[PDF] Séries numériques 29 avr. 2014 1 Cours.

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Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne

Séries numériques

Luc Rozoy, Bernard Ycart

Disons-le tout net, ce chapitre n"est pas indispensable : d"ailleurs, vous ne verrez pas vraiment la différence avec les suites. Normal, il n"y en a pas. Alors pourquoi l"étudier? Au moins pour être sûr que vous ayez bien assimilé la notion de limite : si vous avez bien compris la convergence des suites, vous ne devriez pas avoir de problème ici. Les séries sont très proches des intégrales sur un intervalle non borné, et nous y ferons allusion à plusieurs reprises. Vous apprendrez plus tard qu"il s"agit de deux cas particuliers du

même objet. Cependant, vous n"êtes pas du tout obligés d"avoir assimilé les intégrales

pour comprendre les séries.

Table des matières

1 Cours 1

1.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Séries à termes positifs ou nuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Critères de Cauchy et de d"Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Séries à termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Sommes de séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Vitesse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Entraînement 22

2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Compléments 43

3.1 De Zénon d"Élée à von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Le théorème de Merton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3 La série harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4 De seriebus divergentibus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.5 Vous avez le choix! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

29 avril 2014

Maths en LigneSéries numériquesUJF Grenoble1 Cours

1.1 Définitions et propriétés

Définition 1.Soit(un)n?Nune suite de réels ou de complexes. On appellesérie de terme généralun, et on note?unla suite des sommes partielles,(sn)n?N, où pour tout n?N, s n=u0+···+un=n i=0u i. Comme premier exemple de série, observons le développement décimal d"un réel strictement compris entre0et1. x= 0,a1a2...an... ,où pour toutn,an? {0,1,...,9}. Cette écriture correspond en fait à la série de terme général an10 n. La somme partiellesn

est l"approximation décimale par défaut à10-nprès. Voici les 50 premières décimales

de?1 2 ?1 2 = 0.70710678118654752440084436210484903928483593768847... Les nombres décimauxs1= 0.7,s3= 0.707,s6= 0.707106sont des sommes partielles de la série.

Les deux séries les plus souvent utilisées sont la série géométrique et la série expo-

nentielle.

Série géométrique

Le terme général d"une série géométrique estun=rn. Les sommes partielles ont une expression explicite. s n=n i=0ri= 1 +r+···+rn=? ??n+ 1sir= 1

1-rn+11-rsir?= 1

Série exponentielle

Le terme général de la série exponentielle estun= 1/n!, oùn!(factorielle) désigne le produit des entiers de1àn. Par convention,0! = 1. Les sommes partiellessnsont des rationnels mais n"ont pas d"expression explicite. Observons que n"importe quelle suite(sn)n?Npeut être vue comme une série, de terme généralun=sn-sn-1, pourn>1etu0=s0. Dans la plupart des cas, les sommes partielles n"ont pas d"expression explicite, et c"est souvent pour cela que l"on parle de série plutôt que de suite. 1

Maths en LigneSéries numériquesUJF GrenobleDéfinition 2.On dit que la série?unconverge versssi la suite des sommes partielles

converge verss, qui est appeléesomme de la série. n=0u n=s??limn→∞n k=0u k=s . Dans le cas contraire, on dit que la série diverge. Par exemple, le réelxest la limite de ses approximations décimales, et aussi la somme de la série?an10 n. La série géométrique?rnconverge si et seulement si|r|<1. Dans ce cas, la somme est 11-r. |r|<1 =?+∞? n=0rn=11-r. La somme de la série exponentielle est le nombree, dont le logarithme népérien vaut1.+∞? n=01n!= e?2.71828. Voici un exemple de série dont les sommes partielles sont explicitement calculables. n=01(n+ 1)(n+ 2)= 1.

En effet,

u n=1(n+ 1)(n+ 2)=1n+ 1-1n+ 2 donc u

0+u1···+un= 1-12

+12 -13 +···+1n+ 1-1n+ 2= 1-1n+ 2, et n=01(n+ 1)(n+ 2)= limn→∞1-1n+ 2= 1.

Considérons une série

?unet définissons la fonction en escalierfsur[0,+∞[par : ?n?N,?t?[n,n+ 1[, f(t)≡un. La somme partiellesnest l"intégrale defsur l"intervalle[0,n+1]. La série?unconverge si et seulement si l"intégrale?+∞

0f(t)dtconverge (voir figure 1).

n=0u n=?

0f(t)dt .

2 Maths en LigneSéries numériquesUJF Grenobleun n n+1Figure1 - Somme d"une série, vue comme l"intégrale d"une fonction en escaliers sur [0,+∞[. Réciproquement, l"intégrale d"une fonction quelconque sur[0,+∞[peut être vue comme la somme de la série dont le terme général est l"intégrale sur[n,n+1[. Nous utiliserons par la suite cette parenté entre séries et intégrales. Comme la convergence d"une intégrale ne dépend que du comportement de la fonc- tion à l"infini, la convergence d"une série ne dépend pas de ses premiers termes. Changer un nombre fini de termes d"une série ajoute une même constante à toutes les sommes partielles à partir d"un certain rang. Cela ne change pas la nature, convergente ou divergente. Si elle est convergente, sa somme est évidemment modifiée. Par exemple : n=11n!= e-1. Le fait de calculer la somme d"une série à partir den= 0est purement conventionnel. On peut toujours effectuer un changement d"indice pour se ramener à une somme à partir de0. Par exemple : n=21n(n-1)=+∞? m=01(m+ 1)(m+ 2)= 1, en posantm=n-2. Le terme général d"une série convergente tend vers0. Théorème 1.Si la série?unconverge, alors la suite(un)n?Ntend vers0. n=0u n=s=?limn→∞un= 0.

La contraposée de ce résultat est souvent utilisée : une série dont le terme général

ne tend pas vers0ne peut pas converger. 3

Maths en LigneSéries numériquesUJF GrenobleDémonstration: Pour toutn?N, posonssn=?nk=0uk. Pour toutn>1,un=

s n-sn-1. Si?unconverge, la suite(sn)n?Nconverge vers la sommesde la série. Il en est de même de la suite(Sn-1)n?N?. Par linéarité de la limite, la suiteuntend vers s-s= 0.

Par exemple la série de terme général

u n=?1sin= 2k

0sinon

diverge : même si les termes non nuls sont très rares il y en quand même une infinité! Le fait que le terme général tende vers0n"est qu"une condition nécessaire de conver- gence. De nombreuses séries divergentes ont un terme général qui tend vers0. Par exemple, la série de terme généralun=1n+1diverge. En effet : s

2n-1-sn-1=1n+ 1+···+12n>n2n=12

La suite des sommes partielles n"est pas de Cauchy, donc elle ne converge pas. La linéarité des limites entraîne immédiatement le théorème suivant. Théorème 2.Soient?unet?vndeux séries convergentes, de sommes respectivesset t. Soientαetβdeux complexes quelconques. Alors la série de terme généralαun+βvn est convergente, et sa somme estαs+βt.

Par exemple :

n=012 n+13 n=+∞? n=012 n++∞? n=013 n=11-12 +11-13 = 2 +32 =72 Comme conséquence de la linéarité, observons que si ?unconverge et?vndiverge, alors?un+vndiverge. Comme autre conséquence, pourα?= 0,?αunconverge si et seulement si?unconverge. Pour les séries à termes complexes la convergence équivaut à celle des parties réelle et imaginaire. Proposition 1.Soit(un)n?Nune suite de complexes. Pour toutn, notonsanetbnla partie réelle et la partie imaginaire deun. La série?unconverge si et seulement si les deux séries?anet?bnconvergent. Si c"est le cas, on a : n=0u n=+∞? n=0a n+ i+∞? n=0b n. Démonstration: Rappelons qu"une suite de nombres complexes converge si et seule- ment si la suite des parties réelles et la suite des parties imaginaires convergent. Si (An)n?Net(Bn)n?Nsont deux suites de réels : lim n→∞An=Aetlimn→∞Bn=B? lim n→∞An+ iBn=A+ iB? 4 Maths en LigneSéries numériquesUJF GrenobleIl suffit d"appliquer ce résultat à A n=n k=0a netBn=n k=0b n, car la partie réelle d"une somme est la somme des parties réelles, et la partie imaginaire d"une somme est la somme des parties imaginaires. Considérons par exemple la série géométrique ?rn, oùrest un complexe de module ρ <1et d"argumentθ:r=ρeiθ. Pour toutn,rn=ρneinθ. Les parties réelle et imaginaire dernsont a n=ρncos(nθ)etbn=ρnsin(nθ). On déduit de la proposition précédente que : n=0a n=Re?11-r? et+∞? n=0b n=Im?11-r?

Le calcul donne :

n=0ρncos(nθ) =1-ρcos(θ)1 +ρ2-2ρcos(θ)et+∞? n=0ρnsin(nθ) =ρsin(θ)1 +ρ2-2ρcos(θ).

1.2 Séries à termes positifs ou nuls

Les séries à termes positifs ou nuls sont plus faciles à étudier. En effet siun>0 pour toutn, la suite des sommes partielles est croissante. s n-sn-1=un>0. Une suite croissante(sn)n?Nn"a que deux comportements possibles. Soit elle est majorée et elle converge, soit elle tend vers+∞. Les séries à termes positifs se comparent comme les intégrales de fonctions positives. Théorème 3.Soient?unet?vndeux séries à termes positifs ou nuls. On suppose qu"il existen0>0tel que pour toutn>n0,un6vn. •Si?vnconverge alors?unconverge. •Si?undiverge alors?vndiverge. Démonstration: Comme nous l"avons observé, la convergence ne dépend pas des pre-quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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