I. Parité et périodicité dune fonction
Fonctions trigonométriques. 2.1) Rappels et définitions. Dans un repère orthonormé (O ; I J ) du plan
FONCTIONS COSINUS ET SINUS
Méthode : Etudier la parité d'une fonction trigonométrique. Vidéo https On en déduit que la fonction f est périodique de période π . 3) Pour tout x de R ...
Étudier une fonction trigonométrique
Utiliser sa calculatrice graphique afin de se faire une idée sur la parité sur la périodicité ou sur les variations de la fonction
FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
- La fonction sinus est la fonction définie sur ℝ qui
Partie 1 : Fonctions cosinus et sinus
Méthode : Reconnaître graphiquement la parité et la périodicité d'une fonction Méthode : Étudier la parité d'une fonction trigonométrique. Vidéo https ...
Savoir ÉTUDIER UNE FONCTION TRIGONOMÉTRIQUE
C'est souvent une période 2π : on montre que f( x + 2π ) = f(x) en se servant de la 2π-périodicité des fonctions cos et sin . ○. Cela permet d'étudier la
TD n°4 de trigonométrie : équations et périodicité 1) Équations
Illustrer chacune de ces deux situations sur le cercle trigonométrique ci-contre. Traçons la courbe de H. On reconnaît bien une fonction de période 15π comme ...
Synthèse danalyse
. . . . . . . . . 82. 7.2.3 Période des principales fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . 82. 7.2.4 Trouver la période d'une fonction trigonométrique
7. Fonctions trigonométriques
En utilisant le cercle trigonométrique pouvez-vous expliquer la forme de cette courbe
( ) cos2
sin cos 2. f x x x. = × définie sur . Page 2. Fonctions trigonométriques. Exercices 4A Etude de la périodicité de la fonction f : soit p la période cherchée :.
I. Parité et périodicité dune fonction
On fait le lien entre les résultats obtenus en utilisant le cercle trigonométrique et les représentations graphiques des fonctions x a cos x et x a sin x . -AP-
FONCTIONS COSINUS ET SINUS
même point du cercle trigonométrique. Remarque : On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2? . Conséquence :.
Étudier une fonction trigonométrique
Utiliser sa calculatrice graphique afin de se faire une idée sur la parité sur la périodicité ou sur les variations de la fonction
Chapitre 6: Fonctions trigonométriques
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES. 97. 2Mstand/renf – JtJ 2019 b) Esquisser la fonction f définie par f (x) = ?. 1. 2 cos x + ?. ( ) puis préciser sa période
TD n°4 de trigonométrie : équations et périodicité 1) Équations
TD n°4 de trigonométrie : équations et périodicité. CORRECTION Retrouver sur la courbe de la fonction cos ci-dessous les solutions de cos x=1.
Partie 1 : Fonctions cosinus et sinus
TRIGONOMÉTRIE – Chapitre 3/3 2) Périodicité ... Définition : La période d'une fonction est l'intervalle pour lequel la courbe de la fonction se.
FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Remarque : On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2 . Conséquence : Pour tracer la courbe représentative de la fonction cosinus
Fonction Trigo
trigonométrique tel que IOM Quel que soit le réel x cos(x + 2?) = cos x ; On dit que la fonction cosinus est périodique de période 2?.
Trigonométrie
Il est très fréquent de trouver des fonctions périodiques dès lors que l'on travaille avec les fonctions Sinus et Cosinus. Néanmoins la période peut varier en
TRIGONOMÉTRIE (II) CORRECTION DES EXERCICES
ÉTUDES DE FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES Montrons que f est une fonction périodique de période 2?. ... Étudions la périodicité de la fonction g sur R.
[PDF] I Parité et périodicité dune fonction - Logamathsfr
du cercle trigonométrique Propriété 2 Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période T=2? – Pour tout x?? : cos(x+2?)=cosx
[PDF] FONCTIONS COSINUS ET SINUS - maths et tiques
À ce point on fait correspondre un point M sur le cercle trigonométrique On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2?
[PDF] FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES - maths et tiques
- La fonction sinus est la fonction définie sur ? qui à tout réel associe sin ( ) Fonction cosinus Fonction sinus 2) Périodicité Propriétés : 1) cos(
[PDF] Étudier une fonction trigonométrique
Utiliser sa calculatrice graphique afin de se faire une idée sur la parité sur la périodicité ou sur les variations de la fonction on pensera préalablement à
[PDF] TD n°4 de trigonométrie : équations et périodicité
a) Quelles sont les périodes des fonctions définies par F1(x)=sin(3 x+1) et F2 x =cos 5 x?3 ? En déduire la période de la fonction F définie par F x =
[PDF] Trigonométrie
Il est très fréquent de trouver des fonctions périodiques dès lors que l'on travaille avec les fonctions Sinus et Cosinus Néanmoins la période peut varier en
[PDF] Chapitre 6: Fonctions trigonométriques
Les fonctions trigonométriques sont définies à l'aide du cercle trigonométrique : Périodicité • La fonction sinus est périodique de période sin(? + )
[PDF] Chapitre 4 – Séries trigonométriques 1 Fonctions périodiques
Théor`eme : Soit f périodique et continue Ou bien f = Cte ou bien il existe une plus petite période T > 0 et toutes les périodes de f sont les nombres de
[PDF] 1 Fonctions périodiques - Licence de mathématiques Lyon 1
Definition 1 On appelle période d'une fonction f : R ? C tout nombre réel T Definition 4 On appelle série trigonométrique toute série de fonctions ?un
[PDF] TRIGONOMÉTRIE (II) CORRECTION DES EXERCICES
ÉTUDES DE FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES Montrons que f est une fonction périodique de période 2? Étudions la périodicité de la fonction g sur R
Comment déterminer la périodicité d'une fonction ?
Si f est une fonction paire ou impaire, alors il suffit de l'étudier sur R+?Df ou R??Df. Si f est une fonction périodique de période T, alors il suffit de l'étudier sur l'intersection de n'importe quel intervalle d'amplitude T avec Df.Comment montrer qu'une fonction trigonométrique est periodique ?
Les fonctions trigonométriques sont des fonctions périodiques. Une fonction f(x) est périodique s'il existe un nombre positif P (la période) tel que f(x±P)=f(x) f ( x ± P ) = f ( x ) pour toutes les valeurs de x dans le domaine de la fonction.Comment montrer que la fonction sinus est periodique ?
Une fonction f est périodique s'il existe un nombre réel positif p tel que, pour tout x et (x + p) du domaine de f, on a f(x + p) = f(x) ou f(x – p) = f(x). Les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente sont des fonctions périodiques.- En mathématiques, une fonction périodique est une fonction qui lorsqu'elle est appliquée à une variable, reprend la même valeur si on ajoute à cette variable une certaine quantité fixe appelée période.
CORRECTION
1)Équations trigonométriques
Rappels : Les équations trigonométriques élémentaires se ramènent à cosx=cos ou
sinx=sin, α étant un réel fixé.L'équation
L'équation
Illustrer chacune de ces deux situations sur le cercle trigonométrique ci-contre. En haut, on a mis les deux angles qui ont un même cosinus : ils sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Leurs valeurs principales sont donc opposées. On obtient toutes les valeurs possibles en ajoutant ou retranchant un nombre entier de fois2,
d'où la formule En bas, on a mis les deux angles qui on un même sinus : ils sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées, donc supplémentaires. Leurs valeurs principales sont donc égales à x et -x. On obtient toutes les valeurs possibles en ajoutant ou retranchant un nombre entier de fois2,
d'où la formule a) Première équation : cosx=1 2Écrire l'équation
cosx=12 sous la forme cosx=cos où α est un angle de [0;] à déterminer.
On sait que
cos3=1
2 (angle d'un triangle équilatéral),
donc l'équation cosx=12 s'écrit cosx=cos
3.
Déterminer ensuite l'expression générale des solutions de l'équation cosx=1 2 dans32k.
Déterminer enfin celles qui sont dans l'intervalle [0;12].
Dans cet intervalle, les valeurs qui conviennent sont :3 ;
32=7
3 ;
34=13
3 ;
36=19
3 ;
38=25
3 ;
310=31
3, et -π3+2π=5π
3 ; -π
3+4π=11π
3 ; -π
3+6π=17π
3 ;3+8π=23π
3 ; -π
3+10π=29π
3 ; -π
3+12π=35π
3.Mettons ces douze valeurs dans l'ordre :
3 ; 5
3 ; 7
3 ; 11
3 ; 13
3 ; 17
3 ; 19
3 ; 23
3 ; 25
3 ; 29
3 ; 31
3 ; 35
3. Retrouver sur la courbe de la fonction cos ci-dessous les solutions de cosx=12 sur cet intervalle.
Sur la courbe ci-dessous nous avons mis les douze valeurs trouvées dans l'intervalle, ainsi qu'une
supplémentaire avant (-3<0) et une après (37
312).
b) Deuxième équation sin2x=-32Écrire l'équation sin2x=-
32 sous la forme sin2x=sin où α est un angle de [-
2;
2] à déterminer.
Déterminer ensuite l'expression générale de 2x ; diviser par 2 (attention : diviser aussi le modulo) ;
conclure.On sait que
sin3=3
2 (angle d'un triangle équilatéral) et donc que sin-
3=-3
2.L'équation
sinX=-32 s'écrit sinX=sin-
3, ici on a sin2x=sin-
3.
Le cercle trigonométrique précédent nous montre cet angle de -3 en vert.
On en déduit que
32k ou 2x=--
32k=4
32k et, en divisant par 2 et en
6k ou x=2
3k.
Donner enfin les solutions qui sont dans l'intervalle [-2;2]. Dans cet intervalle, les valeurs qui conviennent sont :-6-=-7
6 ; -
6 ; -
6=5
6 ; -
62=11
6, et2
3-2=-4
3 ; 2
3-=-
3 ; 2
3 ; 2
3=5
3.Mettons ces huit valeurs dans l'ordre :
-43 ; -7
6 ; -
3 ; -
6 ; 2
3 ; 5
6 ; 5
3 ; 11
6.La courbe ci-dessous représente la fonction f : x sin 2x sur l'intervalle [-2;2].
On voit mieux les valeurs des solutions lorsque la grille est découpée en multiples de 6Retrouver les solutions de l'équation
sin2x=-32 sur cette courbe.
c) Troisième équation : sin3x=cos4-x
Déterminer, les solutions de l'équation
sin3x=cos4-x
Remplaçons le sinus par un cosinus comme indiqué, l'équation devient sin3x=cos2-3x=cos
4-x.
Déduisons-en que, selon l'équation élémentaire, 2-3x=±
4-x2k.
Cela conduit à, d'une part
2-3x=
4-x2k, soit -2x=-
42k. En divisant par
-2 on trouve x=8-k et en posant k'=-k, x=
8k'. Comme k et k' sont des entiers indéterminés, on peut
aussi bien noter cela x=8k.
D'autre part, on peut avoir
2-3x=-
4-x2k et donc -4x=-3
42k. En divisant par -4 et en
simplifiant, on trouve x=316k
2 (comme précédemment on a changé -k en k', puis k' en k).
Il y a donc deux familles de solutions : les unes se suivent tous les , les autres tous les
2.D'une part, il y a
8 ;
8=9
8 ;
82=17
8 ; etc.,
et d'autre part, il y a 316 ; 3
16
2=11
16 ; 3
162
2=19
16 ; 27
16 ; 35
16 ; etc.
Mettons ces valeurs dans l'ordre :
8 ; 3
16 ; 11
16 ; 9
8 ; 19
16 ; 27
16 ; 17
8 ;35
16 ; etc.Déterminer les solutions de cette équation dans l'intervalle ]
0;2].
Les deux dernières solutions sont en dehors de cet intervalle. Voyons ce que cela donne sur une représentation graphique : nous avons choisi de tracer la courbe d'équation y=sin3x-cos4-x, les solutions apparaissent alors comme les abscisses des points
d'intersection de cette courbe avec l'axe des abscisses. Pour plus de lisibilité, nous avons gradué l'axe des
abscisses en seizièmes de π. d) D'autres équations ➢Résoudre dans ℝ : cosx=sin5 ;
Remplaçons le sinus par un cosinus, l'équation devient cosx=cos2-
5. Déduisons-en que, selon
l'équation élémentaire, x=±2-
52k=±3
102k. Cela conduit à, d'une part
x=3102k, et
d'autre part x=-3102k. Nous avons donc d'une part 3
10, 3
102=23
10, 3
104=43
10, etc. et d'autre
part -310, -3
102=17
10, -3
104=37
10, etc. Il y a deux solutions par tour, entre 0 et 2 il n'y a que
3
10 et 17
10. ➢Résoudre dans ℝ : cos3x=sinx Remplaçons encore une fois le sinus par un cosinus, l'équation devient cos3x=cos2-x. On a donc
3x=±
2-x2k. Cela conduit à, d'une part
4x=
22k, et d'autre part 2x=-
22k. Nous
avons donc d'une part x=8k
2, et d'autre part x=-
4k.
Cela conduit à écrire les solutions
8,
8
2=5
8,
8=9
8,
83
2=13
8,
82=17
8 etc. et d'autre
part -4, -
4=3
4, -
42=7
4, etc.
Il y a 4+2=6 solutions par tour, entre 0 et
2 il y a
8,5
8, 9
8, 13
8, 3
4 et 7
4.Traçons la courbe de la fonction h : x
cos3x-sinx sur l'intervalle [0;2]. Faisons figurer les solutions de
l'équation sur cette courbe (en vert les quatre premières et en violet les deux dernières). ➢Résoudre dans ℝ : sin3x=cos2x Suivant le même principe, l'équation devient cos2-3x=cos2x. On a donc
2-3x=±2x2k. Cela
conduit à, d'une part -5x=-22k, et d'autre part -x=-
22k. Nous avons donc d'une part
x=10-2k
5, et d'autre part x=
22k. Remarquons
que x=10-2k
5 ou x=
102k'
5 revient au même,
puisque k ou k'=-k sont des entiers relatifs. Cela conduit à écrire les solutions 10,
102
5=5
10=
2,104
5=9
10,
106
5=13
10,
108
5=17
10, etc. et d'autre
part 2,
22=5
2, etc. Ces valeurs données par la 2ème
égalité sont redondantes (en double). Il n'y a donc que cinq solutions par tour (entre 0 et2) comme on peut le
voir sur cet extrait de la courbe d'équation y= sin3x-cos2x sur l'intervalle [0;2]. ➢Résoudre dans [0;2[ : sin2x=cosx-3
L'équation s'écrit cos
2-2x=cosx-
3. On a donc
2-2x=±x-
32k. Cela conduit à, d'une
part -3x=-2-
32k=-5
62k, et d'autre part
-x=-2
32k=-
62k. Nous avons donc d'une
part x=5182k'
3, et d'autre part
x=62k'.
Comme expliqué plus haut, on a écrit dans ces deux égalités, directement k'=-k. Cela conduit à écrire les trois solutions entre 0 et2 de la 1ère égalité : 5
18,5π
18+2π
3=17π
18 et 5π
18+4π
3=29π
18, la seule solution donnée
par la 2ème égalité est 6, elle n'est pas redondante, il y a
donc quatre solutions par tour comme on peut le voir sur cet extrait de la courbe d'équation
y=sin2x-cosx-3 sur l'intervalle [0;2] où la dernière solution est marquée en violet (c'est la plus
petite de l'intervalle). ➢Résoudre dans [0;2[ : sin3x3=sin2
3-x
Pour une fois, on va rester avec l'égalité des sinus. On a donc, soit 3x3=2
3-x2k, soit3x
3=-2
3-x2k. Cela se transforme en, soit
4x=
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