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µA4. La table de multiplication ci-dessous est un carré latin, ce quiprouve que K est un sous-groupe de A4. Nous reconnaissons la table de multiplication du groupe de Klein,donc le groupe K est isomorphe au groupe de Klein. e2H. Soient¾et ¿deux permutations deH.
ñññMAT 2250
Introduction à la théorie des groupes
Luc Bélair, François Bergeron et Christophe Hohlweg20 novembre 2017Universit du Qubec MontralDpartement de mathmatiquesCase postale 8888, Succursale Centre-VilleMontral (Qubec) H3C 3P8
2Table des matières
PageTable des Figures7
Avant-propos8
1 Groupes13
1.1 Magma, monoïdes et groupes
131.2 Exemples classiques
171.3 Règles de calculs
201.4 Sous-groupes
221.5 Ordre d"un groupe, ordre d"un élément
261.6 Le groupe symétrique
291.7 Les isométries d"un polygone et le groupe diédral
361.8 Groupes engendrés par des réflexions
371.9 Un groupe à la Galois
391.10 Exercices
412 Morphismes de groupes
512.1 Définition
512.2 Isomorphismes de groupes
532.3 Classifier les groupes finis?
552.4 Noyau et image d"un morphisme de groupes
562.5 Automorphismes intérieurs
572.6 Théorème de Cayley
582.7 Produits de groupes
602.8 Exercices
673
4TABLE DES MATIÈRES
3 Actions de groupes
753.1 Groupe opérant sur un ensemble
763.2 Orbites et stabilisateurs
793.3 Actions transitives et classes modulo un sous-groupe
843.4 Théorème de Lagrange
883.5 Formule de Burnside
923.6 Exercices
954 Groupes quotients et théorèmes d"isomorphisme
1014.1 Groupes quotients
1014.2 Théorème d"isomorphisme
1034.3 Présentations (finies) de groupes
1064.4 Exercices
1105 Lesp-groupes et théorèmes de Sylow117
5.1 Lesp-groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2 Théorèmes de Sylow
1185.3 Exercices
1226 Groupes abéliens finis
1256.1 Groupes abéliens primaires
1256.2 Décomposition primaire
1276.3 Théorème principal
1296.4 Exercices
130A Théorie des groupes avec le calcul formel
133B Rappels sur les ensembles et fonctions
135B.1 Le langage ensembliste
135B.2 Les fonctions
139B.3 Relations d"équivalences
140B.4 Exercices
142C Autres exemples d"actions de groupes
147C.1 Actions linéaires
1 47C.2 Le groupe des isométries du cube
150C.3A5comme groupe des rotations du dodécaèdre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
C.4 Espaces homogènes
1 57 C.5 Le groupeSL2pZq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157TABLE DES MATIÈRES5
Bibliographie commentée
161Index165
6TABLE DES MATIÈRES
Table des figures
1 Symétries d"un triangle équilatéral
102 Cube de Rubik
103 Retournements de matelas.
114 Forme de la moléculeC60. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.1 Table de multiplication
211.2 Permutoèdre du groupeS4.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3 Deux graphes de Cayley pourS3.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 Composition de permutations
311.5 Un cycle.
341.6 Décomposition en cycles disjoints
351.7 Arrangement d"hyperplans dansR3, correspondant àS4. . . . . . . . . . . . . . . . .38
1.8 Réflexions et arrangement de droites
392.1 Isomorphisme entre les symétries du triangle etS3.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2 Graphe de Cayley deA5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
2.3 Graphe de Cayley deZ3Z3.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4 L"octaèdre.
663.1 Orbites dansCpour les translations et rotations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2 Treillis des sous-groupes deS4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88
3.3 Colorations du tétraèdre
944.1 Graphe de Cayley du groupe libre
107C.1 Rotations du cube.
150C.2 Les cinq cubes inscrits dans le dodécaèdre. 154
C.3 Rotation du dodécaèdre
154C.4 Version réaliste d"un cube inscrit dans le dodécaèdre. 155
C.5 Permutation des 5 cubes d"un dodécaèdre
156C.6 Pavage du plan hyperbolique
1597
Avant-proposCe recueil est en cours d"amélioration. Il est bien de consulter la page internet du cours pour les
mises à jour. On remercie d"avance ceux qui prendront la peine de signaler les erreurs de toute nature.
La version électronique est dynamique, avec des liens vers plusieurs ressources externes. En particulier,
pour les quelques figures ou images provenant d"autres sources, un lien permet de retrouver cette source.
Dans tous ces cas, les images sont du domaine public. Les notes contiennent aussi parfois des allusions
à des sujets plus avancés, ou externes au cours. Lorsque cela est possible, il y a aussi des liens vers des
pages qui expliquent (en partie) ces notions.C.H. tient à remercier chaleureusement Stéphanie Schanck pour la relecture de ces notes qu"elle a
effectuée lors de l"automne 2016, relecture qui a grandement contribué à la qualité du document final.
IntroductionLa notion de groupe joue un rôle fondamental en mathématiques. C"est l"une des principales
structures algébriques, avec celles d"anneau, de corps, modules, et espaces vectoriels. D"une part, elle
formalise les propriétés de plusieurs des opérations bien connues entre des objets mathématiques divers
comme les : nombres, vecteurs, matrices, fonctions, etc. D"autre part, elle donne un contexte clair pour
discuter de transformations de toutes sortes : rotations, translations, symétries, etc.; ou encore de
manipulations d"objets. Elle est essentielle pour comprendre des aspects fondamentaux de la physique(théorie de la relativité, théorie des quantas), de la chimie (calcul des isomères), de la cristallographie
(symétries des cristaux), de la cryptographie à clé publique (système RSA, courbes elliptiques), et
de l"étude des codes correcteurs d"erreurs. Elle joue aussi un rôle fondamental en théorie de Galois1
(qui étudie la résolution d"équations polynomiales), en théorie des nombres, en géométrie, et dans la
théorie des invariants. Bref, c"est l"une des notions les plus intéressantes parmi celles élaborées par les
mathématiciens.Le dodécaèdre. Souvent, un groupe décrit les transformations possibles d"un objet, ou les manipulations qu"on peut faire sur un objet. On suppose qu"ap- pliquer à l"objet considéré une suite de transformations successives est aussi une transformation. On dira alors qu"on a " composé » les transformations pour en produire une nouvelle. On suppose aussi que défaire une transformation est une transformation. On dira que c"est à la transformation " inverse ». Le groupe est l"ensemble des trans- formations possible. Pour fixer les idées, on considère par exemple lesdiverses rotations du dodécaèdre (voir figure ci-contre), ou encore les symétries possibles d"un triangle
équilatéral, comme l"illustre la figure
1 . On constate qu"il y a 3 manières de faire effectuer une symétriede rotation du triangle, et 3 symétries axiales (de réflexions).1. Due àÉv aristeGalois , 1811-1832.
9 Figure1 - Les symétries d"un triangle équilatéral.Figure2 - Le Cube deRubik.
Comme nous allons le voir dans ce cours, le fait d"en comprendre les transformations possibles permet de mieux saisir le rôle d"un objet, et d"en dégager les propriétés essentielles. Pour illustrer le sens de cette affirmation, considérons le fameux casse-tête qu"est leCub ede Rubik
. Les mouvements possibles consistent à faire tourner une des6" faces » du cube de90, comme l"illustre la figure ci-contre. L"objectif est de ramener le cube à son état original (à savoir celui où les faces sont toutes d"une couleur uniforme), par une succession de tels mouvements. Dans ce contexte, on considère donc le " groupe » de toutes les suites possibles de rotation des faces. Comprendre ce groupe permet de comprendre comment résoudre le cube. Grâce à la théorie des groupes, on peut calculer2qu"il y a p3821212!8!q{1243252003274489856000états (positions) possibles du cube, dont une seule est la bonne (la solution). Lorsqu"on manipule le
cube, on s"aperçoit rapidement que le résoudre n"est pas facile. Par essai et erreur, on découvre (assez)
vite comment rendre une des faces à son état de couleur uniforme; puis, un peu moins rapidement,
comment s"approcher de la solution. Malheureusement, quand on en est tout proche, on s"aperçoit qu"il
faut revenir en arrière (et défaire en partie ce que l"on a fait) pour arriver à la solution. C"est alors loin
d"être évident. Heureusement, si on la connaît, la théorie des groupes permet d"organiser les étapes nécessaires. Donc, en un certain sens, le problèmedu Cube de Rubik est un problème de théorie des groupes appliquée.2. La théorie aide à trouver la bonne formule.
La manipulation du Cube permet d"illustrer beaucoup des concepts de base de la théorie. Même à la maison, la théorie des groupes trouve application. Dans un article duNew Y orkTimes
, on décrit (sourire en coin) les diverses manières de retourner un matelas grâce à la théorie des groupes pour en éviter la déformation. On considère d"abord queles coins du matelas sont étiquetés comme l"illustre la figure ci-contre3. Il y a trois manipulations
possibles du matelas, illustrées à la figure 3 .Figure3 - Retournements de matelas.États et transitions pour le matelas. Le matelas peut se retrouver dans l"un de quatre états, illus- trés à la figure ci-contre, avec les diverses manipulations qui permettent de passer d"un état à l"autre. En un certain sens aussi, il y a une grande analogie avec la physique mathématique. Pour comprendre un objet physique (ou un phénomène), la clé consiste à comprendre le groupe des transformations de cet objet. Par exemple, dans la découverte du " buckminsterfullerène4», une molécule constituée de 60 atomes de carbone assemblés comme l"indique la figure , la théorie des groupes à permis de calculer le spectre de cette molécule avant même qu"on en ait trouvé des exemples dans la nature (autant sur Terre que dans l"espace).Cela détermine quelles sont les notions qu"on peut utiliser pour formuler les lois de la physique qui
régissent le comportement de cet objet (ou phénomène). La théorie des groupes est donc cruciale pour
dégager les théories de la physique. Ainsi, les lois de la relativité générale, les équations de Maxwell, et
les équations de Dirac décrivant les propriétés des électrons sont " invariantes » pour les transformations
du groupe de Lorentz5. Grâce à ce fait, on peut fortement circonscrire leur formulation. Voilà pourquoi
plusieurs livres de la physique moderne amorcent leurs exposés avec la théorie des groupes.3. Les figures sont celles du New York Times
4. Ainsi appelé en l"honneur de
Ric hardBuc kminsterF uller
(1895-1983), le concepteur de la biosphère. 5.Hendrik Loren tz
, (1853-1928). Pour plus de détails, voir group ede Loren tz La théorie des groupes est née de la convergence de plu- sieurs domaines : théorie des nombres, géométrie, résolution d"équations algébriques, etc. Elle s"est dégagée dans la se- conde moitié du 19e siècle. C"est à Galois qu"on doit le terme " groupe », qu"il a utilisé un peu au sens de " regroupement » pour des transformations. On s"est ensuite aperçu qu"elle per- mettait d"unifier plusieurs notions considérées à l"époque, pour autant qu"on en isole les propriétés correctement. On trouve beaucoup des notions modernes sur les groupes dans leTraité des substitutions et des équations algébriquespublié en 1870 par Jordan6. Abstraitement donc, un groupe est simplement un ensemble muni d"une opération avec de bonnes propriétés. Dans un premier temps, nous allons en donner une description précise, pour ensuite donner corps à la notion en présentant une famille d"exemples typiques. En ce sens, on procède doncà l"inverse de ce qui s"est produit historiquement.Figure4 - Forme de la moléculeC60, labuc kminsterfullerène, et la biosphère.6.Camille Jordan , (1838-1922).
Chapitre 1
GroupesNous savons que nous pouvons multiplier et additionner des entiers, mais aussi que l"on peut additionner et multiplier des ensembles classes de congruence modulo un entier fixé. On peut sedemander quel est le point commun entre ces opérations, et en particulier, quels résultats sont toujours
valides lorsque nous considérons uniquement les propriétés générales de ces lois de calcul. En fait on
va introduire ici de nouveaux objets mathématiques qui vont illustrer les propriétés générales de ces
opérations, en se détachant du particulier.1.1 Magma, monoïdes et groupes
Pour la suite, on suppose queEest un ensemble non vide.Loi de composition, ou opération
On dit d"une fonction:EEÑEqu"elle est uneloi de composition interne surE , ou uneopération binairesur E. Le couplepE;qest alors appelé un magma. SipE;qest un magma, on notexyl"image depx;yqpar la fonction:EEÝÑE.Parmi les lois de composition, certaines possèdent des propriétés particulières qui les rendent plus
intéressantes. Le choix de ces propriétés n"est pas arbitraire. En effet, c"est une vaste expérience
mathématique qui a permis de dégager quelles sont les propriétés qui donnent à une loi de composition
une structure suffisamment riche pour qu"elle ait un impact important sur l"étude d"un contexte dans
lequel elle apparaît. Nous aurons maintes fois l"occasion de constater qu"une fois mises en évidence ces
propriétés apparaissent toutes naturelles. On dit d"une loi de composition (opération), qu"elle est
(1)associativesix pyzq pxyq z, pour toutx;y;zPE. (2)commutativesixyyxpour toutx;yPE. 1314CHAPITRE 1. GROUPESOn remarque que, siest associative, alors on peut écrirexyzau lieu depxyq z pxyq z,
puisqu"il n"y a pas d"ambiguïté sur la façon de faire le calcul. Bien entendu, toutes les lois ne sont pas
associatives.Exemples.(a)
Les opérations usuelles d"addition "» et de multiplication "» d"entiers (dansZ)sont toutes deux commutatives et associatives. Il en est de même pour les entiers modulon, c.-à-d.
dansZnZ{nZ. Dans ce qui suit, on suppose que l"ensembleZnest identifié1àt0;1;:::;nu. (b) La loi de composition:px;yq ÞÑxy1surNest commutative, mais pas associative. En effet, pourx;y;zPN, on a pxyq z pxy1q z pxy1qz1xyzz1;et x pyzq x pyz1q xpyz1q xyzx1: Les résultats sont donc sont manifestement différent sixz. (c) On vérifie facilement que l"opérationxy:xy, pourxetydansN, n"est ni associative ni commutative. (d) Dans l"ensembleMnpRqdes matricesnnà coefficients réels, l"addition est une loi associative et commutative, tandis que la multiplication est une loi associative, mais pas commutative en général (voir Exercice 1.17 (e) La pairepFonctpEq;qcomposée de l"ensemble des fonctions surEet de la composition des fonctions forme un magma et la loi "» est associative.Lois de composition et sous-ensembles
Pour une opérationsurE, etA"E, on dit que
l"ensembleAeststablepour, si pour toutx;yPAon axyPA. On dit parfois queAhéritede l"opération2deE. Autrement dit,est aussi une opération surAcar la fonction :AAÝÑA;avecpx;yq ÞÝÑxyest bien définie. On peut donc considérer la structure algébriquepA;q, qui est appelée un sous-magma.
L"associativité esthéréditaire, c.-à-d.que siest associative dansE, etAest stable pour, alors
restreint àAest aussi associative. En effet, l"égalitéx pyzq pxyq zest vraie pour tout x;y;zPE, donc en particulier pour toutx;y;zPAsous-ensemble deE. On constate de la mêmemanière que la commutativité esthéréditaire. Nous aurons plusieurs exemples de cette situation dans
ce qui suit. Considéré comme sous-ensemble deZ, l"ensembleZ(des entiers non nuls) est stable pour
la multiplication, maisZn"est pas stable pour l"addition, puisqu"on observe que1 p1q 0RZ.1. C"est un léger abus de langage qui sera rediscuté au Chapitre4 .
2. Rigoureusement parlant, on devrait dénoter|AAla restriction deàA, mais il n"y a pas risque de confusion.
Élément neutre, et monoïdes
.Tout comme c"est le cas de1pour la multiplication usuelle, ou de0pour l"addition, plusieurs opérations admettent des " éléments neutres ». Plus généralement, pour
une opération surE, on dit que le magmapE;qpossède unélément neutres"il existe un élément
ePE, tel quexeexxpour toutxPE; .Définition
.Unmonoïdeest un couplepE;q, oùest une opération associative qui admet un élément neutreePE. Un monoïde est ditcommutatif, si l"opération est de plus commutative.SipE;qpossède un élément neutree, alors cet élément neutre estunique. En effet, soiteete1
deux candidats, alorseee1e1ee1, et donceete1coïncident forcément. Il est clair que siA"Eest stable pouretePA, alorseest élément neutre pourpA;q. Dès la petite école on apprend
que les opérations depZ;qetpQ;qsont commutatives. En algèbre linéaire on est confronté (souvent
pour la première fois) à une opération non commutative : la multiplication de matrices.Éléments inversibles, et groupes
Une autre façon de concevoir la division de nombresx{ydans R(resp. la soustractionxydansZ) et de penser qu"elle correspond à la multiplication dexpar" l"inverse » multiplicatif1{y, dey(resp. l"addition de l"inverse additify). Cette approche est plus
naturelle lorsqu"on cherche à généraliser, et on en arrive à la définition suivante.Définition
.On dit quexPEestinversibledanspE;qs"il existe~xPEtel quex~x~xxe. DanspZ;q, l"inverse dexestx. DanspQ;q, l"inverse dexest1{x.Dans un premier cours d"algèbre linéaire, on montre qu"une matricennréelle est inversible pour
la multiplication de matrices, si et seulement si son déterminant est non nul. On désigne habituellement
parGLnpRql"ensemble des matrices réelles de déterminant non nul. Nous sommes maintenant prêts à donner une définition précise de la notion de groupe.Définition
.On dit quepE;qestun groupesipE;qest un monoïde, et si tous les éléments de Esont inversibles. Un groupepE;qest ditabélien3, oucommutatif, si de plus l"opérationest commutative. Par exemple,pZ;qetpQ;qsont des groupes abéliens, maispGLnpRq;qne l"est pas. On note parEl"ensemble des éléments inversiblesdeE: E : txPE|xest inversibleu:(1.1) La proposition suivante fournit un outil général pour " construire » des groupes.Proposition
1.1. SoitpE;qun monoïde. AlorspE;qest un groupe dont l"élément neutre este. Enparticulier,Eest un groupe si et seulement siEE. De plus,xyryrx.3. Du mathématicien norvégienNiels H. Ab el(1802-182 9).
16CHAPITRE 1. GROUPES
Démonstration.Il faut montrer que
(1)est une opération surE; en d"autres termes, queEest stable pour; (2)pE;qest un monoïde d"élément neutree; (3)T outé lémentde Eest inversible.Montrons d"abord (1). Il suffit de vérifier que six;ysont inversibles dansE, alorsxyl"est aussi dans
E. On a
pxyq pxyq ryrxxyexyryrx pxyq pxyq
Doncxyest inversible et son inverse estryrx. En particulier, commexyest aussi inversible dans E(d"inversexy), tout élément deEest inversible, ce qui montre (iii). Montrons maintenant (2). On sait queEest stable pourdonc par hérédité,est associative surE. Puisquereecareee, alorsePEet doncpE;qest un monoïde.Remarque .Il y a plusieurs définition équivalente de groupes dans la littérature. Par exemple, on constate aussi quepG;qest un groupe si et seulement si (1)est associative; (2) il existe ePGtel que, pour toutxPG; exx; (élément neutre à gauche); (3) p ourtout xPGil existeyPGtel queyxe. (élément inversible à gauche).L"implication directe est une conséquence immédiate des définitions. Supposons maintenant quepG;q
vérifie les trois conditions susmentionnées. Comme on sait déjà queest associative, il suffit de vérifier
quepG;qpossède un élément neutre (à droite autant qu"à gauche), et que tout élément deGest
inversible (aussi à droite autant qu"à gauche). Par hypothèse, chaquexPGadmet un inverse à gauche
yPG. Reste à vérifier quexye. Or, commeyPG, il existe égalementzPGtel quezye. On calcule alors que xye pxyq pzyq pxyq z pyxq yzeyzye;ce qui donne la propriété désirée. De façon très semblable, pour voir quee(l"élément neutre à gauche)
est aussi élément neutre à droite, on calcule comme suit. PourxPG, on sait maintenant qu"il existe
yPGtel queyxxye, et on calcule que xex pyxq pxyq xexx:quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] groupe d espace p212121
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