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I. Parité et périodicité dune fonction

Fonctions trigonométriques. 2.1) Rappels et définitions. Dans un repère orthonormé (O ; I J ) du plan



FONCTIONS COSINUS ET SINUS

Méthode : Etudier la parité d'une fonction trigonométrique. Vidéo https On en déduit que la fonction f est périodique de période π . 3) Pour tout x de R ...



Étudier une fonction trigonométrique

Utiliser sa calculatrice graphique afin de se faire une idée sur la parité sur la périodicité ou sur les variations de la fonction



FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

- La fonction sinus est la fonction définie sur ℝ qui



Partie 1 : Fonctions cosinus et sinus

Méthode : Reconnaître graphiquement la parité et la périodicité d'une fonction Méthode : Étudier la parité d'une fonction trigonométrique. Vidéo https ...



Savoir ÉTUDIER UNE FONCTION TRIGONOMÉTRIQUE

C'est souvent une période 2π : on montre que f( x + 2π ) = f(x) en se servant de la 2π-périodicité des fonctions cos et sin . ○. Cela permet d'étudier la 



TD n°4 de trigonométrie : équations et périodicité 1) Équations

Illustrer chacune de ces deux situations sur le cercle trigonométrique ci-contre. Traçons la courbe de H. On reconnaît bien une fonction de période 15π comme ...



Synthèse danalyse

. . . . . . . . . 82. 7.2.3 Période des principales fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . 82. 7.2.4 Trouver la période d'une fonction trigonométrique 



7. Fonctions trigonométriques

En utilisant le cercle trigonométrique pouvez-vous expliquer la forme de cette courbe



( ) cos2

sin cos 2. f x x x. = × définie sur . Page 2. Fonctions trigonométriques. Exercices 4A Etude de la périodicité de la fonction f : soit p la période cherchée :.



I. Parité et périodicité dune fonction

On fait le lien entre les résultats obtenus en utilisant le cercle trigonométrique et les représentations graphiques des fonctions x a cos x et x a sin x . -AP- 



FONCTIONS COSINUS ET SINUS

même point du cercle trigonométrique. Remarque : On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2? . Conséquence :.



Étudier une fonction trigonométrique

Utiliser sa calculatrice graphique afin de se faire une idée sur la parité sur la périodicité ou sur les variations de la fonction



Chapitre 6: Fonctions trigonométriques

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES. 97. 2Mstand/renf – JtJ 2019 b) Esquisser la fonction f définie par f (x) = ?. 1. 2 cos x + ?. ( ) puis préciser sa période 



TD n°4 de trigonométrie : équations et périodicité 1) Équations

TD n°4 de trigonométrie : équations et périodicité. CORRECTION Retrouver sur la courbe de la fonction cos ci-dessous les solutions de cos x=1.



Partie 1 : Fonctions cosinus et sinus

TRIGONOMÉTRIE – Chapitre 3/3 2) Périodicité ... Définition : La période d'une fonction est l'intervalle pour lequel la courbe de la fonction se.



FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Remarque : On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2 . Conséquence : Pour tracer la courbe représentative de la fonction cosinus 



Fonction Trigo

trigonométrique tel que IOM Quel que soit le réel x cos(x + 2?) = cos x ; On dit que la fonction cosinus est périodique de période 2?.



Trigonométrie

Il est très fréquent de trouver des fonctions périodiques dès lors que l'on travaille avec les fonctions Sinus et Cosinus. Néanmoins la période peut varier en 



TRIGONOMÉTRIE (II) CORRECTION DES EXERCICES

ÉTUDES DE FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES Montrons que f est une fonction périodique de période 2?. ... Étudions la périodicité de la fonction g sur R.



[PDF] I Parité et périodicité dune fonction - Logamathsfr

du cercle trigonométrique Propriété 2 Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période T=2? – Pour tout x?? : cos(x+2?)=cosx



[PDF] FONCTIONS COSINUS ET SINUS - maths et tiques

À ce point on fait correspondre un point M sur le cercle trigonométrique On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2?



[PDF] FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES - maths et tiques

- La fonction sinus est la fonction définie sur ? qui à tout réel associe sin ( ) Fonction cosinus Fonction sinus 2) Périodicité Propriétés : 1) cos( 



[PDF] Étudier une fonction trigonométrique

Utiliser sa calculatrice graphique afin de se faire une idée sur la parité sur la périodicité ou sur les variations de la fonction on pensera préalablement à



[PDF] TD n°4 de trigonométrie : équations et périodicité

a) Quelles sont les périodes des fonctions définies par F1(x)=sin(3 x+1) et F2 x =cos 5 x?3 ? En déduire la période de la fonction F définie par F x = 



[PDF] Trigonométrie

Il est très fréquent de trouver des fonctions périodiques dès lors que l'on travaille avec les fonctions Sinus et Cosinus Néanmoins la période peut varier en 



[PDF] Chapitre 6: Fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques sont définies à l'aide du cercle trigonométrique : Périodicité • La fonction sinus est périodique de période sin(? + ) 



[PDF] Chapitre 4 – Séries trigonométriques 1 Fonctions périodiques

Théor`eme : Soit f périodique et continue Ou bien f = Cte ou bien il existe une plus petite période T > 0 et toutes les périodes de f sont les nombres de 



[PDF] 1 Fonctions périodiques - Licence de mathématiques Lyon 1

Definition 1 On appelle période d'une fonction f : R ? C tout nombre réel T Definition 4 On appelle série trigonométrique toute série de fonctions ?un 



[PDF] TRIGONOMÉTRIE (II) CORRECTION DES EXERCICES

ÉTUDES DE FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES Montrons que f est une fonction périodique de période 2? Étudions la périodicité de la fonction g sur R

  • Comment déterminer la périodicité d'une fonction ?

    Si f est une fonction paire ou impaire, alors il suffit de l'étudier sur R+?Df ou R??Df. Si f est une fonction périodique de période T, alors il suffit de l'étudier sur l'intersection de n'importe quel intervalle d'amplitude T avec Df.

  • Comment montrer qu'une fonction trigonométrique est periodique ?

    Les fonctions trigonométriques sont des fonctions périodiques. Une fonction f(x) est périodique s'il existe un nombre positif P (la période) tel que f(x±P)=f(x) f ( x ± P ) = f ( x ) pour toutes les valeurs de x dans le domaine de la fonction.

  • Comment montrer que la fonction sinus est periodique ?

    Une fonction f est périodique s'il existe un nombre réel positif p tel que, pour tout x et (x + p) du domaine de f, on a f(x + p) = f(x) ou f(x – p) = f(x). Les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente sont des fonctions périodiques.
  • En mathématiques, une fonction périodique est une fonction qui lorsqu'elle est appliquée à une variable, reprend la même valeur si on ajoute à cette variable une certaine quantité fixe appelée période.

Terminale STrigonométrie

OLIVIER LÉCLUSE

CREATIVE COMMON BY-NC-SA

Octobre 20131.0

Table des

matières

Objectifs5

Introduction7

I - Définition - dérivabilité9 A. Construction Sinus et Cosinus.........................................................................9

B. Valeurs particulières....................................................................................10

C. Propriétés fondamentales.............................................................................11

D. Étude sur [0 ;π]..........................................................................................11

E. Exercice.....................................................................................................13

II - Parité - Périodicité15 A. Fonction périodique.....................................................................................15

B. Etude de périodicité.....................................................................................16

C. Fonctions paires..........................................................................................16

D. Fonctions impaires......................................................................................16

E. Parité des fonctions Sinus et Cosinus.............................................................17

F. Exemple de parité........................................................................................17

III - Test final sur la trigonométrie19

Solution des exercices21

Contenus annexes25

3

Objectifs

Dans ce chapitre nous étudierons les fonctions Sinus et Cosinus ainsi que leurs dérivées. Nous verrons les notions de périodicité et de parité et la représentation graphique des fonctions trigonométriques. 5

Introduction

Les fonctions Sinus et Cosinus permettent de décrire les sons produits par les instruments de musique et les voix. Plus généralement, elles servent pour décrire la propagation de toutes sortes d'ondes. C'est pourquoi leur étude est fondamentale pour comprendre le monde qui nous entoure.

L'image ci-contre montre l'oscillogramme d'un

son de flûte. On y remarque des propriétés très particulières, caractéristiques des fonctions sinus et cosinus comme la périodicité (la manière dont la courbe se répète à intervalles réguliers) ? 7

I - Définition -

dérivabilitéI

Construction Sinus et Cosinus9

Valeurs particulières10

Propriétés fondamentales11

Étude sur [0 ;π]11

Exercice13

A. Construction Sinus et Cosinus

Simulateur

Observer sur l'animation ci-dessous la construction des courbes représentatives de Sinus et Cosinus à partir de leur définition sur le cercle trigonométrique. La courbe Cosinus est obtenue à partir du lieu du point C1 dont l'abscisse est l'angle a en Radians et l'ordonnée, l'abscisse du point M sur le cercle. La courbe Sinus est obtenue à partir du lieu du point S1 dont l'abscisse est l'angle a en Radians et l'ordonnée, l'ordonnée du point M sur le cercle. Les points M et S1 ont donc même ordonnée. 9

B. Valeurs particulières

Fondamental:Valeurs remarquables de sin et cos à connaître en degrés0°30°45°60°90° en radians0 10 01 De ce tableau, et à l'aide du cercle trigonométrique ci-dessus, on déduit aisément les valeurs remarquables de sinus et cosinus pour les angles entre 0 et ou entre et

Définition - dérivabilité

10

Remarque:Démonstration

Les valeurs du tableau se démontrent facilement par de la géométrie de collège. Nous avons vu précédemment la démonstration de . Le théorème de Pythagore et les symétries permettent de montrer les autres valeurs de cosinus et sinus pour les angles de 30° et 60° Pour l'angle de 45°, il suffit de savoir que la longueur de la diagonale d'un carré de coté 1 est Dès lors, par simple proportionnalité, la longueur d'un carré dont la diagonale est 1 est coté1? ? diagonale1

C. Propriétés fondamentales

Fondamental:Dérivées des fonctions sin et cos (admise) Les fonctions Sinus et Cosinus sont dérivables sur et pour tout

Complément

Étant dérivables, elles sont aussi continues sur

Exemple

Soit D'après la formule sur la dérivée d'une fonction composée - p.27.

D. Étude sur [0 ;π]

Définition - dérivabilité

11

Fondamental:Fonction Cosinus

Variations de la fonction Cosinus sur [0 ;π]

Représentation de la fonction Cosinus sur [0 ;π]

Fondamental:Fonction Sinus

Variations de la fonction Sinus sur [0 ;π]

Représentation de la fonction Sinus sur [0 ;π]

Définition - dérivabilité

12

E. Exercice

Soit f la fonction définie sur par

Q ue stio n 1

[Solution n°1 p 23] Justifier que f est dérivable sur et calculer f'

Q ue stio n 2

[Solution n°2 p 23] En étudiant les positions relatives de Cosinus et Sinus, préciser le signe de f' sur I puis dresser le tableau de variations de la fonction f sir I Définition - dérivabilité 13

II - Parité -

PériodicitéII

Fonction périodique15

Etude de périodicité16

Fonctions paires16

Fonctions impaires16

Parité des fonctions Sinus et Cosinus17

Exemple de parité17

Objectifs

Découvrir les concepts de parité et de périodicité au travers de l'exemple des fonctions Sinus et Cosinus

A. Fonction périodique

Définition

Une fonction f est périodique de période T sur si et seulement si par définition pour tout

Exemple:Sinus et Cosinus

On a vu lors de l'enroulement de la droite sur le cercle trigonométrique - p.27 qu'ajouter à x revenait à faire un tour complet du cercle trigonométrique. Ainsi les nombres et ont même image sur le cercle trigonométrique.

On en déduit ainsi que pour tout , et

En d'autre termes, les fonctions Sinus et Cosinus sont périodiques de période

Complément

, , etc... sont aussi des périodes pour Sinus et Cosinus. Généralement, on considère plutôt la plus petite période positive. Il est très fréquent de trouver des fonctions périodiques dès lors que l'on travaille avec les fonctions Sinus et Cosinus. Néanmoins la période peut varier en fonction de ce que l'on trouvera à l'intérieur des foncions Sinus et Cosinus. 15

Remarque:Interprétation graphique

Les fonctions Sinus et Cosinus sont

invariantes par translation de vecteur

B. Etude de périodicité

Q ue stio n

[Solution n°3 p 25] Montrer que la fonction est périodique de période

C. Fonctions paires

Définition

Une fonction est paire si et seulement si pour tout

Complément:Interprétation géométrique

La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées

Exemple:La fonction carré

La fonction est une fonction paire.

En effet, pour tout

La parabole représentant la fonction

carré admet l'axe des ordonnées pour axe de symétrie.

D. Fonctions impaires

Définition

Une fonction est impaire si et seulement si pour tout

Parité - Périodicité

16

Complément:Interprétation géométrique

La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Parité - Périodicité

17

Exemple:La fonction inverse

La fonction est une fonction paire.

En effet, pour tout

Les deux branches d'hyperbole

représentant la fonction inverse sont symétriques par rapport à l'origine du repère.

E. Parité des fonctions Sinus et Cosinus

Fondamental

La fonction est une fonction impaire

La fonction est une fonction paire

Complément:Démonstration

Il suffit de se rappeler les propriétés fondamentales - p.28 de Sinus et Cosinus : et

F. Exemple de parité

On considère

Q ue stio n 1

[Solution n°4 p 26]

Déterminer la parité de f

Indices :

Il s'agit de savoir si la fonction f est paire, impaire ou rien du tout.

Dans ce cas, on pourra calculer

Q ue stio n 2

[Solution n°5 p 26]

Interpréter ce résultat graphiquement

Q ue stio n 3

[Solution n°6 p 26] Étudier la dérivabilité de f et la parité de

Ce résultat en réalité peut se généraliser à n'importe quelle fonction paire dérivable.Parité - Périodicité

18

Q ue stio n 4

[Solution n°7 p 26]

Soit f une fonction paire dérivable sur .

Démontrer que f' est impaire. Parité - Périodicité 19

III - Test final sur la

trigonométrieIII Pour ce test d'auto-évaluation final, vous devez obtenir un minimum de 80% de bonnes réponses. En cas d'échec, révisez la section du cours qui vous a posé des difficultés et retentez à nouveau le test.

Exercice 1

La fonction est :

croissante sur l'intervalle décroissante sur l'intervalle décroissante sur l'intervalle

Exercice 2

La fonction f définie sur l'intervalle par admet pour fonction dérivée

Exercice 3

La fonction f définie sur par admet pour fonction dérivée 21

Exercice 4

La fonction f définie sur par admet pour fonction dérivée

Exercice 5

La fonction

est paire est impaire n'est ni paire ni impaire

Test final sur la trigonométrie

22

Solution des

exercices > Solution n°1 (exercice p. 13) Les fonctions Sinus et Cosinus sont dérivables sur donc la somme de ces deux fonctions est aussi dérivable sur On a > Solution n°2 (exercice p. 13) Étudier le signe de revient à étudier la position relative des courbes représentant les fonctions Sinus et Cosinus. Observons le tracé de ces deux courbes sur la calculatrice :

Méthode:Résoudre l'équation Sin x= Cos x

L'observation du graphique montre qu'il nous faut déterminer les deux valeurs pour lesquelles sur l'intervalle 23

Si l'on se rappelle la définition

géométrique de Cosinus et Sinus, les valeurs de x recherchées sont celles pour lesquelles l'abscisse et l'ordonnée du point M sont égales. Il nous faut donc déterminer les deux points d'intersection du cercle trigonométrique avec la droite d'équation La première correspond à la valeur remarquable dont on sait que le Sinus et le Cosinus valent tous deux La seconde correspond à la valeur remarquable dont on sait que le

Sinus et le Cosinus valent tous deux

Ainsi, en observant les courbes représentatives de Sinus et Cosinus, on obtient : Si donc Si donc On en déduit le tableau de variations suivant pour la fonction f sur l'intervalle

Solution des exercices

24

On vérifie à l'aide de la calculatrice la

représentation graphique de la fonction f sur l'intervalle > Solution n°3 (exercice p. 16)

On a car on sait que la fonction Cosinus est

périodique de période

De plus car on

sait que la fonction Sinus est périodique de période

Donc on a montré que

pour tout La fonction f est donc périodique de période > Solution n°4 (exercice p. 18) Solution des exercices 25

Méthode

Calculons

Or on sait que

Donc

La fonction f est donc paire.

> Solution n°5 (exercice p. 18)

La courbe représentative de la fonction

f admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie > Solution n°6 (exercice p. 18) f est dérivable sur car les fonctions Sinus et Cosinus le sont ainsi que les fonctions à l'intérieur : et . La composition et la somme de ces fonctions ne pose donc pas de problèmes de dérivabilité.

La fonction est donc

> Solution n°7 (exercice p. 19) f étant paire, on sait que pour tout Dérivons le membre de gauche de l'égalité : d'après les propriétés de la dérivation - p.27 rencontrées précédemment. Dérivons le membre de droite :

L'égalité des deux fonctions f(-x) et f(x) entraîne également l'égalité des dérivées.

On en conclut que pour tout ce qui démontre que la fonction f' est impaire.

Solution des exercices

26

Contenus annexes

- Dérivée de f(ax+b)

Méthode

On considère une fonction f dérivable sur un intervalle I et soient a et b deux nombres réels

Alors la fonction dérivée de est

Exemple

La dérivée de est

Exemple

La dérivée de est

Attention

Cette formule ne s'applique que dans le cas où la fonction contenue dans f est une fonction affine. On ne peut pas utiliser cette formule pour dériver - Correspondance entre abscisse et angle

La longueur du cercle trigonométrique

est égale à . Ainsi au point M d'abscisse on fait correspondre le point M' du cercle trigonométrique tel que l'angle .

A la longueur correspond un demi-

tour, soit un angle ° etc...

En règle générale, il y a

proportionnalité entre l'abscisse du point M et la mesure en degré de l'angle comme le montre le tableau ci-dessous.

Abscisse du0

27
point M sur la droite numérique

Angle en

degré-

360°-

180°-90°-45°045°90°180

°360°

- Propriétés des fonctions sin et cos

Fondamental

Pour tout nombre réel x , on a :

1. et 2. 3. et

Remarque:Notation

On note souvent pour désigner et pour

Complément:Démonstration des propriétés

1. La première propriété découle du fait que le sinus et le cosinus sont les

coordonnées d'un point du cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1. Ces coordonnées sont donc nécessairement comprises entre -1 et 1.

2. La seconde propriété découle de

l'utilisation du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle OHM, sachant que

3. Pour la dernière propriété, on

remarquera que si un point M correspond à un angle x par enroulement de la droite numérique, l'angle -x revient à faire un enroulement dans le sens contraire et amène à un point M' symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses. Les abscisses de M et M' sont identiques Les ordonnées de M et M' sont opposées

On en déduit les dernières égalités.

Contenus annexes

28
quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44
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