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L'aporie du passage

Zénon d'Élée et le principe d'achevabilité

Pierrot SEBAN

Thèse présentée et soutenue publiquement le 13 décembre 2018 en vue de l'obtention du doctorat de philosophie de l'Université Paris Nanterre, sous la direction de M. Jean-Michel S ALANSKIS, Professeur émérite à l'Université Paris Nanterre

Membres du jury :

Rapporteure : Mme Hourya B

ENIS-SINACEURDirectrice de recherche émérite au CNRS

Rapporteur : M. Ali B

ENMAKHLOUFProfesseur à l'Université Paris Est Créteil

Val de Marne

M. Brice H

ALIMIMaître de conférence HDR à l'Université

Paris Nanterre

M. Marwan R

ASHEDProfesseur à l'Université Paris Sorbonne aa1a2a3...

ω ω+1ω+2

69
e 79e 1000e
999
e

A2A4A6

pn p

2m= (pm)2

p

3m= (pm)3

p

6m= (p3m)2= (p2m)3

n+ 1 n-1

1 + 2 + 3 + 4...

2+1+1+1...3+1+1+1...

?n-2 m=1m (n-1)?(n-2)/2 pn p 0 p n+1pn pn pn+1 pn+1 in pnpn+1 pn pn+1

1/2n,0<

n <∞ ?0 ?0 ?0

ω ?0 ω

?0 2X V=D

TD=V?TT=DV

V=D T D

2 T=DV D2V=T2

T 2 T=T 2 T= 2T aa1a2a?1a?2 x1,x2,...,xn,... xi ?0 ?n? ?0 tn ω tn tn tn tn ?0 ?0 t1 t1 t1 t1

ω+1

1-1/2nIn

11/2n-11-1/2nTnIn

Tn

T1 T2 T3 (n)Tn

In

ω+ 1

1-1/2n In 11/2n-1

1-1/2n Tn In

Tn

T1 T2 T3(n)Tn

In

D1D2D3 Dn

D

1?D2?D3?...?Dn?RnRnDn+1?Rn+1

Rn

Dn D1

D 2D3 Dn

Dn D1

D Dn+1 Rn+1

D1 D1 R1

D1 D2 R2

D2

D3 Dn

D1D2D3Dn

D1?D2?D3?...?Dn?Rn

Rn Dn+1?Rn+1 Rn

Dn D1D2D3

Dn Tn Rn RnDn Rn

D1 D1 R1

R1

D2 R2 Rn Dn+1

R n+1Rn D1

D2 Dn

Dn Rn

T n Dn Rn Tn

P1P2P3 Pk

Pk Tn

Tn T1 T2

T3 Tn Tn P1P2 P 3Pk Pk Tn Tn

T1T2T3

Tn

ω+ 1

ω ω+ 1

ω ω+1

T1T2T3

P1P2P3

[Pn,Pn+1[ T0 P0 T,P

ω+1

∞ → ∞...3→2→1→0 ∞ → ∞...3→2→1→0

A→A

A→A ∞ → ∞

(T1)sT s tt→T (T2) sT st s t---→t→TsT [10] (T1) sT stt→T (T2) stst---→t→TsT [10]

1,k,k2,k3

P() e

M < N=def

m2= 2n2 2 2 =def ¬P p

1,p2,p3,...,pn (p1?p2?p3?...?pn)+1

pn+1

P= ((p1?p2?p3?...?pn)+1)

p3 P= ((p1?p2?p3?...?pn)+1) = (p3?(p1?p2?...?pn)+1)P/p3= (p1?p2?...?pn) n+ 1 ?x?y, fini(y)→x > y ?y, fini(y)→(?x,x > y) ?0 p p/2n ?(∅ ?? ?x?((x? {x})?)) (x? {x})

ω+1ω

B→A¬A→ ¬B

ω+ 1

?x?y R(x,y)?S(y) ?x ?y

R(x,y) S(y)

x·y e e e ?x?y?z x·(y·z) = (x·y)·z ?x e·x=x·e=x ?x?y x·y=y·x=e ?x¬Sx= 0 ?x¬x= 0→ ?y Sy=x ?x?y Sx=Sy→x=y ?x x+ 0 =x ?x?y x+Sy=S(x+y) ?x x?0 = 0 ?x?y x?Sy= (x+y) +x φ [φ(0)?(?x φ(x)→φ(Sx))]→(?x φ(x)) ?x?y[?z(z?x?z?y)?x=y] ?x x=x ?x?y¬y?x ?x?y?z(x?z?y?z) F F F ?F?A?Y?x[(x?Y?Y? F)?x?A] A?B ?z?w1?w2...?wn?y?x[x?y?(x?z?φ(x))] ?X[∅ ?X? ?y(y?X?S(y)?X)] P(A) ?x?y?z[z?x?z?y] ?x[?a(a?x)? ?y(y?x? ¬?z(z?y?z?x))].

φ x,w1,...,wn

φ x,y,A,w1,...,wn

φ ?A?w1?w2...?wn??x(x?A? ?!y φ)? ?B?x?x?

A? ?y(y?B?φ)??. φ

(Si)i?I (xi)i?I xi?Si i?I ?x[∅ ?x? ?y(y?X?S(y)?x)]

S(x) =defx? {x}

?x[∅ ?x? ?y(y?x?y? {y} ?x)] yy?y

Vα α Vα

V0 V

0:=∅

β Vβ

Vβ-1

V

β:=P(Vβ-1)

λ Vλ

V

β<λVβ

α S?Vα

Vα Vα S?Vα

S?Vα+1 Vα

U

Vββ < α

A= (A1,...,An)

B= (B1,...,Bn) Ai:Bi=Aj:Bj A1:B1=A:B

AB

A < B D

A=B-D,A+D=B

Ci A > C i B > Ci Ci

Ci+1 B

C B-C C

C B D

C > B-D C > A

A > C A > A

A > B A=B+D D

C C > AB+D > C

A > A A

B A=B

C1> B > AC2> B > AC3> B > A

Cn2n+1

Cn Cn+1

1 a

10+a102+a103+...

=a 9 a b+ab2+ab3+...=ab-1 1 b b-2 b 810 a

10∞8a10∞

a

10∞

A= (A1+A2+...+An)B= (B1+B2+...+Bn)

Ai:Bi=Aj:Bj A:B=A1:B1

Ai:Bi= 1 : 8

a=x+ 8x x=a 9 a

10+a102+a103+... a9

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