[PDF] Les caractéristiques de dispersion - Nanopdf

View - Download Les caractéristiques de dispersion - Nanopdf

Previous PDF

Next PDF

Les caractéristiques de

dispersion

Thème 3

Hubert LASSERRE

Les mesures de dispersion

•Etendue •Ecart absolu moyen •Intervalles entre quartiles, déciles, centiles •Diagramme en boites (boite à moustaches) ou à pattes •Variance •Ecart type •Coefficient de variation

Objectifs

•Pour mesurer la dispersion ou la variabilité des observations on utilise le plus souvent la variance et l'écart type. •D'autres caractéristiques de dispersion dont certaines ont l'avantage d'avoir une signification très concrète sont présentées ici. •Citons par exemple l'intervalle entre les quantiles proposé par le savant belge

Adolphe Quételet en 1846.

L'étendue

•L'étendue est la différence entre le plus grand et le plus petit des nombres x1, x2, . . . , xi, . . . ,xn. •Cette caractéristique présente l'inconvénient de ne tenir compte que des valeurs extrêmes qui sont parfois accidentelles ou exceptionnelles.

L'étendue

Exemple

•Durant le dernier été la température maximale a été de 39 degrés Celsius et la température minimale de 7 degrés

Celsius, l'étendue est de 32 degrés.

•Cette caractéristique ne donne aucune indication sur le groupement plus ou moins important des températures autour d'une valeur centrale.

L'écart absolu moyen

•L'écart absolu moyen de n nombres x1,x2,...,xi,...,xn autour d'un nombre a est défini par : •Ea = 1/n [(x1 - a) + (x2 - a) +... + (xi - a) +... + (xn - a)] • xi - a représente la valeur absolue de xi - a.

L'écart absolu moyen

•On prend généralement pour a, la moyenne arithmétique x ou la médiane Me. •L'écart absolu moyen est minimal pour a = médiane. •Quand on ne précise pas : x = 1. Ainsi :

Intervalle entre quartiles,

déciles, centiles •L'intervalle entre le troisième et le premier quartile soit Q3 - Q1 est un indicateur de dispersion autour de la médiane Me. 25 %

Q1MeQ325 %25 %25 %

Intervalle entre quartiles,

déciles, centiles •En effet, cet indicateur Q3 - -Q1, correspond à un intervalle qui regroupe 50 % des observations autour de la médiane. •On peut aussi utiliser (Q3 - Q1)/2 (intervalle semi-interquartile). •L'intervalle entre le neuvième et le premier décile D9 - D1 est aussi un excellent indicateur de dispersion, sa signification est très concrète puisqu'il correspond à un intervalle qui regroupe 80 % des observations autour de la médiane.

Intervalle entre quartiles,

déciles, centiles •L'intervalle entre deux centiles peut

également être utilisé pour mesurer une

dispersion des observations. •Par exemple, l'intervalle entre le quatre- vingt-dix-neuvième et le premier centile contient 98 % des observations. 10 %

D1MeD340 %40 %10 %

Diagramme en boites (boites à

moustache) ou à pattes •La boîte à pattes (box-plot en anglais) fournit d'un seul coup d'oeil des informations d'une distribution concernant la tendance centrale, l'asymétrie, la dispersion. •Cette représentation a été proposée par

J.W. Tukey (USA) en 1977.

Diagramme en boites (boites à

moustache) ou à pattes •Au lieu de mettre les quartiles, on peut mettre les déciles. •L'axe peut être porté verticalement ou horizontalement. min

Q1Q3memax

Diagramme en boites (boites à

moustache) ou à pattes •Le diagramme se construit de la façon suivante : -les valeurs de la variable sont repérées sur un axe ; -sur cet axe, on reporte le minimum (min) et le maximum (max) des observations ainsi que la médiane (Me), le premier quartile (Q1), le troisième quartile (Q3). •Le rectangle construit parallèlement à l'axe entre le 1er et le 3ème quartile est " la boîte ». •Cette visualisation (centre, dispersion, asymétrie) est très utile pour comparer des séries statistiques.

Précision des unités de mesure

•Les indicateurs de dispersion présentés sont des nombres exprimés dans les mêmes unités que les nombres xi.

Précision des unités de mesure

•Si l'on veut comparer la dispersion de plusieurs séries exprimées dans des unités différentes ou à des périodes différentes, au lieu de Q3 - Q1 on peut prendre (Q3 - Q1)/Me, et au lieu de

D9 - D1 on peut prendre (D9 - D1)/Me.

•Ces caractéristiques sont sans dimension, c'est-à-dire indépendantes des unités de mesure.

L'utilisation de l'écart type est

préférée à l'écart absolu moyen •L'utilisation de l'écart absolu est compliquée à utiliser d'un point algébrique car : xi - x = xi - xsi xi > x et : xi - x = - (xi - x) si xi < x •L'écart absolu moyen se prête mal aux opérations de dérivation. •Pour cette raison il est préférable d'utiliser plutôt l'écart type σ ou la variance.

Propriétés souhaitables des

indicateurs de dispersion •Le statisticien Yule en 1945 a défini les propriétés souhaitables pour une caractéristique de valeur centrale ou de dispersion : -être définie de façon objective en ce sens que deux personnes différentes aboutissent au même résultat, -dépendre de toutes les observations, -avoir une signification concrète. Par exemple pour mesurer la dispersion, l'écart entre le neuvième décile et le premier décile qui contient 80 % des observations a une signification plus concrète pour un non-spécialiste que l'écart type,

Propriétés souhaitables des

indicateurs de dispersion -être simple à calculer (les moyens de calculs modernes permettent de s'affranchir de cette propriété), -être peu sensible aux fluctuations d'échantillonnage (les caractéristiques d'une population ne sont souvent connues que de façon approximative à partir d'un

échantillon issu de cette population, les

fluctuations d'échantillonnage sont faibles si les caractéristiques obtenues avec d'autres échantillons varient peu).

Objectifs : variance et écart type

•Résumer une distribution statistique concernant un caractère quantitatif observé sur n individus par une seule caractéristique telle que la moyenne ou la médiane est insuffisant. •La moyenne ou la médiane représentent une valeur centrale de la distribution.

Objectifs : variance et écart type

•La statistique commence précisément là où il y a variabilité ; il faut donc définir au minimum une valeur centrale et une mesure de dispersion autour de cette valeur centrale. •La variance est la caractéristique la plus utilisée pour mesurer la dispersion ou l'étalement des données autour de la moyenne. L'écart type est la racine carrée de la variance. Cette notion de variance est apparue avec la théorie des moindres carrés.

Définition de la variance et de

l'écart type •La variance de n nombres x1, x2, ..., xn, est définie par : •V(x) = 1/n . [(x1 - x)² + (x2 - x)² + ... + (xi - x)² + ... + (xn - x)²] •Si plusieurs valeurs sont égales et que la valeur de xi est observée ni fois avec :

Définition de la variance et de

l'écart type •La formule de la variance devient : •L'écart type, noté σ ou σx est la racine carrée de la variance (Standard deviation en anglais).

V(x) = σx²

•Soit :

Formule développée de la

variance = 1/n [(x1²-2x1x+x²)+[(x2²-2x2x+x²)+...] •V(x) = x² - x² " moyenne des carrés moins carré de la moyenne »

Formule développée de la

variance •La formule avec les pondérations est :

La variance augmente avec la

dispersion •La variance augmente lorsque les données se dispersent davantage.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

[PDF] les caractéristiques de dispersion exercices corrigés

[PDF] caractéristique de position definition

[PDF] caractéristique de dispersion definition

[PDF] caractéristique de position et de dispersion

[PDF] exercices sur les caracteristiques de dispersion

[PDF] les caractéristiques de position le mode

[PDF] caractéristiques d un positon

[PDF] caractéristiques du temps

[PDF] le développement de la notion de temps piaget

[PDF] temps caractéristique définition

[PDF] structuration du temps piaget

[PDF] temps vécu perçu conçu

[PDF] définition du temps

[PDF] svt le cristallin une lentille vivante

[PDF] caractéristiques des élèves de 6ème en eps