Exercices de mathématiques - Exo7
Indication pour l'exercice 3 △. Essayer avec X la matrice élémentaire Eij (des zéros partout sauf le coefficient 1 à la i-ème ligne et la j-ème colonne).
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Démontrer que A est diagonalisable et déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telles A = PDP−1. 3. Donner en le justifiant mais sans
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Déterminer la matrice de f dans cette base S. Correction ▽. Vidéo □. [001093]. Exercice 10. Trouver toutes les matrices de
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7. Permuter les lignes et les colonnes pour faire apparaître une matrice triangulaire par blocs. Indication pour l'exercice 5 △. Développer par rapport à
[PDF] Exo7 - Exercices de mathématiques
( 1 x x 1. ) x ∈]−1
[PDF] Matrices - Exo7 - Cours de mathématiques
D'après les règles de calcul dans (α + β)ai j est égal à αai j + βai j qui est le terme général de la matrice αA+ βA. Mini-exercices. 1. Soient A = −7 2. 0
Exercices de mathématiques - Exo7
Déterminer les valeurs propres de M. 2. Montrer que M est diagonalisable. 3. Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage. 4
Exercices de mathématiques - Exo7
Le but de cette feuille d'exercices est d'apprendre les opérations sur les matrices : somme produit de matrices
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Gauss en inversant la matrice des coefficients
Exercices de mathématiques - Exo7
matrice de ϕ dans la base {e1e2
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Exo7. Calculs sur les matrices. Corrections d'Arnaud Bodin. 1 Opérations sur les matrices. Exercice 1 Exercice 7 M antisymétrique ? I +M est inversible.
Matrices
Mini-exercices. 1. Si possible calculer l'inverse des matrices : 3 1. 7 2 2 ?3. ?5 4
Exercices de mathématiques - Exo7
( 1 x x 1. ) x ?]?1
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Exo7. Matrice d'une application linéaire. Corrections d'Arnaud Bodin. Exercice 1. Soit R2 muni de la base canonique S = (ij).
Exercices de mathématiques - Exo7
Démontrer que A est diagonalisable et déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telles A = PDP?1. 3. Donner en le justifiant mais sans
Exercices de mathématiques - Exo7
Exo7. Tous les exercices. Table des matières. 1 100.01 Logique. 13. 2 100.02 Ensemble Exercice 842 Inversion de la matrice (1/(ai ?bj)).
Exercices de mathématiques - Exo7
Montrer que A et B n'ont pas de valeurs propres communes si et seulement si la matrice ?A(B) est inversible. Correction ?. [005678]. Exercice 29 **. Soit f un
Exercices de mathématiques - Exo7
Déterminer les valeurs propres de M. 2. Montrer que M est diagonalisable. 3. Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage. 4
Cours de mathématiques - Exo7
La décomposition de Dunford : écrire une matrice comme la somme d'une matrice diagonali- N est nilpotente et ?N = N? (c'est un bon exercice de le.
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 1. 1. Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution par la méthode du pivot de Gauss
[PDF] Calculs sur les matrices - Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 7 M antisymétrique ? I +M est inversible Soit M ? Mn(R) antisymétrique 1 Montrer que I +M est inversible (si (I +M)X = 0 calculer t(MX)(MX))
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Montrer que u est un automorphisme de R3 et déterminer u?1 2 Déterminer une base (e1e2e3) de R3 telle que u(e1) = e1 u(e2) = e1 +e2 et u(e3) = e2 +e3
[PDF] Matrice dune application linéaire - Exo7
Exercice 2 Soient trois vecteurs e1e2e3 formant une base de R3 On note ? l'application linéaire définie par ?(e1) = e3 ?(e2) = ?e1 +e2 +e3 et
[PDF] Calcul matriciel - Exo7 - Exercices de mathématiques
Le but de cette feuille d'exercices est d'apprendre les opérations sur les matrices : somme produit de matrices transposée puissances d'une matrice
[PDF] fic00054pdf - Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 8 Soit A une matrice carrée d'ordre n On suppose que A est inversible et que ? ? R est une valeur propre de A 1 Démontrer que ? = 0
[PDF] Matrices - Exo7 - Cours de mathématiques
Définition 1 • Une matrice A est un tableau rectangulaire d'éléments de • Elle est dite de taille n × p si le tableau possède n lignes et p colonnes
[PDF] fic00056pdf - Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 5 Soit A la matrice suivante A = (1 1 2 1 ) 1 Calculer le polynôme caractéristique et déterminer les valeurs propres de A
[PDF] Calculs de déterminants - Exo7 - Exercices de mathématiques
Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 7 Déterminant de Vandermonde La règle de Sarrus ne s'applique qu'aux matrices 3×3
[PDF] ficallpdf - Exo7
Exercice 5 Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s'impose : ? ? ? 1 x ? R x2 = 4 x = 2 ; 2 z ? C z = z
[PDF] Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices
Exercice 12 – Soit A et B deux matrices carrées de même ordre on suppose que la matrice AB est inversible d'inverse la matrice C Montrer alors que B est
Comment faire le calcul de matrice ?
Imaginons que l'on note C la matrice A x B : C = A x B. Le coefficient ci,j de la matrice C sera calculé en multipliant le ième ligne de la matrice de gauche avec la jème colonne de la matrice de droite. On multiplie tout simplement terme à terme chaque coefficient de la ligne et de la colonne.Où trouver les corrigés sur Maths PDF ?
Maths-pdf.fr est un site web qui propose une large gamme de documents PDF gratuits et téléchargeables consacrés aux mathématiques. Le site propose des fiches de cours, des exercices, des corrigés, des annales et des livres de mathématiques pour les élèves de tous les niveaux, de l'école primaire au lycée en France.Comment déterminer une matrice dans une base canonique ?
Trouver la matrice de f dans la base canonique pour l'espace de départ et la base b pour l'espace de arrivée. Solution : V(x, y, z) ? R3, (x, y, z) = c1(1,2,0) + c2(0,1,-1) + c3(0,1,1) ? c1 = x, c2 = y - 2x - z 2 ,c3 = y - 2x + z 2 .- Définition 1.
Une matrice A est un tableau rectangulaire d'éléments de . Elle est dite de taille n × p si le tableau poss? n lignes et p colonnes. Les nombres du tableau sont appelés les coefficients de A. Le coefficient situé à la i-ème ligne et à la j-ème colonne est noté ai,j.
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Enoncés et corrections : Sandra Delaunay
Exo7Sujets de l"année 2004-2005
1 Devoir à la maison
Exercice 1SoitMla matrice réelle 33 suivante :
M=0 @0 21 32 02 2 11
A 1.Déterminer les v aleurspropres de M.
2.Montrer que Mest diagonalisable.
3. Déterminer une base de v ecteurspropres et Pla matrice de passage. 4. On a D=P1MP, pourk2NexprimerMken fonction deDk, puis calculerMk. H???Exercice 2 SoitEun espace vectoriel sur un corpsK(K=RouC), on appelleprojecteurun endomorphismepdeE vérifiantpp=p. Soitpun projecteur. 1.Montrer que Id
Epest un projecteur, calculerp(IdEp)et(IdEp)p.
2.Montrer que pour tout ~x2Imp, on ap(~x) =~x.
3. En déduire que Im pet kerpsont supplémentaires. 4. Montrer quelerangdepestégalàlatracedep. (Onrappellequelatracedelamatriced"unendomorphisme ne dépend pas de la base dans laquelle on exprime cette matrice.) H???Exercice 3SoitA=(aij)16i;j6nune matrice carréenn. On veut démontrer le résultat suivant dû à Hadamard : Supposons
que pour touti2 f1;;ng, on ait jaiij>nå j=1;j6=ijaijj alorsAest inversible. 1.Montrer le résultat pour n=2.
2. Soit B, la matrice obtenue en remplaçant, pourj>2, chaque colonnecjdeApar la colonne c ja1ja 11c1;Calculer lesbijen fonction desaij. Montrer que si les coefficients deAsatisfont les inégalités ci-dessus,
alors pouri>2, on a jbiij>nå j=2;j6=ijbijj: 13.Démontrer le résultat de Hadamard pour nquelconque.
H???2 PartielExercice 4Soit
A=0 @1 0 0 0 1 0 11 21 A Démontrer queAest diagonalisable et trouver une matricePtelle queP1APsoit diagonale. H???Exercice 5 Soit A=0 @1 11 0 1 01 0 11
A Factoriser le polynôme caractéristique deA. La matriceAest-elle diagonalisable dansR? dansC? H???Exercice 6 Soit A=a c c d2M2(R)
Démontrer queAest diagonalisable dansR.
H???Exercice 7SoitAla matrice suivante
A=0 @0 1 1 1 0 11 1 01
ACalculerA2et vérifier queA2=A+2I3. En déduire queAest inversible et donner son inverse en fonction de
A. H???Exercice 8SoitAune matrice carrée d"ordren. On suppose queAest inversible et quel2Rest une valeur propre deA.
1.Démontrer que l6=0.
2.Démontrer que si ~xest un vecteur propre deApour la valeur proprelalors il est vecteur propre deA1
de valeur proprel1. H???Exercice 9 Soitfun endomorphisme deEvérifiantf2=mathrmIdE. 21.Démontrer que les seules v aleurspropres possibles de fsont 1 et1.
2.Vérifier que pour tout ~x2E, on a
f(~xf(~x)) =(~xf(~x))etf(~x+f(~x)) = (~x+f(~x)) et en déduire quefadmet toujours une valeur propre. 3. Démontrer que si 1 et 1 sont valeurs propres, alorsEest somme directe des sous-espaces propres correspondants. 4. T raduiregéométriquement sur un dessin dans le cas n=2. H???3 Examen Exercice 10(9 points) SoitAla matrice deM3(R)suivante : A=0 @1 0 1 1 2 1 11 11 A 1. Démontrer que les v aleurspropres de Asont 1 et 2. 2. Déterminer les sous-espaces propres de A. La matriceAest-elle diagonalisable ? 3. Déterminer les sous-espaces caractéristiques de A. 4. Déterminer une base de R3dans laquelle la matrice de l"endomorphisme associé àAest B=0 @2 0 0 0 1 10 0 11
AEn déduire la décomposition de Dunford deB.
5.Résoudre le système dif férentiel
8>< :x 0=x+z y0=x+2y+z
z0=xy+z
???Exercice 11(7 points) On considère la suite(un)n2Ndéfinie paru0=0,u1=1 et par la relation de récurrence
u n+1=12 (un+un1): 1. Déterminer une matrice A2M2(R)telle que pour toutn>1 on ait un+1 u n =Anu1 u 0Justifier.
32.Déterminer le polynôme caractéristique PA(X)deAet calculer ses racinesl1etl2.
3. Soit Rn(X) =anX+bnle reste de la division euclidienne deXnparPA(X). Calculeranetbn(on pourra utiliser les racinesl1etl2). 4. Montrer que An=anA+bnI2, en déduire que la matriceAnconverge lorsquentend vers+¥vers une limiteA¥que l"on déterminera. Calculer limn!+¥un. ???Exercice 12 (5 points) SoitAune matrice carrée,A2Mn(K)(K=RouC). On rappelle que la trace d"une matrice est la somme de ses coefficients diagonaux et que tr(BAB1) =trA. Démontrer que det(expA) =etrAdans les cas suivants :1.Adiagonalisable.
2.Atriangulaire supérieure ayant une diagonale de zéros.
3.Atrigonalisable.
4.Aquelconque.
???4 RattrapageExercice 13(7 points) On considère la suite(un)n2Ndéfinie paru0=0,u1=1 et par la relation de récurrence
u n+1=12 (un+un1): 1. Déterminer une matrice A2M2(R)telle que pour toutn>1 on aitquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3[PDF] guide de bonnes pratiques d'hygiène en pâtisserie
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