Exercices de mathématiques - Exo7
Indication pour l'exercice 3 △. Essayer avec X la matrice élémentaire Eij (des zéros partout sauf le coefficient 1 à la i-ème ligne et la j-ème colonne).
Exercices de mathématiques - Exo7
Démontrer que A est diagonalisable et déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telles A = PDP−1. 3. Donner en le justifiant mais sans
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Déterminer la matrice de f dans cette base S. Correction ▽. Vidéo □. [001093]. Exercice 10. Trouver toutes les matrices de
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7. Permuter les lignes et les colonnes pour faire apparaître une matrice triangulaire par blocs. Indication pour l'exercice 5 △. Développer par rapport à
[PDF] Exo7 - Exercices de mathématiques
( 1 x x 1. ) x ∈]−1
[PDF] Matrices - Exo7 - Cours de mathématiques
D'après les règles de calcul dans (α + β)ai j est égal à αai j + βai j qui est le terme général de la matrice αA+ βA. Mini-exercices. 1. Soient A = −7 2. 0
Exercices de mathématiques - Exo7
Déterminer les valeurs propres de M. 2. Montrer que M est diagonalisable. 3. Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage. 4
Exercices de mathématiques - Exo7
Le but de cette feuille d'exercices est d'apprendre les opérations sur les matrices : somme produit de matrices
Exercices de mathématiques - Exo7
Gauss en inversant la matrice des coefficients
Exercices de mathématiques - Exo7
matrice de ϕ dans la base {e1e2
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Exo7. Calculs sur les matrices. Corrections d'Arnaud Bodin. 1 Opérations sur les matrices. Exercice 1 Exercice 7 M antisymétrique ? I +M est inversible.
Matrices
Mini-exercices. 1. Si possible calculer l'inverse des matrices : 3 1. 7 2 2 ?3. ?5 4
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( 1 x x 1. ) x ?]?1
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Exo7. Matrice d'une application linéaire. Corrections d'Arnaud Bodin. Exercice 1. Soit R2 muni de la base canonique S = (ij).
Exercices de mathématiques - Exo7
Démontrer que A est diagonalisable et déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telles A = PDP?1. 3. Donner en le justifiant mais sans
Exercices de mathématiques - Exo7
Exo7. Tous les exercices. Table des matières. 1 100.01 Logique. 13. 2 100.02 Ensemble Exercice 842 Inversion de la matrice (1/(ai ?bj)).
Exercices de mathématiques - Exo7
Montrer que A et B n'ont pas de valeurs propres communes si et seulement si la matrice ?A(B) est inversible. Correction ?. [005678]. Exercice 29 **. Soit f un
Exercices de mathématiques - Exo7
Déterminer les valeurs propres de M. 2. Montrer que M est diagonalisable. 3. Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage. 4
Cours de mathématiques - Exo7
La décomposition de Dunford : écrire une matrice comme la somme d'une matrice diagonali- N est nilpotente et ?N = N? (c'est un bon exercice de le.
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 1. 1. Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution par la méthode du pivot de Gauss
[PDF] Calculs sur les matrices - Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 7 M antisymétrique ? I +M est inversible Soit M ? Mn(R) antisymétrique 1 Montrer que I +M est inversible (si (I +M)X = 0 calculer t(MX)(MX))
[PDF] Matrices - Exo7 - Exercices de mathématiques
Montrer que u est un automorphisme de R3 et déterminer u?1 2 Déterminer une base (e1e2e3) de R3 telle que u(e1) = e1 u(e2) = e1 +e2 et u(e3) = e2 +e3
[PDF] Matrice dune application linéaire - Exo7
Exercice 2 Soient trois vecteurs e1e2e3 formant une base de R3 On note ? l'application linéaire définie par ?(e1) = e3 ?(e2) = ?e1 +e2 +e3 et
[PDF] Calcul matriciel - Exo7 - Exercices de mathématiques
Le but de cette feuille d'exercices est d'apprendre les opérations sur les matrices : somme produit de matrices transposée puissances d'une matrice
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Exercice 8 Soit A une matrice carrée d'ordre n On suppose que A est inversible et que ? ? R est une valeur propre de A 1 Démontrer que ? = 0
[PDF] Matrices - Exo7 - Cours de mathématiques
Définition 1 • Une matrice A est un tableau rectangulaire d'éléments de • Elle est dite de taille n × p si le tableau possède n lignes et p colonnes
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Exercice 5 Soit A la matrice suivante A = (1 1 2 1 ) 1 Calculer le polynôme caractéristique et déterminer les valeurs propres de A
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Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 7 Déterminant de Vandermonde La règle de Sarrus ne s'applique qu'aux matrices 3×3
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Exercice 5 Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s'impose : ? ? ? 1 x ? R x2 = 4 x = 2 ; 2 z ? C z = z
[PDF] Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices
Exercice 12 – Soit A et B deux matrices carrées de même ordre on suppose que la matrice AB est inversible d'inverse la matrice C Montrer alors que B est
Comment faire le calcul de matrice ?
Imaginons que l'on note C la matrice A x B : C = A x B. Le coefficient ci,j de la matrice C sera calculé en multipliant le ième ligne de la matrice de gauche avec la jème colonne de la matrice de droite. On multiplie tout simplement terme à terme chaque coefficient de la ligne et de la colonne.Où trouver les corrigés sur Maths PDF ?
Maths-pdf.fr est un site web qui propose une large gamme de documents PDF gratuits et téléchargeables consacrés aux mathématiques. Le site propose des fiches de cours, des exercices, des corrigés, des annales et des livres de mathématiques pour les élèves de tous les niveaux, de l'école primaire au lycée en France.Comment déterminer une matrice dans une base canonique ?
Trouver la matrice de f dans la base canonique pour l'espace de départ et la base b pour l'espace de arrivée. Solution : V(x, y, z) ? R3, (x, y, z) = c1(1,2,0) + c2(0,1,-1) + c3(0,1,1) ? c1 = x, c2 = y - 2x - z 2 ,c3 = y - 2x + z 2 .- Définition 1.
Une matrice A est un tableau rectangulaire d'éléments de . Elle est dite de taille n × p si le tableau poss? n lignes et p colonnes. Les nombres du tableau sont appelés les coefficients de A. Le coefficient situé à la i-ème ligne et à la j-ème colonne est noté ai,j.
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Exo7 Calculs sur les matrices
Corrections d"Arnaud Bodin.
1 Opérations sur les matrices
Exercice 1Effectuer le produit des matrices :
2 1 3 2 11 1 2 1 2 0 3 1 4 0 @11 0 1 412 1 21
A0 @a b c c b a1 1 11
A 0 @1a c 1b b 1c a1 A H???Exercice 2SoitA(q) =cosqsinq
sinqcosq pourq2R. CalculerA(q)A(q0)etA(q)npourn>1. HH???Exercice 3 SoientAetB2Mn(R)telles que8X2Mn(R), tr(AX) =tr(BX). Montrer queA=B. HH???Exercice 4 Que peut-on dire d"une matriceA2Mn(R)qui vérifie tr(AtA) =0 ? HH???2 Inverse Exercice 5Calculer (s"il existe) l"inverse des matrices : a b c d 0 @1 2 1 1 21 2211A0 @1¯a¯a2 a1¯a a 2a11 A (a2C)0 B
B@0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 01
C CA 0 BBBBBB@1 1 1
0 1 0 1 1 00 11 CCCCCCA0
BBBBBBB@1 2 3n
0 1 2...
... 0 1 2 00 11 CCCCCCCA
1 H???Exercice 6SoitA=0
@1 0 2 01 1 12 01 A . CalculerA3A. En déduire queAest inversible puis déterminerA1.HH???Exercice 7Mantisymétrique)I+Mest inversibleSoitM2Mn(R)antisymétrique.
1. Montrer que I+Mest inversible (si(I+M)X=0, calculert(MX)(MX)). 2.Soit A= (IM)(I+M)1. Montrer quetA=A1.
HH???Exercice 8A= (ai;j)2Mn(R)telle que :
8i=1;:::;njai;ij>å
j6=i ai;j:Montrer queAest inversible.
HH???2Indication pourl"exer cice2 NIl faut connaître les formules de cos(q+q0)et sin(q+q0).Indication pourl"exer cice3 NEssayer avecXla matrice élémentaireEij(des zéros partout sauf le coefficient 1 à lai-ème ligne et laj-ème
colonne).Indication pourl"exer cice4 NAppliquer la formule du produit pour calculer les coefficients diagonaux deAtAIndication pourl"exer cice6 NUne fois que l"on a calculéA2etA3on peut en déduireA1sans calculs.Indication pourl"exer cice7 NMantisymétrique signifietM=M.
1. Si Yest un vecteur alorstYY=kYk2est un réel positif ou nul.2.IMet(I+M)1commutent.Indication pourl"exer cice8 NPrendre un vecteurX=0
B @x 1... x n1 C Atel queAX=0, considérer le rangi0teljxi0j=maxjxij ji=1;:::;n.3Correction del"exer cice1 NSiC=ABalors on obtient le coefficientcij(situé à lai-ème ligne et laj-ème colonne deC) en effectuant le
produit scalaire dui-ème vecteur-ligne deAavec lej-éme vecteur colonne deB.On trouve
2 1 3 2 11 1 2 =3 0 5 1 1 2 0 3 1 4 0 @11 0 1 412 1 21
A =1 72 6 5 7 0 @a b c c b a1 1 11
A 0 @1a c 1b b 1c a1 A =0 @a+b+c a2+b2+c22ac+b2 a+b+c2ac+b2a2+b2+c23a+b+c a+b+c1
ACorrection del"exer cice2 NA(q)A(q0) =cosqsinq
sinqcosq cosq0sinq0 sinq0cosq0 cosqcosq0sinqsinq0cosqsinq0sinqcosq0 sinqcosq0+cosqsinq0sinqsinq0+cosqcosq0 cos(q+q0)sin(q+q0) sin(q+q0)cos(q+q0) =A(q+q0)Bilan :A(q)A(q0) =A(q+q0).
Nous allons montrer par récurrence surn>1 queA(q)n=A(nq).C"est bien sûr vrai pour n=1.
Fixons n>1 et supposons queA(q)n=A(nq)alors
A(q)n+1=A(q)nA(q) =A(nq)A(q) =A(nq+q) =A((n+1)q)
C"est donc vrai pour tout n>1.
Remarques :
On aurait aussi la formule A(q0)A(q) =A(q+q0) =A(q)A(q0). Les matricesA(q)etA(q0) commutent. En f aitil n"est pas plus dif ficilede montrer queA(q)1=A(q). On sait aussi que par définitionA(q)0=I. Et on en déduit que pourn2Zon aA(q)n=A(nq).
En ter megéométrique A(q)est la matrice de la rotation d"angleq(centrée à l"origine). On vient de
montrer que si l"on compose un rotation d"angleqavec un rotation d"angleq0alors on obtient unerotation d"angleq+q0.Correction del"exer cice3 NNotonsEijla matrice élémentaire (des zéros partout sauf le coefficient 1 à lai-ème ligne et laj-ème colonne).
4SoitA= (aij)2Mn(R). Alors
AEij=0
BBBBBBBB@0 00a1i0
0 00a2i0
0 00aji0
0 00ani01
CCCCCCCCA
La seule colonne non nulle est laj-ème colonne.La trace est la somme des éléments sur la diagonale. Ici le seul élément non nul de la diagonale estaji, on en
déduit donc tr(AEij) =aji (attention à l"inversion des indices). Maintenant prenons deux matricesA;Btelles que tr(AX) =tr(BX)pour toute matriceX. Alors pourX=Eijon en déduitaji=bji. On fait ceci pour toutes les matrices élémentairesEijavec 16i;j6nce qui implique
A=B.Correction del"exer cice4 NNotonsA= (aij), notonsB=tAsi les coefficients sontB= (bij)alors par définition de la transposée on a
b ij=aji.Ensuite notonsC=ABalors par définition du produit de matrices le coefficientscijdeCs"obtient par la
formule : c ij=nå k=1a ikbkj:Appliquons ceci avecB=tA
c ij=nå k=1a ikbkj=nå k=1a ikajk: Et pour un coefficient de la diagonale on ai=jdonc c ii=nå k=1a2ik:quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3[PDF] guide de bonnes pratiques d'hygiène en pâtisserie
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