[PDF] [PDF] Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices





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Exercices de mathématiques - Exo7

Indication pour l'exercice 3 △. Essayer avec X la matrice élémentaire Eij (des zéros partout sauf le coefficient 1 à la i-ème ligne et la j-ème colonne).



Exercices de mathématiques - Exo7

Démontrer que A est diagonalisable et déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telles A = PDP−1. 3. Donner en le justifiant mais sans 



Exercices de mathématiques - Exo7

Déterminer la matrice de f dans cette base S. Correction ▽. Vidéo □. [001093]. Exercice 10. Trouver toutes les matrices de 



Exercices de mathématiques - Exo7

7. Permuter les lignes et les colonnes pour faire apparaître une matrice triangulaire par blocs. Indication pour l'exercice 5 △. Développer par rapport à 





[PDF] Matrices - Exo7 - Cours de mathématiques

D'après les règles de calcul dans (α + β)ai j est égal à αai j + βai j qui est le terme général de la matrice αA+ βA. Mini-exercices. 1. Soient A = −7 2. 0 



Exercices de mathématiques - Exo7

Déterminer les valeurs propres de M. 2. Montrer que M est diagonalisable. 3. Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage. 4 



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Le but de cette feuille d'exercices est d'apprendre les opérations sur les matrices : somme produit de matrices



Exercices de mathématiques - Exo7

Gauss en inversant la matrice des coefficients



Exercices de mathématiques - Exo7

matrice de ϕ dans la base {e1e2



Exercices de mathématiques - Exo7

Exo7. Calculs sur les matrices. Corrections d'Arnaud Bodin. 1 Opérations sur les matrices. Exercice 1 Exercice 7 M antisymétrique ? I +M est inversible.



Matrices

Mini-exercices. 1. Si possible calculer l'inverse des matrices : 3 1. 7 2 2 ?3. ?5 4 





Exercices de mathématiques - Exo7

Exo7. Matrice d'une application linéaire. Corrections d'Arnaud Bodin. Exercice 1. Soit R2 muni de la base canonique S = (ij).



Exercices de mathématiques - Exo7

Démontrer que A est diagonalisable et déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telles A = PDP?1. 3. Donner en le justifiant mais sans 



Exercices de mathématiques - Exo7

Exo7. Tous les exercices. Table des matières. 1 100.01 Logique. 13. 2 100.02 Ensemble Exercice 842 Inversion de la matrice (1/(ai ?bj)).



Exercices de mathématiques - Exo7

Montrer que A et B n'ont pas de valeurs propres communes si et seulement si la matrice ?A(B) est inversible. Correction ?. [005678]. Exercice 29 **. Soit f un 



Exercices de mathématiques - Exo7

Déterminer les valeurs propres de M. 2. Montrer que M est diagonalisable. 3. Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage. 4 



Cours de mathématiques - Exo7

La décomposition de Dunford : écrire une matrice comme la somme d'une matrice diagonali- N est nilpotente et ?N = N? (c'est un bon exercice de le.



Exercices de mathématiques - Exo7

Exercice 1. 1. Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution par la méthode du pivot de Gauss



[PDF] Calculs sur les matrices - Exo7 - Exercices de mathématiques

Exercice 7 M antisymétrique ? I +M est inversible Soit M ? Mn(R) antisymétrique 1 Montrer que I +M est inversible (si (I +M)X = 0 calculer t(MX)(MX))



[PDF] Matrices - Exo7 - Exercices de mathématiques

Montrer que u est un automorphisme de R3 et déterminer u?1 2 Déterminer une base (e1e2e3) de R3 telle que u(e1) = e1 u(e2) = e1 +e2 et u(e3) = e2 +e3



[PDF] Matrice dune application linéaire - Exo7

Exercice 2 Soient trois vecteurs e1e2e3 formant une base de R3 On note ? l'application linéaire définie par ?(e1) = e3 ?(e2) = ?e1 +e2 +e3 et 



[PDF] Calcul matriciel - Exo7 - Exercices de mathématiques

Le but de cette feuille d'exercices est d'apprendre les opérations sur les matrices : somme produit de matrices transposée puissances d'une matrice 



[PDF] fic00054pdf - Exo7 - Exercices de mathématiques

Exercice 8 Soit A une matrice carrée d'ordre n On suppose que A est inversible et que ? ? R est une valeur propre de A 1 Démontrer que ? = 0



[PDF] Matrices - Exo7 - Cours de mathématiques

Définition 1 • Une matrice A est un tableau rectangulaire d'éléments de • Elle est dite de taille n × p si le tableau possède n lignes et p colonnes



[PDF] fic00056pdf - Exo7 - Exercices de mathématiques

Exercice 5 Soit A la matrice suivante A = (1 1 2 1 ) 1 Calculer le polynôme caractéristique et déterminer les valeurs propres de A



[PDF] Calculs de déterminants - Exo7 - Exercices de mathématiques

Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 7 Déterminant de Vandermonde La règle de Sarrus ne s'applique qu'aux matrices 3×3



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Exercice 5 Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s'impose : ? ? ? 1 x ? R x2 = 4 x = 2 ; 2 z ? C z = z 



[PDF] Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices

Exercice 12 – Soit A et B deux matrices carrées de même ordre on suppose que la matrice AB est inversible d'inverse la matrice C Montrer alors que B est 

  • Comment faire le calcul de matrice ?

    Imaginons que l'on note C la matrice A x B : C = A x B. Le coefficient ci,j de la matrice C sera calculé en multipliant le ième ligne de la matrice de gauche avec la jème colonne de la matrice de droite. On multiplie tout simplement terme à terme chaque coefficient de la ligne et de la colonne.

  • Où trouver les corrigés sur Maths PDF ?

    Maths-pdf.fr est un site web qui propose une large gamme de documents PDF gratuits et téléchargeables consacrés aux mathématiques. Le site propose des fiches de cours, des exercices, des corrigés, des annales et des livres de mathématiques pour les élèves de tous les niveaux, de l'école primaire au lycée en France.

  • Comment déterminer une matrice dans une base canonique ?

    Trouver la matrice de f dans la base canonique pour l'espace de départ et la base b pour l'espace de arrivée. Solution : V(x, y, z) ? R3, (x, y, z) = c1(1,2,0) + c2(0,1,-1) + c3(0,1,1) ? c1 = x, c2 = y - 2x - z 2 ,c3 = y - 2x + z 2 .
  • Définition 1.
    Une matrice A est un tableau rectangulaire d'éléments de . Elle est dite de taille n × p si le tableau poss? n lignes et p colonnes. Les nombres du tableau sont appelés les coefficients de A. Le coefficient situé à la i-ème ligne et à la j-ème colonne est noté ai,j.

Exercices Corriges

Matrices

Exercice 1{Considerons les matrices a coecients reels :

A= 2 1

2 1! ; B= 1 2 24!
C=0 B @1 1 2 1 0 1 11 01 C

A; D=0

B @11 1 1 0 1

0 1 01

C

A; E= 11 1

1 0 1!

Si elles ont un sens, calculer les matricesAB,BA,CD,DC,AE,CE.

Exercice 2{(extrait partiel novembre 2011)

On considere les matrices a coecients reels :

A= 1 1

1 1!

B= 431

2 1 1!

C= 1 2

12! Calculer, s'ils ont un sens, les produitsAB;BA;AC;CA;B2. Exercice 3{On considere les matrices a coecients reels :

A= 1 3

2 4!

B= 431

2 1 1!

C= 43 2 1!

1) Calculer s'ils ont un sens les produitsAB;BA;AC;CA;BC;CB;B2.

2) En deduire, sans plus de calcul, queAetCsont inversibles et preciser leurs inverses.

Exercice 4{SoitAla matrice deM2(R) etBla matrice deM2;3(R) denies par :

A= 4 3

1 1! ; B= 1 0 2 1 11! Si elles ont un sens, calculer les matricesAB,BA,A2,B2etA+ 2Id2.

Exercice 5{SoitA;B;Cles matrices :

A= 22 0

4 22!

2M2;3(R); B=0

B @1 1 1 2 131
C

A2M3;2(R); C= 11

1 2!

2M2;2(R)

Determiner les produits denis 2 a 2 de ces trois matrices. Exercice 6{Ti;j() etant la matrice elementaire qui correspond a ajouter a la ligneile produit parde la ligne j, preciser la matriceT2;1(12 ) deM2;2(R), puis la matriceT1;2(2)T2;1(12 1 Exercice 7{1) Preciser les matrices elementaires deM3;3(R) : D

2(2); T3;2(3); T2;1(2):

2) Calculer la matriceA=T3;2(3)D2(2)T2;1(2).

3) DonnerA1sous forme de produit de matrices elementaires. Puis, calculerA1.

Exercice 8{Appliquer avec precision aux matricesMetNsuivantes l'algorithme du cours qui determine si une matrice est inversible et donne dans ce cas son inverse : M= 23 11!

2M2;2(R)et N= 23

46!

2M2;2(R):

Exercice 9{(extrait partiel novembre 2011)

1) En utilisant l'algorithme du cours, montrer que la matrice suivante est inversible et preciser

son inverse :

A= 1 2

3 4!

2) Puis, donner une expression deA1et deAcomme produit de matrices elementaires.

Exercice 10{1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice : M= 11 23!

2M2;2(R):

2 ) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.

Exercice 11{) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice :

M= 2 1

3 2!

2M2;2(R):

Preciser une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires. Exercice 12{SoitAetBdeux matrices carrees de m^eme ordre, on suppose que la matrice ABest inversible d'inverse la matriceC. Montrer alors queBest inversible et preciserA1.

Exercice 13{(extrait partiel novembre 2011)

SoitXetYdeux matrices carrees non nulles de m^eme taille a coecients reels, montrer que siXY= 0, les matricesXetYne sont pas inversibles.

Exercice 14{SoitM=0

B @2 4 1 2 5 1

1 2 11

C A.

1) Montrer en appliquant les algorithmes du cours queMest inversible. Preciser la matrice

M

1ainsi que la decomposition deM1comme produit de matrices elementaires.

2

2) En deduire une decomposition deMcomme produit de matrices elementaires.

3) Montrer que nous avons aussiM=T2;3(1)T1;3(1)T3;1(1)T2;1(1)T1;2(2).

4) En deduire une deuxieme expression deM1comme produit de matrices elementaires.

5) Calculer det(M) et retrouver la valeur deM1en utilisant la formule d'inversion donnee

dans le cours.

Exercice 15{(extrait partiel novembre 2009)

1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour determiner l'inverseM1de la matrice :

M=0 B @1 2 3 0 1 2

0 4 61

C

A2M3;3(R):

Quelle est la valeur deM1?

2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.

3) Deduire de la question 1 une matriceXdeM3;3(R)telle que :

2XM=0 B @1 0 0 0 1 0 02 11 C A: Exercice 16{1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour determiner l'inverse M

1de la matrice :

M=0 B @1 2 3 0 1 1

0 2 31

C

A2M3;3(R):

2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.

3) Verier le calcul en eectuant les calculs des matricesMM1etM1M.

Exercice 17{SoitMla matrice deM3(R) denie par :

M=0 B @1 01 2 3 4

0 1 11

C A:

1) Calculer le determinant deM, sa comatrice et l'inverse deM.

2) Determiner l'inverse deMsous forme de produit de matrices elementaires. EcrireMcomme

produit de matrices elementaires.

3) Resoudre a l'aide de l'inverse deMle systeme suivant oumest un reel xe :

(m)2 6 4x 1x3=m

2x1+ 3x2+ 4x3= 1

+x2+x3= 2m: 3

Correction de l'exercice 1 :

Le lecteur veriera que :

AB= 0 0

0 0! ; BA= 6 3 126!
CD=0 B @0 1 2 1 0 1 21 01
C

A; DC=0

B @123 2 0 2

1 0 11

C

A; AE= 12 3

12 3! Le produitCEn'a pas de sens car la taille des colonnes (a savoir 2) deEest dierent de la taille des lignes (a savoir 3) deC.

Correction de l'exercice 2 :

On trouve :

AB= 22 0

22 0!

AC= 0 0

2 0!

CA= 3 3

33!

Les deux autres produitsB2etBAn'ont pas de sens.

Correction de l'exercice 3 :

1)

AB= 2 0 2

02 2! BAn'a pas de sens car la taille des lignes deBn'est pas egale a celle des colonnes deA.

AC= 2 0

02! =2Id2:

CA= 2 0

02! =2Id2:

CB= 22157

10 7 3!

BCn'a pas de sens car la taille des lignes de deBn'est pas egale a celle des colonnes deC. B

2n'a pas de sens car la taille des lignes de deBn'est pas egale a celle des colonnes deB.

2) Nous avons :AC=CA=2Id2, nous en deduisons :

A(12

C) = (12

C)A= Id2:

Il en resulte que la matriceAest inversible, d'inverse : A 1=12

C= 232

112
4

De m^eme :

(12

A)C=C(12

A) = Id2:

Il en resulte que la matriceCest inversible, d'inverse :quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7
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