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Algèbre linéaire et bilinéaire - univ-rennes

7 1 Forme bilinéaire sur un espace vectoriel121 7 2 Forme bilinéaire symétrique non dégénérée123 7 3 Forme quadratiq? 7 4 Décomposition d’une forme quadratiq? 7 5 Formes quadratiques complexes et réelles131 7 6 Exercices134

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préparer ces exercices : 1)C'est un bon moyen de tester votre compréhension des notions de cours et de la renforcer 2)Certains de ces exercices seront posés en "Questions de cours" lors du DS et du DST (sur 3-4 points) La notion fondamentale de ce cours Le but est de faire de la géométrie sur des espaces

ALG

Module 2

PAD - Exercices

January 2, 2009

Table des Matiµeres

1 Espaces euclidiens 1

1-1.1 Exercice 1a - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-1.2 Exercice 2a. Orthogonalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-1.3 Exercice 3a - Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-2.1 Exercice 1b - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 8

1-2.3 Exercice 3b - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-3.1 Exercice 1c - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11

1-3.3 Exercice 3c - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 15 15 19

2-1.3 Exercice 6a { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-2.1 Exercice 4b { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-2.2 Exercice 5b { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24
25

2-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26
26

2-3.2 Exercice 5c { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-3.3 Exercice 6c { Diagonalisation des endomorphismes

27
31

3-1.1 Exercice 7a { Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . .

31
32

3-1.3 Exercice 9a { Polyn^omes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . .

35
i iiTABLE DES MATIµERES

3-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-2.1 Exercice 7b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40
40
42

3-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-3.1 Exercice 7c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-3.2 Exercice 8c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-3.3 Exercice 9c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 2

13 2-1 2-1.1 1. f

1(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3¡x1y2¡x2y1¡x1y3¡x3y1¡x2y3¡x3y2

2(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+x1y2+x2y1+x1y3+x3y1+x2y3+x3y2

3(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+ 2x1y2+ 2x1y3+ 2x2y3

(a) deR3. (b) (c) (d) 2. A=0 @2¡1 0

¡1 2¡1

0¡1 21

A dans la base canonique deR3. (a) (b) En partant des vecteurs de la base canoniquefe1;e2;e3g, et en utilisant le f-orthogonale. 1. canonique deR3: f

1(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3¡x1y2¡x2y1¡x1y3¡x3y1¡x2y3¡x3y2

¡x1x2x3¢0

@2¡1¡1

¡1 2¡1

¡1¡1 21

A0 @x 1 x 2 x 31
A f

2(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+x1y2+x2y1+x1y3+x3y1+x2y3+x3y2

¡x1x2x3¢0

@2 1 1 1 2 1

1 1 21

A0 @x 1 x 2 x 31
A f

3(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+ 2x1y2+ 2x1y3+ 2x2y3

¡x1x2x3¢0

@2 2 2 0 2 2

0 0 21

A0 @x 1 x 2 x 31
A q

1(x) = 2x21+ 2x22+ 2x23¡2x1x2¡2x1x3¡2x2x3

2(x) = 2x21+ 2x22+ 2x23+ 2x1x2+ 2x1x3+ 2x2x3

3(x) = 2x21+ 2x22+ 2x23+ 2x1x2+ 2x1x3+ 2x2x3

On a :

1(x) = 2³

1¡x2

¡x3

2 2+3 2 (x2¡x3)2 f

1n'est pas un produit scalaire.

Faisons de m^eme pourq2:

2(x) =x21+x22+x23+ (x2+x1+x3)2

qui est bien positive.

Supposons :q2(x) = 0 on a :

8>>< >:x 21= 0
x 22= 0
x 23= 0
(x2+x1+x3)2= 0 de m^eme pourf2puisqueq2=q3 produit scalaire. 2. (a) La matriceA=0 @2¡1 0

¡1 2¡1

0¡1 21

A f(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3¡x1y2¡x2y1¡x2y3¡x3y2 et q(x) = 2x21+ 2x22+ 2x23¡2x1x2¡2x2x3 q(x) = 2x21+ 2(x22¡x1x2¡x2x3) + 2x23= 2(x2¡1 2 x1¡1 2 x3)2+3 2 x21+3 2 x23¡x1x3 ou encore : q(x) = 2(x2¡1 2 x1¡1 2 x3)2+3 2 (x21¡2 3 x1x3) +3 2 x23

Finalement :

q(x) = 2(x2¡1 2 x1¡1 2 x3)2+3 2 (x1¡1 3 x3)2+4 3 x23

Donc pour toutx, on aq(x)¸0:

quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

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Module 2

PAD - Exercices

January 2, 2009

Table des Matiµeres

1 Espaces euclidiens 1

1-1.1 Exercice 1a - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-1.2 Exercice 2a. Orthogonalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-1.3 Exercice 3a - Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-2.1 Exercice 1b - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-2.3 Exercice 3b - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-3.1 Exercice 1c - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-3.3 Exercice 3c - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-1.3 Exercice 6a { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-2.1 Exercice 4b { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-2.2 Exercice 5b { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-3.2 Exercice 5c { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-3.3 Exercice 6c { Diagonalisation des endomorphismes

3-1.1 Exercice 7a { Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . .

3-1.3 Exercice 9a { Polyn^omes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . .

3-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-2.1 Exercice 7b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-3.1 Exercice 7c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-3.2 Exercice 8c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-3.3 Exercice 9c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 2

1(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3¡x1y2¡x2y1¡x1y3¡x3y1¡x2y3¡x3y2

2(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+x1y2+x2y1+x1y3+x3y1+x2y3+x3y2

3(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+ 2x1y2+ 2x1y3+ 2x2y3

¡1 2¡1

0¡1 21

1(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3¡x1y2¡x2y1¡x1y3¡x3y1¡x2y3¡x3y2

¡x1x2x3¢0

¡1 2¡1

¡1¡1 21

2(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+x1y2+x2y1+x1y3+x3y1+x2y3+x3y2

¡x1x2x3¢0

1 1 21

3(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+ 2x1y2+ 2x1y3+ 2x2y3

¡x1x2x3¢0

0 0 21

1(x) = 2x21+ 2x22+ 2x23¡2x1x2¡2x1x3¡2x2x3

2(x) = 2x21+ 2x22+ 2x23+ 2x1x2+ 2x1x3+ 2x2x3

3(x) = 2x21+ 2x22+ 2x23+ 2x1x2+ 2x1x3+ 2x2x3

On a :

1(x) = 2³

1¡x2

¡x3

1n'est pas un produit scalaire.

Faisons de m^eme pourq2:

2(x) =x21+x22+x23+ (x2+x1+x3)2

Supposons :q2(x) = 0 on a :

¡1 2¡1

0¡1 21

Finalement :

Donc pour toutx, on aq(x)¸0: