Étudier une fonction trigonométrique PDF

I. Parité et périodicité dune fonction

Fonctions trigonométriques. 2.1) Rappels et définitions. Dans un repère orthonormé (O ; I J ) du plan

FONCTIONS COSINUS ET SINUS

Méthode : Etudier la parité d'une fonction trigonométrique. Vidéo https On en déduit que la fonction f est périodique de période π . 3) Pour tout x de R ...

Étudier une fonction trigonométrique

Utiliser sa calculatrice graphique afin de se faire une idée sur la parité sur la périodicité ou sur les variations de la fonction

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

- La fonction sinus est la fonction définie sur ℝ qui

Partie 1 : Fonctions cosinus et sinus

Méthode : Reconnaître graphiquement la parité et la périodicité d'une fonction Méthode : Étudier la parité d'une fonction trigonométrique. Vidéo https ...

Savoir ÉTUDIER UNE FONCTION TRIGONOMÉTRIQUE

C'est souvent une période 2π : on montre que f( x + 2π ) = f(x) en se servant de la 2π-périodicité des fonctions cos et sin . ○. Cela permet d'étudier la

TD n°4 de trigonométrie : équations et périodicité 1) Équations

Illustrer chacune de ces deux situations sur le cercle trigonométrique ci-contre. Traçons la courbe de H. On reconnaît bien une fonction de période 15π comme ...

Synthèse danalyse

. . . . . . . . . 82. 7.2.3 Période des principales fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . 82. 7.2.4 Trouver la période d'une fonction trigonométrique

7. Fonctions trigonométriques

En utilisant le cercle trigonométrique pouvez-vous expliquer la forme de cette courbe

( ) cos2

sin cos 2. f x x x. = × définie sur . Page 2. Fonctions trigonométriques. Exercices 4A Etude de la périodicité de la fonction f : soit p la période cherchée :.

I. Parité et périodicité dune fonction

On fait le lien entre les résultats obtenus en utilisant le cercle trigonométrique et les représentations graphiques des fonctions x a cos x et x a sin x . -AP-

FONCTIONS COSINUS ET SINUS

même point du cercle trigonométrique. Remarque : On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2? . Conséquence :.

Étudier une fonction trigonométrique

Utiliser sa calculatrice graphique afin de se faire une idée sur la parité sur la périodicité ou sur les variations de la fonction

Chapitre 6: Fonctions trigonométriques

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES. 97. 2Mstand/renf – JtJ 2019 b) Esquisser la fonction f définie par f (x) = ?. 1. 2 cos x + ?. ( ) puis préciser sa période

TD n°4 de trigonométrie : équations et périodicité 1) Équations

TD n°4 de trigonométrie : équations et périodicité. CORRECTION Retrouver sur la courbe de la fonction cos ci-dessous les solutions de cos x=1.

Partie 1 : Fonctions cosinus et sinus

TRIGONOMÉTRIE – Chapitre 3/3 2) Périodicité ... Définition : La période d'une fonction est l'intervalle pour lequel la courbe de la fonction se.

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Remarque : On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2 . Conséquence : Pour tracer la courbe représentative de la fonction cosinus

Fonction Trigo

trigonométrique tel que IOM Quel que soit le réel x cos(x + 2?) = cos x ; On dit que la fonction cosinus est périodique de période 2?.

Trigonométrie

Il est très fréquent de trouver des fonctions périodiques dès lors que l'on travaille avec les fonctions Sinus et Cosinus. Néanmoins la période peut varier en

TRIGONOMÉTRIE (II) CORRECTION DES EXERCICES

ÉTUDES DE FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES Montrons que f est une fonction périodique de période 2?. ... Étudions la périodicité de la fonction g sur R.

[PDF] I Parité et périodicité dune fonction - Logamathsfr

du cercle trigonométrique Propriété 2 Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période T=2? – Pour tout x?? : cos(x+2?)=cosx

[PDF] FONCTIONS COSINUS ET SINUS - maths et tiques

À ce point on fait correspondre un point M sur le cercle trigonométrique On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2?

[PDF] FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES - maths et tiques

- La fonction sinus est la fonction définie sur ? qui à tout réel associe sin ( ) Fonction cosinus Fonction sinus 2) Périodicité Propriétés : 1) cos(

[PDF] Étudier une fonction trigonométrique

Utiliser sa calculatrice graphique afin de se faire une idée sur la parité sur la périodicité ou sur les variations de la fonction on pensera préalablement à

[PDF] TD n°4 de trigonométrie : équations et périodicité

a) Quelles sont les périodes des fonctions définies par F1(x)=sin(3 x+1) et F2 x =cos 5 x?3 ? En déduire la période de la fonction F définie par F x =

[PDF] Trigonométrie

Il est très fréquent de trouver des fonctions périodiques dès lors que l'on travaille avec les fonctions Sinus et Cosinus Néanmoins la période peut varier en

[PDF] Chapitre 6: Fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques sont définies à l'aide du cercle trigonométrique : Périodicité • La fonction sinus est périodique de période sin(? + )

[PDF] Chapitre 4 – Séries trigonométriques 1 Fonctions périodiques

Théor`eme : Soit f périodique et continue Ou bien f = Cte ou bien il existe une plus petite période T > 0 et toutes les périodes de f sont les nombres de

[PDF] 1 Fonctions périodiques - Licence de mathématiques Lyon 1

Definition 1 On appelle période d'une fonction f : R ? C tout nombre réel T Definition 4 On appelle série trigonométrique toute série de fonctions ?un

[PDF] TRIGONOMÉTRIE (II) CORRECTION DES EXERCICES

ÉTUDES DE FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES Montrons que f est une fonction périodique de période 2? Étudions la périodicité de la fonction g sur R

Comment déterminer la périodicité d'une fonction ?
Si f est une fonction paire ou impaire, alors il suffit de l'étudier sur R+?Df ou R??Df. Si f est une fonction périodique de période T, alors il suffit de l'étudier sur l'intersection de n'importe quel intervalle d'amplitude T avec Df.
Comment montrer qu'une fonction trigonométrique est periodique ?
Les fonctions trigonométriques sont des fonctions périodiques. Une fonction f(x) est périodique s'il existe un nombre positif P (la période) tel que f(x±P)=f(x) f ( x ± P ) = f ( x ) pour toutes les valeurs de x dans le domaine de la fonction.
Comment montrer que la fonction sinus est periodique ?
Une fonction f est périodique s'il existe un nombre réel positif p tel que, pour tout x et (x + p) du domaine de f, on a f(x + p) = f(x) ou f(x – p) = f(x). Les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente sont des fonctions périodiques.
En mathématiques, une fonction périodique est une fonction qui lorsqu'elle est appliquée à une variable, reprend la même valeur si on ajoute à cette variable une certaine quantité fixe appelée période.

18. Étudier une fonction trigonométrique153

Étudier une fonction

trigonométriqueQuand on ne sait pas ! Bien revoir les deux chapitres précédents sur les équations et inéquations trigonométriques ainsi que le chapitre sur le calcul des dérivées. Connaître les définitions d'une fonction paire, impaire et périodique ainsi que leurs interprétations graphiques : f est paire si, et seulement si f x fx pour tout x de f D. f C est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. f est impaire si, et seulement si f x fx pour tout x de fD. f C est alors symétrique par rapport à l'origine O du repère. f est périodique de période T si et seulement si fx T fx pour tout x de f D. f C est alors invariante par translation de vecteur Ti

Fonction paireFonction impaire

Fonction T-périodique9782340-038479_Zabban_Ch05.indd 15324/04/2020 09:16:05

Que faire ?

Afin d'étudier la parité d'une fonction f, calculer fx et comparer l"expression obtenue à fx ou fx.

EXEMPLE 1. La fonction définie sur par

3 2² 5fx x x est paire

puisque pour tout réel x, 42
4

3 2 5 3 2² 5 .f x x x x x fx

EXEMPLE 2. La fonction définie sur

par 3 3

4fx x x

x est impaire puisque pour tout x de 3 3 33

4 4.f xx x x x fx

xx Afin d'étudier la périodicité d'une fonction f, se faire d"abord une idée de l"éventuelle période T à l'aide de la calculatrice graphique, puis calculer l'expression fx T et la comparer à fx. EXEMPLE 3. La fonction définie sur par cos sin 2cos 2fx x x x est x, cos sin 2cos 2 cos sin 2cos 2 2 cos sin 2cos 2 . fx x xx fxx x x fx x x x fx Il est possible de réduire l'intervalle d'étude d'une fonction : si elle est paire (ou impaire), il suffit de l'étudier sur 0;. Les varia- tions sur ;0 se retrouvent alors par symétrie. si elle est périodique de période T, il suffit de l'étudier sur un intervalle de longueur T, par exemple 0;T ou ; 22
TT si elle est à la fois périodique de période T et paire (ou impaire), il suffit de l'étudier sur l'intervalle 0; 2 T . Les variations sur ;0 2 T se retrouvent par symétrie puis la périodicité fait le reste. Afin d'étudier les variations d'une fonction, procéder comme d'habitude :

Calculer la dérivée

Étudier le signe de cette dérivée, pour cela, après avoir éventuellement factorisé l'expression, étudier le signe de chaque facteur en résolvant une équation et une inéquation comme expliqué dans le chapitre précédent.

9782340-038479_Zabban_Ch05.indd 15401/04/2020 14:54:25

18. Étudier une fonction trigonométrique

Conseils

Utiliser sa calculatrice graphique afin de se faire une idée sur la parité, sur la périodicité ou sur les variations de la fonction, on pensera préalablement à régler la calculatrice en mode radian. Pour le calcul de fx ou de fx T, attention à bien remplacer x par x ou par xT sans oublier les parenthèses qui peuvent être parfois nécessaires. EXEMPLE 4. La fonction définie par cos 3fx x est périodique de période 2 3 puisque pour tout réel x, 22
cos 3cos 3 2 cos 3 . 33
fxxxx fx

Plus l'intervalle d'étude est petit, plus il est aisé d'étudier le signe de la dérivée.

L'étape la plus importante est l'étude du signe de la dérivée, justifier donc bien celle-ci en s'appuyant sur des cercles trigonométriques que l'on repré- sentera.

Exemple traité

Soit f la fonction définie sur par sin² 2cosfx x x .

1 Justifier pourquoi il suffit d'étudier les variations de f sur l'intervalle 0; .

2 Étudier les variations de f sur 0; puis dresser son tableau de variations.

3 Représenter graphiquement

C dans un repère orthogonal sur 2 ;2 .

SOLUTION

1 Pour cela, étudions la parité et la périodicité de f.

La fonction f est paire car pour tout réel x,

22
2 sin 2cos sin 2cos sin 2cos . fx x x x x f x x x fx Elle est également périodique de période 2 car pour tout réel x, 2 2

2 sin 2 2cos 2

2 sin 2cos .

fxxx fx x x fx

9782340-038479_Zabban_Ch05.indd 15501/04/2020 14:54:25

Étant 2-périodique, on peut l"étudier sur un intervalle de longueur 2 comme ; . Enfin, la parité de permet donc de l'étudier sur 0;.

2 La fonction est dérivable sur comme somme et produit de fonctions

dérivables. De plus, 2

2 avec sin et cos .

Enfin, puisque

1 on a 1

2 cos sin 2 sin

2cos sin 2sin

sin 2cos 2 .

Étudions le signe de chaque facteur.

D'après le cercle trigonométrique, il est clair que dans l'intervalle 0;, sinsin 0 sur 0;. Pour étudier le signe de 2cos 2, il suffit de résoudre l"équation et l"iné- quation suivantes : 3

2 , où

4 2

2cos 2 0 cosou

2 3

2 , où '

Dans l'intervalle 0 ; , il n'y a que la solution

3 4 , obtenue par 0. 2

2cos 2 0 cos

2 33

2 2 , où

2c s 2 0

4 o

Ainsi, dans l'intervalle 0;, on a

2cos 2 0 0

4 , obtenu par 0.

9782340-038479_Zabban_Ch05.indd 15624/04/2020 09:16:31

18. Étudier une fonction trigonométrique

On peut alors dresser le tableau de signes suivant : 03/4 sin 00

2 cos 2

0 000 On en déduit alors le tableau de variations de : 03/4 000 1,5 22
2 2 2 2

0 sin0 2cos0 0 2 1 2

3 33 22 223

sin2cos2

4 44 22 422

sin 2cos 0 2 1 2. Exercrxx 18.1 Soit la fonction définie sur par sin 4 .

1 Étudier la parité de puis montrer que est périodique de période

2 Étudier les variations de sur 0;

4 puis dresser son tableau de variations.

3 Représenter graphiquement

C dans un repère orthogonal sur ; .

9782340-038479_Zabban_Ch05.indd 15724/04/2020 09:18:31

Exercrxx 18.2 Soit f la fonction définie sur par sin cosfx x x.

1 Justifier pourquoi il suffit d'étudier les variations de f sur l'intervalle 0; .

2 Étudier les variations de f sur 0;

2 puis dresser son tableau de variations.

3 Représenter graphiquement

C dans un repère orthogonal sur ; .

Exercrxx 18.3 Soit f la fonction définie sur par 3

4sin 3cosfx x x .

1 Justifier que f n'est ni paire ni impaire.

2 Justifier que f est 2-périodique.

3 En admettant que pour tous réels a et b,

sin sin cos sin cos ,ab a b b a montrer que pour tout réel x,

3sin 2sin 2 1fx x x.

4 Étudier les variations de f sur ; puis dresser son tableau de variations.

5 Représenter graphiquement

C dans un repère orthogonal sur 2 ;2 .

Pour vous aider à démarrer

Exercrxx 18.1 1 Pour tout réel X, sin sinXX

et sin 2 sin .XX

2 sin cosuuu

Exercrxx 18.2 1 Pour tout réel x, sinsinxx

et coscosxx .

2 'uv u v uv

puis utiliser l'égalité cos² sin² 1xx afin de faire apparaître, par exemple, uniquement du cos² .x Exercrxx 18.3 1 Un contre-exemple suffit : choisir un réel x pour lequel f x fx et un réel x pour lequel f x fx . 3 1nn u nu u avec sinux x.

Enfin, on pourra factoriser fx puis poser abx .

4 Étudier le signe de chaque facteur de fx.

9782340-038479_Zabban_Ch05.indd 15801/04/2020 14:54:26

18. Étudier une fonction trigonométrique159

Solutions

Solutions des exercices

XERCICEE 18.1

1 La fonction f est impaire car pour tout réel x, sin 4 sin 4 sin 4 .f x x x x fx

Elle est également périodique de période

2 car pour tout réel x,quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

[PDF] pfeq fpt

[PDF] pfae

[PDF] égalité politique définition

[PDF] circulaire sur la féminisation des noms de métiers

[PDF] guide de l'encadrement et de l'encadrant dans la fonction publique

[PDF] livret de suivi de stage efb

[PDF] personne qui ne sait pas écrire

[PDF] livret de suivi des stages efb 2017-2018

[PDF] comment s'appelle une personne qui ne sait pas écrire

[PDF] doit on se confier aux autres

[PDF] calendrier efb 2017 2018

[PDF] ne pas savoir ecrire

[PDF] élève avocat statut étudiant

[PDF] sujet de conversation avec une fille sur facebook pdf

[PDF] 7 sujets de conversation pour captiver une fille pdf

[PDF] Étudier une fonction trigonométrique

Comment déterminer la périodicité d'une fonction ?

Comment montrer qu'une fonction trigonométrique est periodique ?

Comment montrer que la fonction sinus est periodique ?

18. Étudier une fonction trigonométrique153

Étudier une fonction

Fonction paireFonction impaire

Que faire ?

EXEMPLE 1. La fonction définie sur par

3 2² 5fx x x est paire

3 2 5 3 2² 5 .f x x x x x fx

EXEMPLE 2. La fonction définie sur

4fx x x

4 4.f xx x x x fx

Calculer la dérivée

9782340-038479_Zabban_Ch05.indd 15401/04/2020 14:54:25

18. Étudier une fonction trigonométrique

Conseils

Exemple traité

1 Justifier pourquoi il suffit d'étudier les variations de f sur l'intervalle 0; .

2 Étudier les variations de f sur 0; puis dresser son tableau de variations.

3 Représenter graphiquement

C dans un repère orthogonal sur 2 ;2 .

SOLUTION

1 Pour cela, étudions la parité et la périodicité de f.

La fonction f est paire car pour tout réel x,

2 sin 2 2cos 2

2 sin 2cos .

9782340-038479_Zabban_Ch05.indd 15501/04/2020 14:54:25

2 La fonction est dérivable sur comme somme et produit de fonctions

2 avec sin et cos .

Enfin, puisque

2 cos sin 2 sin

2cos sin 2sin

Étudions le signe de chaque facteur.

2 , où

2cos 2 0 cosou

2 , où '

Dans l'intervalle 0 ; , il n'y a que la solution

2cos 2 0 cos

2 2 , où

2c s 2 0

Ainsi, dans l'intervalle 0;, on a

2cos 2 0 0

9782340-038479_Zabban_Ch05.indd 15624/04/2020 09:16:31

18. Étudier une fonction trigonométrique

2 cos 2

0 sin0 2cos0 0 2 1 2

3 33 22 223

4 44 22 422

1 Étudier la parité de puis montrer que est périodique de période

2 Étudier les variations de sur 0;

3 Représenter graphiquement

C dans un repère orthogonal sur ; .

9782340-038479_Zabban_Ch05.indd 15724/04/2020 09:18:31

1 Justifier pourquoi il suffit d'étudier les variations de f sur l'intervalle 0; .

2 Étudier les variations de f sur 0;

3 Représenter graphiquement

C dans un repère orthogonal sur ; .

4sin 3cosfx x x .

1 Justifier que f n'est ni paire ni impaire.

2 Justifier que f est 2-périodique.

3 En admettant que pour tous réels a et b,

3sin 2sin 2 1fx x x.

4 Étudier les variations de f sur ; puis dresser son tableau de variations.

5 Représenter graphiquement

C dans un repère orthogonal sur 2 ;2 .

Pour vous aider à démarrer

Exercrxx 18.1 1 Pour tout réel X, sin sinXX

2 sin cosuuu

Exercrxx 18.2 1 Pour tout réel x, sinsinxx

2 'uv u v uv

Enfin, on pourra factoriser fx puis poser abx .

4 Étudier le signe de chaque facteur de fx.

9782340-038479_Zabban_Ch05.indd 15801/04/2020 14:54:26

18. Étudier une fonction trigonométrique159

Solutions

Solutions des exercices

XERCICEE 18.1

Elle est également périodique de période