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Feuille2 SorbonneUniversité2019–2020 2MA221 matrice symétrique rang noyau côneisotrope 1 (1 00 1) oui 2 0 0 2 (0 10 0) non 1 - - 3 (0 11 0) oui 2 0 Vect 1 0 ?Vect 0 1 4 1 0 0 ?1

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7 1 Forme bilinéaire sur un espace vectoriel121 7 2 Forme bilinéaire symétrique non dégénérée123 7 3 Forme quadratiq? 7 4 Décomposition d’une forme quadratiq? 7 5 Formes quadratiques complexes et réelles131 7 6 Exercices134

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préparer ces exercices : 1)C'est un bon moyen de tester votre compréhension des notions de cours et de la renforcer 2)Certains de ces exercices seront posés en "Questions de cours" lors du DS et du DST (sur 3-4 points) La notion fondamentale de ce cours Le but est de faire de la géométrie sur des espaces

L2 MASS41 Algèbre

8P;Q2R2[X]; '(P;Q) =P(1)Q(¡1) +P(¡1)Q(1)

??????P;Q??R????R2[X]? ????¸2R?

On a clairement :

'(Q;P) =Q(1)P(¡1) +Q(¡1)P(1) ='(P;Q) '(¸P+Q;R) = (¸P+Q)(1)R(¡1) + (¸P+Q)(¡1)R(1) =¸'(P;R) +'(Q;R) '(1;1) = 1:1 + 1:1 = 2'(1;X) ='(X;1) = 1:1 + (¡1):1 = 0 '(X;X) = 1:(¡1) + (¡1):1 =¡2'(1;X2) ='(X2;1) = 1:(¡1)2+ 1:(1)2= 2 '(X2;X2) = 12:(¡1)2+ (¡1)2:1 = 2'(X;X2) ='(X2;X) = 1:(¡1)2+ (¡1):12= 0 A=0 @2 0 2

0¡2 0

2 0 21

A P=0 @1 0 0 0 1 0

¡1 0 11

A A

0=tPAP=0

@1 0¡1 0 1 0

0 0 11

A0 @2 0 2

0¡2 0

2 0 21

A0 @1 0 0 0 1 0

¡1 0 11

A 0 @1 0¡1 0 1 0

0 0 11

A0 @0 0 2

0¡2 0

0 0 21

A 0 @0 0 0

0¡2 0

0 0 21

P(X) =a0(1¡X2) +a1X+a2X2

Q(X) =b0(1¡X2) +b1X+b2X2

'(P;Q) =¡2a1b1+ 2a2b2 q(P) =¡2a21+ 2a22

SoitP2R2[X]?P=a0(1¡X2) +a1X+a2X2

P2Jp() ¡2a21+ 2a22= 0()a21=a22()a1=§a2

??a1=a2? ?? ? ?????P(X) =a0(1¡X2) +a1(X+X2)? ????P2V ect(1¡X2;X+X2) ??a1=¡a2? ?? ? ?????P(X) =a0(1¡X2) +a1(X¡X2)? ????P2V ect(1¡X2;X¡X2) J q=V ect(1¡X2;X+X2)[V ect(1¡X2;X¡X2) ????F=fP2R2[X]= P(0) = 0g? ?? ???? ???(1;X;X2)??? ??? ???? ??R2[X]?

SoitP2R2[X]?P=a0+a1X+a2X2? ????(a0;a1;a2)2R3

P2F()P(0) = 0

()a0+a1:0 +a2:0 = 0 ()a0= 0 ()P=a1X+a2X22V ect(X;X2)

F=V ect(X;X2)

????? ???? ??? ???? ??F? ?? ??????? ????F?=fP2R2[X]=8Q2F;'(P;Q) = 0g?

SoitP2F?? ?? ???? ???? ?????'(P;X) ='(P;X2) = 0?

½P(1):(¡1) +P(¡1):1 = 0

P(1):(¡1)2+P(¡1):12= 0

½P(¡1)¡P(1) = 0

P(¡1) +P(1) = 0

????P(¡1) =P(1) = 0? Le polynômeP????? ???? ?? ????? ???? ??????? ?¡1??1? OrP2R2[X]?P??????? ?????P(X) =a(X¡1)(X+ 1) =a(X2¡1)?

On a donc :

F ?=V ect(X2¡1) q(x) =x21+ 2x22+x23+ax24+ 2x1x2+ 4bx1x3+ 4bx2x3+ 2cx2x4 q(x) ='(x;x) '(x;y) =q(x+y)¡q(x)¡q(y) 2 '(x;y) =x1y1+2x2y2+x3y3+ax4y4+x1y2+y1x2+2bx1y3+2by1x3+2bx2y3+2by2x3+cx2y4+cy2x4 ?? ??????? ??q??? ??'? ??? ???? ? A=0 B

B@1 1 2b0

1 2 2b c

2b2b1 0

0c0a1 C CA q(x) =x21+ 2x22+x23+ax24+ 2x1x2+ 4bx1x3+ 4bx2x3+ 2cx2x4 = (x1+x2+ 2bx3)2+x22¡4b2x23+x23+ax24+ 2cx2x4 (x1+x2+ 2bx3)2+ (x2+cx4)2+ (1¡4b2)x23+ (a¡c2)x24

Sia¡c2>0;

??1¡4b2>0;?????rg(q) = 4??sgn(q) = (4;0) ??1¡4b2= 0;?????rg(q) = 3??sgn(q) = (3;0) ??1¡4b2<0;?????rg(q) = 4??sgn(q) = (3;1) ??a¡c2= 0; ??1¡4b2>0;?????rg(q) = 3??sgn(q) = (3;0) ??1¡4b2= 0;?????rg(q) = 2??sgn(q) = (2;0) ??1¡4b2<0;?????rg(q) = 3??sgn(q) = (2;1) ??a¡c2<0; ??1¡4b2>0;?????rg(q) = 4??sgn(q) = (3;1) ??1¡4b2= 0;?????rg(q) = 3??sgn(q) = (2;1) ??1¡4b2<0;?????rg(q) = 4??sgn(q) = (2;2) On est dans le cas oùrg(q) = 1??sgn(q) = (4;0)?

On pose

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯X=x1+x2+ 2bx3=x1+x2

Y=x2+cx4=x2+x4

Z=p

1¡4b2x3=x3

T=p a¡c2x4=x4

1=X¡Y+T

2=Y¡T

x 3=Z x 4=T ?? ???? ????? ?? ??????? ?? ???????P????? ???0 B B@x 1 x 2 x 3 x 41
C CA=P0 B B@X Y Z T1 C CA? P=0 B

B@1¡1 0 1

0 1 0¡1

0 0 1 0

0 0 0 11

C CA v 1=0 B B@1 0 0 01 C

CA; v2=0

B@¡1

1 0 01 C

CA; v3=0

B B@0 0 1 01 C

CA; v4=0

B B@1 ¡1 0 11 C CAquotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

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L2 MASS41 Algèbre

8P;Q2R2[X]; '(P;Q) =P(1)Q(¡1) +P(¡1)Q(1)

On a clairement :

0¡2 0

2 0 21

¡1 0 11

0=tPAP=0

0 0 11

0¡2 0

2 0 21

¡1 0 11

0 0 11

0¡2 0

0 0 21

0¡2 0

0 0 21

P(X) =a0(1¡X2) +a1X+a2X2

Q(X) =b0(1¡X2) +b1X+b2X2

SoitP2R2[X]?P=a0(1¡X2) +a1X+a2X2

P2Jp() ¡2a21+ 2a22= 0()a21=a22()a1=§a2

SoitP2R2[X]?P=a0+a1X+a2X2? ????(a0;a1;a2)2R3

P2F()P(0) = 0

F=V ect(X;X2)

SoitP2F?? ?? ???? ???? ?????'(P;X) ='(P;X2) = 0?

½P(1):(¡1) +P(¡1):1 = 0

P(1):(¡1)2+P(¡1):12= 0

½P(¡1)¡P(1) = 0

P(¡1) +P(1) = 0

On a donc :

B@1 1 2b0

1 2 2b c

2b2b1 0

Sia¡c2>0;

On pose

Y=x2+cx4=x2+x4

1¡4b2x3=x3

1=X¡Y+T

2=Y¡T

B@1¡1 0 1

0 1 0¡1

0 0 1 0

0 0 0 11

CA; v2=0

B@¡1

CA; v3=0

CA; v4=0