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MAT404 - Annee universitaire 2016-2017

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Corrige du Contr^ole Continu n

o2 - 17/03/2017

Exercice 1.

Les fonctions suivantes sont-elles des formes bilineaires? Sont-elles symetriques?

1: :R2R2!R; x1

x 2 ;y1 y 2 =x1y2+x2y2:

2: :C2C2!C; x1

x 2 ;y1 y 2 =ix1y2+ix2x1:

3: :C([0;1];C)C([0;1];C)!C; (f;g) =Z

1 0 f(x)g(1x)dx:

Corrige de l'Exercice 1. Voir TD.

Exercice 2.

1. On considere la forme bilineaire suivante

1 :R3R3!R; 0 @0 @x 1 x 2 x 31
A ;0 @y 1 y 2 y 31
A1 A =x1y2+ 2x2y1+x2y3+ 5x3y2: Calculer la matrice dedans la base canonique deR3, donner son rang et calculer son noyau.

2. On considere la forme bilineaire symetrique suivante

2 :R2[X]R2[X]!R; (P;Q) =Z 1

1P(x)Q(x)dx:

Determiner l'orthogonal pourdu sous-espace vectorielWdeR2[X] deni parW= Vect(X), et en donner une base et la dimension.

Corrige de l'Exercice 2.

1. On trouve par des calculs directs que la matriceMdedans la base canonique deR3est

donnee par M=0 @0 1 0 2 0 1

0 5 01

A :1. On admet qu'il s'agit bien d'une forme bilineaire.

2. On admet qu'il s'agit bien d'une forme bilineaire symetrique.

1 Puisque la troisieme colonne est egale a deux fois la premiere, le rang deMest inferieur ou egal a deux. Et puisque les deux premiers vecteurs sont lineairement independants, on en deduit que le rang deMest egal a deux.

Calculons le noyau deM: le vecteurX=0

@x 1 x 2 x 31
A appartient au noyau si et seulement siMX= 0, soit 8>< :x 2= 0

2x1+x3= 0

5x2= 0

ce qui aboutit aX=x10 @1 0 21
A . Ainsi KerMest de dimension un (ce que l'on savait deja d'apres le theoreme du rang) et c'est la droite vectorielle engendree par 0 @1 0 21
A

2. On a par denition

W ?=fP2R2[X];(P;w) = 0;8w2Wg: PuisqueW= Vect(X), on en deduit queP=a+bX+cX2appartient aW?si et seulement si Z 1

1(a+bx+cx2)(x)dx= 0

soit, en utilisant le fait que les integrales de mon^omes de degre impair sont nulles : b= 0: AinsiP=a+cX2et on conclut queW?= Vect(1;X2) est de dimension deux.

Exercice 3.

1. SoitM2Mn(R). Montrer queMs'ecrit de facon unique comme la somme d'une matriceM1

symetrique et d'une matriceM2antisymetrique3.Indication : on pourra ecriretMen fonction de M

1etM2.

2. Soit:RnRn!Rune forme bilineaire. Montrer ques'ecrit de facon unique comme

somme d'une forme bilineaire1symmetrique et d'une forme bilineaire2antisymetrique4

Corrige de l'Exercice 3.

1. Supposons qu'il existeM1etM2respectivement symetrique et antisymetrique telles que

M=M1+M2. Alors necessairement,tM=tM1+tM2=M1M2. Ainsi, on trouveM1etM2 explicitement en fonction deM: 8>< :M 1=12 (M+tM) M 2=12 (MtM):3. C'est-a-dire telle que tM2=M2.

4. C'est-a-dire telle que2(y;x) =2(x;y) pour tout (x;y)2RnRn.

2 Reciproquement, siM1etM2sont denies comme ci-dessus, elles sont bien respectivement symetrique et antisymetrique et on a bienM=M1+M2. Ce couple convient donc, et c'est l'unique possible.

2. On s'inspire du raisonnement de la question precedente : si(x;y) =1(x;y)+2(x;y) pour

tout (x;y)2RnRn, avec1symetrique et2antisymetrique, alors necessairement(y;x) =

1(y;x) +2(y;x) =1(x;y)2(x;y). Ainsi, on trouve

8><

1(x;y) =12

((x;y) +(y;x))

2(x;y) =12

((x;y)(y;x)): Reciproquement, si1et2sont denies comme ci-dessus alors le couple (1;2) convient. C'est donc l'unique possible. Remarque. On peut aussi passer par les matrices des formes bilineaires, en remarquant que est symetrique (resp. antisymetrique) si et seulement si sa matrice dans toute base l'est. 3quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

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