlan de projection

Caméra

(observateur de la scène)Objet projeté

Point de visée

xc zcyczo yo xo

4.1 Les transformations 2D

222211121121

22211211

baabaa

bb un vecteurest aaaa inversible 22 matrice uneest : écrires'peuvent plan le dans sponctuelle ations transformles Toutes) de

é(transform finalpoint le et départ depoint Soient yxyyxxy x yx

BA BAXXXXXLes transformations 2DTranslation

vvvv on translatide vecteur leest

1001 identité matrice laest

yyyxxxyx v

TB AP(x,y)P'(x',y')

v

Les transformations 2D

Changement d'échelle

Rotation par rapport à l'origine

yyxx ee y x yx ee nulest e00e diagonale matrice uneest BEA yx D D D cossinsincos

00 nulest cossin sin -cos rotation de matrice laest

yxyyxxBRA xx'y' y PP' 2 LO12

Chap 4

Les transformations 2D

Symétrie par rapport à un axe

Application aux objets

en théorie : on applique la transformation ponctuelle en chaque point de l'objet en pratique : seulement quelques points de référence yyxxyyxx

nulest 1001 y des axel' àrapport par symétrie matrice laest nulest 1001 x des axel' àrapport par symétrie matrice laest

BSABS A

yx

Transformations inverses

Transformations inverses

Transformations de

coordonnées et : Symétrie : échelled' Changement :Rotation :n Translatio 111
-11 yyxx,1/1/,v-v

SSS S E ERRTT

yxyx eeee xx' y'yP(x,y) (x',y') xx'y' yP(x,y) (x',y') v cossinsincos yxyyxx yyyxxx vv

Composition des transformations

Toute transformation peut se

décomposer en composition de transformations

élémentaires

Comment exprimer de manière

simple une transformation non

élémentaire?

Exemple : la rotation par rapport

à un point P

vv-

T : PRT

point le rsslation ve tran :rotation originel' on vers translati:tion Transforma

T vP

Coordonnées homogènesDéfinition

on translati:symétrie échelle, rotation, :

1101''

écrires'peut egéométriquation transformuneet : échelled'facteur un est sinon infinil' à e transformsepoint le alors 0 sies)(normalisé et alors 1 si un triplet recorrespondfait on , de y)(x,point A tout homogènes dites scoordonnée les utiliseon cela

Pour on. translatila sauf esélémentair ations transformles spour toute possibleest C'' matric

e seuleuned'formesousr représentese p eut ation transfor m Une

2121212

BABAMX XM

y x yxy s hx s hssy hxhs,s), h(h 3 LO12

Chap 4

Transformations en coordonnées homogènes

100010001

: symétrie/y

100010001

: symétrie/x

1000000

: échelle1000cossin0sincos rotation

1001001

:n translatio yxy x eev v

On trouve une autre notation en infographie

équivalenceReprésentation matricielle des transformations

gauche. à esmatriciell tionsmultiplica despar esreprésentésont ations transformLes colonnes vecteursdessont et . ) de é(transform finalpoint le et départ depoint le Soient

AXXXXXXX

c YBYYY c

doite. à esmatriciell tionsmultiplica despar esreprésentésont ations transformLes lignes vecteursdessont et

alors et si TTT

BAYXYX

nn2211123 n123n21232112313 21
...'' 3) 2) ) 1

PMPPMPPMPMMMMPMMMPPMMMPPMMMPM

MM

Composition des transformations en coordonnées

homogènesComposition de transformations : produit matriciel •Transformations successives •Appliquée à npoints •Composition des transformations : calcul d'une matrice

Composition des transformations en coordonnées

homogènes exemple

Opération de prélèvement

XRXTRTRTPRTPR

v-vvv- PPP

: point le on vers translati3) : originel' deautour derotation 2) originel' vers deon translati) 1 : tion Transforma

Soit un objet défini dans son propre repère.

Le placer dans une image consiste à :

1) effectuer une mise à l 'échelle

2) effectuer une rotation

3) effectuer une translation

4 LO12

Chap 4

4.2 Les transformations 3D

Repère direct

Repère indirect lié à l'observateur Repère direct lié à l'observateur x zy xz y x zy

Les transformations 3D

Coordonnées cartésiennes et sphériques

Angles azimuth et élévation

dans certaines applications (OpenGL)

Les transformations élémentaires

Translations

Symétries par rapport à un planChangements d'échelle

Rotations par rapport à un axe

1000000000000

1000100010001

ezey,ex,ztyt,xt, zyx t tt eee z yx ET

1000010000cossin00sin-cos

10000cos0sin-00100sin0 cos

10000cossin 00sin-cos00001

z,y,x, RRR

1000010000100001-

10000100001-00001

100001-0000100001

yzxzxy SSS

Composition des transformations

Principe

: le même qu'en 2D; on multiplie les matrices représentant les transformations

élémentaires.

Exemple: Rotation autour d'un

axe // à l 'axe x.

Matrice de transformation :

xz y

P(a,b,c)

1000cossincossin0sincossincos00001

1000100010001

10000cossin00sincos00001

1000100010001

ccbbcbc ba c ba M 5 LO12

Chap 4

4.4 Transformations de coordonnées

Opération de changement de répère

Appliquée lorsqu'on passe du repère de la scène au repère observateur

Un exemple : le polarview

xz y d O xc zcyc C twist

Transformations de coordonnées

On suppose ici que l'observateur vise le centre de la scène (polarview) •position de l'observateur •point de visée : centre du repère scène •angle de "twist" : tête droite xz y O xc zcyc C twist

Le polarview (1)

Rotation de - (/2 -) autour de zAlignement de l'axe y du repère observateur dans le plan OCz 1

10000100002cos2sin002sin2cos

1 111
: ) - /2(Rotation zyx z yx z R /2 - xz y O xc zcyc C x1 z1 y1

Le polarview (2)

Rotation de (/2 +

) autour de x1 Pointe l'axe z du repère observateur vers le centre du repère scène 1 111

100002cos2sin00

2sin2cos00001

1 222
- /2(-Rotation zyx z yx x R O xc zcyc C x1 z1 y1 x2 z2y2 6 LO12

Chap 4

Le polarview (3)

Rotation de

autour de y2 (repère direct) O xc zcyc C x2 z2y2 1 222

10000cos0sin00100sin0cos

1 333
: )(Rotation y zyx z yx S R x3 z3y3

Le polarview (4)

Translation de d = distance de O vers C :

1 333

100010000100001

1 : T(0,0,-d)n translatio 222
zyx zyxzyx ccc O xc zcyc C

Repère direct

x3 z3y3 Xc Zc Yc

4.5 Les transformations avec OpenGL

Une seul matrice : ModelView

Équivaut à un seul repère : repère observateur Les transformations de déplacement de scène et de positionnement de l'observateur sont combinées et stockées dans la même matrice

Matrice

ModelView

Matrice de

Projection

ViewPort

x y z w

Repère

objetRepère observateur

Repère écran

Repère

fenêtre

Affiche le pointX' = ModelView X

Les transformations avec OpenGL

Tranformations élémentaires

glTranslate*(...); glRotate*(...); glScale*(); Capacité de mémorisation : gestion d'une pileglPushMatrix (...) glPopMatrix (...) glLoadMatrix (...)

Produit de matrice à droite

7 LO12

Chap 4

Les transformations avec OpenGL

Remarque très importante :La multiplication des matrices se faisant à droite, il faut faire attention à l'enchaînement des transformations. Par exemple, pour réaliser la transformation composée d'une rotation puis une translation sur P, soit P' = T.R.P, il faut réaliser les appels suivants : glTranslate*(...); glRotate*(...); afficheP(...)

Les transformations avec OpenGL

tutoriel de Nate Robins

Les transformations avec OpenGL

ModelView

Positionnement

de l'observateur

LookAtModelView

I *M LA I

Affichage des

objets directement dans le repère observateurAffichage des objets: applique la transformation dans la matrice courante : I * M LA pushMatrixModelView I *M LA I *M LA

ModelView

Affichage des objets

: applique la transformation dans la matrice courante: I *M LA * RRotation I *M LA I *M LA *RAffichage des objets: applique la transformation dans la matrice courante: I * M LA popMatrixModelView I *M LA

Affichage des

objets: applique la transformation dans la matrice courante : I * M LA Transformation des coordonnées du point de vue de l'observateur dans le plan de l'écran

Classification

•projection non planaire (écran de projection non plan) •projection planaires 4.6 Les projections sur un plan projections planaires perspectives parallèles

1 point de fuite principal

2 points de fuite principaux

3 points de fuites principauxobliques

orthogonales générale cavalière cabinetdessin industriel axonométrique

3 vues

vue auxiliaire vue en coupeisométrique dimétrique trimétrique 8 LO12

Chap 4

Les projections perspectives

Définition du centre de projection

Définition du plan de projection

Les projections perspectives

Points de fuite : 1, 2 ou 3

zoyo xo

P'(xe,ye)P(xo,yo,zo)

observateur

écran

Les projections perspectives

Généralement

centre de projection = position de l 'observateur plan de projection (perpendiculaire à l'axe de visée de l'observateur :

Z ou -Z)

écran

x o z o x equotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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