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Groupes et symétries

Groupes finis, groupes et algèbres de Lie,

représentations Sophus Lie (1842-1899), vers 1865, `a la fin de ses ´etudes `a l"Universit´e de Christiana (Oslo), environ sept ans avant ses premiers travaux sur les groupes continus, appel´es plus tard((groupes de Lie)). (Photo Frederik Klem/Joronn Vogt, avec l"aimable autorisation de Joronn Vogt et Arild Stubhaug) L E S DITIO N S D E L C O L E P OLY T E C H N I Q U E

Groupes et symétries

Groupes finis, groupes et algèbres de Lie,

représentations

Yvette Kosmann-Schwarzbach

DEUXIÈME

ÉDITION

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20, rue des Grands-Augustins , 75006 Paris. Tél. : 01 44 07 47 70.

© Éditions de l'École Polytechnique - Juillet 2006

91128 Palaiseau Cedex

Table des mati`eres

Introduction7

1 Generalites sur les groupes13

1 Rappel de quelques d´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Exemples de groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1 Groupe cyclique d"ordren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Groupe sym´etriqueSn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Groupe di´edral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Exemples de groupes infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Actions de groupes, classes de conjugaison . . . . . . . . . . . . .. . . 17

5 R´ef´erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Representations des groupes nis21

1 Repr´esentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2 Repr´esentations irr´eductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23

1.3 Somme directe de repr´esentations . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Op´erateurs d"entrelacement, lemme de Schur . . . . . . . . .. 24

2 Caract`eres et relations d"orthogonalit´e . . . . . . . . . . . .. . . . . . 26

2.1 Fonctions sur un groupe, coefficients matriciels . . . . . . .. . 26

2.2 Caract`ere d"une repr´esentation, relations d"orthogonalit´e . . . . 27

2.3 Table de caract`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4 Application `a la d´ecomposition des repr´esentations. . . . . . . 31

3 La repr´esentation r´eguli`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 32

3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Caract`ere de la repr´esentation r´eguli`ere . . . . . . . .. . . . . 33

3.3 D´ecomposition en composantes isotypiques . . . . . . . . . .. 33

3.4 Base de l"espace vectoriel des fonctions centrales . . . .. . . . 34

3

4Table des matieres

4 Op´erateurs de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5 Repr´esentations induites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

5.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2 Interpr´etation g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

6 R´ef´erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Representations des groupes compacts45

1 Groupes compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2 Mesure de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Repr´esentations des groupes topologiques. Lemme de Schur . . . . . . 48

3.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2 Coefficients d"une repr´esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3 Op´erateurs d"entrelacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4 Op´erations sur les repr´esentations . . . . . . . . . . . . . . .. 50

3.5 Lemme de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Repr´esentations des groupes compacts . . . . . . . . . . . . . . . .. . 51

4.1 Compl`ete r´eductibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2 Relations d"orthogonalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 R´esum´e du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6 R´ef´erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 Groupes et algθebres de Lie59

1 Alg`ebres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1.1 D´efinition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1.2 Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1.3 Relations de commutation, constantes de structure . . . .. . . 61

1.4 Formes r´eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1.5 Repr´esentations d"alg`ebres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . .. 62

2 Rappels sur l"application exponentielle . . . . . . . . . . . . . .. . . . 63

3 Sous-groupes `a un param`etre de GL(n;K) . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4 Groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5 Alg`ebre de Lie d"un groupe de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6 Morphismes de groupes et d"alg`ebres de Lie . . . . . . . . . . . . .. . 72

6.1 Diff´erentielle d"un morphisme de groupes de Lie . . . . . . .. . 72

6.2 Diff´erentielle d"une repr´esentation de groupe de Lie .. . . . . . 74

6.3 La repr´esentation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7 R´ef´erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Table des mati`eres5

5 Les groupes de LieSU(2)etSO(3)83

1 Les algθebres de Liesu(2) etso(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

1.1 Bases desu(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

1.2 Bases deso(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

1.3 Bases desl(2;C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2 Le morphisme de rev^etement de SU(2) sur SO(3) . . . . . . . . . . .. 86

2.1 Le groupe de Lie SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.2 Le groupe de Lie SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.3 Projection de SU(2) sur SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6 Les repr´esentations deSU(2)etSO(3)93

1 Representations irreductibles desl(2;C) . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

1.1 Les representationsDj. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

1.2 Operateur de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

1.3 Hermiticite des operateursJ3etJ2. . . . . . . . . . . . . . . . 96

2 Representations de SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

2.1 Les representationsDj. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

2.2 Caractθeres des representationsDj. . . . . . . . . . . . . . . . 101

3 Representations de SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7 Les harmoniques sph´eriques105

1 Rappel surL2(S2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2 Les polyn^omes harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2.1 Representations de groupes dans des espaces de fonctions . . . 106

2.2 Les espaces de polyn^omes harmoniques . . . . . . . . . . . . . 106

2.3 Representations de SO(3) dans les espaces de polyn^omes har-

moniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3 Les harmoniques spheriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.1 Representations de SO(3) dans les espaces d?harmoniques

spheriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.2 Operateur de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.3 Fonctions propres de l?operateur de Casimir . . . . . . . . .. . 111

3.4 Bases des espaces d?harmoniques spheriques . . . . . . . . .. . 112

3.5 Formules explicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6Table des matieres

8 Les repr´esentations deSU(3)et les quarks 119

1 Rappels sursl(n;C), representations desl(3;C) et de SU(3) . . . . . . 119

1.1 Rappels sursl(n;C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

1.2 Cas desl(3;C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

1.3 Les bases (I3;Y) et (I3;T8) deh. . . . . . . . . . . . . . . . . 122

1.4 Representations desl(3;C) et de SU(3) . . . . . . . . . . . . . 122

2 Representation adjointe, racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 122

3 Representation standard et sa contragrediente . . . . . . .. . . . . . . 124

3.1 Representation standard (fondamentale) . . . . . . . . . . .. . 124

3.2 Contragrediente de la representation standard . . . . .. . . . . 125

4 Poids maximal d?une representation de dimension βnie . . .. . . . . . 126

4.1 Poids maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.2 Les poids comme combinaisons lineaires desi. . . . . . . . . 127

4.3 Representations de dimension βnie, poids . . . . . . . . . . .. 128

4.4 Autre exemple . la representation6. . . . . . . . . . . . . . . 129

4.5 Encore un exemple . la representation10. . . . . . . . . . . . 130

5 Produits tensoriels de representations . . . . . . . . . . . . . .. . . . 131

6((The eightfold way)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.1 Baryons (B/ 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.2 Mesons (B/ 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.3 Resonances baryoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7 Les quarks et les antiquarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Probl`emes corrig´es141

1 Restriction d?une representation θa un groupe βni . . . . . .. . . . . . 141

2 Le groupe O(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3 Representations du groupe diedral et du groupe des quaternions . . . 146

4 Representations de SU(2) et deS3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5 Groupes pseudo-unitaire et pseudo-orthogonal . . . . . . . . .. . . . . 160

6 Representations irreductibles de SU(2)SU(2) . . . . . . . . . . . . . 166

7 Operateurs de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

8 Symetries des molecules de fullerθenes . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 181

9 Coeδcients matriciels et harmoniques spheriques . . . . . .. . . . . . 191

Bibliographie199

Index201

Introduction

Les symetries des gures geometriques, des cristaux et de tous les autres objets de la physique macroscopique font l'objet depuis des sieclesd'observations et d'etudes. En termes modernes, les symetries d'un objet donne forment un groupe. La notion abstraite de groupe n'a emerge que lentement vers le milieu du dix-neuvieme siecle. Mais depuis, quel essor! Avec Sophus Lie (1842-1899), GeorgFrobenius (1849-1917), Wilhelm Killing (1847-1923),Elie Cartan (1869-1951), Issai Schur (1875-1941), Her- mann Weyl (1885-1955) et beaucoup, beaucoup d'autres, la theorie des groupes a pris une extension enorme, et ses applications a la mecaniquequantique et a la theorie des particules elementaires se sont developpees tout au long du vingtieme siecle. Si cette histoire vous interesse, il faut lire l'introduction au livre de Shlomo Sternberg (1994) cite dans la bibliographie, et consulter les trois livres recents de Charles Curtis1, Tho- mas Hawkins

2et Armand Borel3, ou encore les etudes et comptes rendus de tables

rondes entre physiciens et mathematiciens dans le volumeSymmetries in Physics4. Dans une lettre de 1877 au mathematicien Adolph Mayer, Sophus Lie ecrit qu'il a((cree la theorie des groupes))en janvier 1873. Il s'agit bien s^ur des groupes qu'il appelait((groupes continus))et qui sont appeles((groupes de Lie))depuis longtemps5.

Lie cherchait a etendre l'usage des groupes du domaine desequations algebriques, ouEvariste Galois les avait introduits, a celui des equations dierentielles. Inspire par

les travaux de Camille Jordan et par sa collaboration avec Felix Klein, Lie publia l'article intituleUber Gruppen von Transformationenen 1874. Des 1871, la notion de generateur innitesimal d'un groupe a un parametre detransformations etait apparue dans son uvre

6; c'est l'ensemble des generateurs innitesimaux des sous-groupes a

un parametre d'un groupe continu qui forme ce que l'on appelle aujourd'hui une

1P?o\eers o{ Re⎷rese\tat?o\ T?eory, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999.

2Emer}e\ce o{ t?e T?eory o{ L?e Grou⎷s, Springer, New York, 2000.

3Essays ?\ t?e H?story o{ L?e Grou⎷s a\d Al}ebra?c Grou⎷s, American Mathematical Society,

Providence, RI, 2001.

4Symmetr?es ?\ P?ys?cs (∞?00-∞??0), M. G. Doncel, A. Armin, L. Michel and A. Pais, eds.,

Seminari d'Histθoria de les Ciθencies, Universitat Autθonoma de Barcelona, Bellaterra, 1987.

5Le terme appara^t en franξcais en 1893 dans la thθese de son elθeve Arthur Tresse.

6Ce point de vue fut essentiel dans l'article d'Emmy Noether de 1918 etablissant la relation entre

symetries d'un problθeme variationnel et lois de conservation. Quelque dix ans plus tard, Noether

publiait un trθes important article plaξcant la theorie des representations des groupes βnis et des

algθebres dans le cadre general de la theorie des anneauxnon commutatifs. 7

8Introduction

alg`ebre de Lie7. Killing ´etablit entre 1888 et 1890 une classification des alg`ebres de Lie simples sur le corps des complexes, qui fut corrig´ee et compl´et´ee par Cartan dans sa th`ese en 1894. Cartan classifiera les alg`ebres de Lie simples sur le corps des r´eels, probl`eme plus difficile, en 1914. Cependant Frobenius, r´epondant `a une question pos´ee parDirichlet, avait invent´e en 1896 la th´eorie des caract`eres des groupes finis, et Schur d´eveloppait la th´eorie des repr´esentations des groupes finis et infinis. Ils publi`erent conjointementUber die reellen Darstellungen der endlichen Gruppenen 1906. Et la th´eorie des caract`eres fut utilis´ee par William Burnside dans la deuxi`eme ´edition de son trait´eTheory of Groups of Finite Orderparue en 1911. Ce furent Eugene Wigner et Weyl qui montr`erent le rˆole pr´e´eminent de la th´eorie des groupes, et de leurs repr´esentations en particulier, dans la nouvelle m´ecanique quantique que d´eveloppaient Heisenberg et Dirac. Wigner le premier introduisit la th´eorie des groupes dans deux articles duZeitschrift fur Physiken 1927. Son livre Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quantenmechanikder Atomspektren, qui parut en 1931, fut suivi en 1939 d"un tr`es important article dans lesAnnals of Mathematicso`u il d´eterminait les repr´esentations du groupe de Poincar´e. Weyl publia d"abord un article auZeitschrift fur Physiken 1928 et la mˆeme ann´ee le livreGrup- pentheorie und Quantenmechanik. En 1932 parut le livre de Bartel van der Waerden, Die gruppentheoretische Methode in der Quantenmechanik. Ces trois livres marquent

le d´ebut de l"interp´en´etration de la th´eorie des groupes et de la physique th´eorique;

cette coexistence dure toujours. Voici ce que d´eclarait Wigner en 1983 : En ce qui concerne la th´eorie des repr´esentations, je comprenais qu"il devait exister une telle th´eorie mais je n"en avais pas connaissance. Dr. von Neumann, `a qui je soumis le probl`eme (et `a qui je pr´esentai les repr´esentations des groupes de permutations sur trois et quatre ´el´ements car je pouvais ´etablir celles-ci par des calculs explicites) me donna un tir´e `a part de l"article de Frobenius et Schur [de 1906]. Et ce futmerveilleux!8 Abraham Pais, ayant interrog´e Wigner vers la fin des ann´eescinquante, raconte ce point d"histoire un peu diff´eremment : lorsque Wigner avaitpos´e sa question `a von

Neumann, celui-ci s"´etait dirig´e vers un coin de la pi`ece, s"´etait tourn´e vers le mur

et s"´etait mis `a marmonner. Au bout d"un moment il s"´etaitretourn´e et avait dit :

((Vous avez besoin de la th´eorie des caract`eres des groupes)), puis ´etait aussitˆot all´e

voir Schur et avait obtenu des tir´es `a part de deux de ses articles [1905 et 1908] qu"il avait donn´es `a Wigner

9. La sc`ene se passait en 1926 `a Berlin.

On peut consid´erer la th´eorie des repr´esentations de groupes comme une vaste g´en´eralisation de l"analyse de Fourier. Son d´eveloppement est continu et elle a, depuis ?Ce nom fut propose beaucoup plus tard, au cours de l'annee 1933-1934, par Weyl dans ses conferences θa l'Institute for Advanced Study de Princeton. ?Traduit de Doncel?t al., eds., page 633.quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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