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Calculs asymptotiques

A. Comparaison locale des fonctions.

1. Qu"est-ce qu"une propriété locale ?

2. Relations faibles : domination, similitude.

3. Relations fortes : négligeabilité, équivalence.

4. Exemples.

B. Développements limités.

1. L"échelle des monômes.

2. L"algèbre des développements limités.

3. Théorème de Taylor-Young.

C. Développements asymptotiques.

1. Echelles de comparaison.

2. Parties principales, développements asymptotiques.

3. Premiers exemples.

4. Bijections réciproques.

5. Sommation et intégration des relations de comparaison.

6. Méthode de Laplace.

7. Fonctions fluctuantes.

8. Calcul numérique et calcul asymptotique.

Pierre-Jean Hormière

____________ " Et tu sais sans doute ce que tu veux faire plus tard ? » me demanda-t-il. J"éclatai d"orgueil : "Je veux faire des mathématiques », lui répondis-je. Il sourit sans bonté : " Commence par le calcul », me dit-il. Mon destin était scellé. »

Raymond Abellio

" Les mathématiciens purs auraient tort d"ailleurs de mépriser ce côté " terre à terre » du Calcul infinitésimal ; pour acquérir le " sens de l"Analyse » indispen- sable jusque dans les spéculations les plus abstraites, il faut avoir appris à distinguer ce qui est " grand » de ce qui est " petit », ce qui est " prépondérant » et ce qui est " négligeable ». »

Jean Dieudonné

Par " calculs asymptotiques », on entend l"ensemble des techniques algébriques permettant de calculer des

limites, de " lever » les indéterminations, d"étudier localement les fonctions et les courbes (branches infinies,

points litigieux), de comparer les suites au voisinage de l"infini, et les fonctions au voisinage d"un point, etc.

Ces techniques permettent d"étudier la nature des séries, et donnent des équivalents de sommes partielles de

séries divergentes, ou de restes de séries convergentes. Idem pour les intégrales impropres.

Après avoir fait l"objet de polémiques passionnées aux XVIIème et XVIIIème siècles, les infiniment grands

et infiniment petits ont été élucidés systématiquement par P. Du Bois-Reymond, dans une série d"articles de

1870-1871, où il mit en évidence la notion d"échelle de comparaison, et étudia l"intégration et la dérivation des

relations de comparaison. Un peu plus tard, H. Poincaré dégagea la notion de série asymptotique (nos actuels

développements asymptotiques). Ces recherches trouvèrent une forme rigoureuse et définitive chez G. H.

Hardy. Sous leur forme actuelle, les calculs asymptotiques apparaissent comme une sorte d"analyse algébrique.

Ils jouent un rôle fondamental en mathématiques, du théorème central limite du calcul des probabilités à la

théorie des nombres la plus abstraite. Mais ils jouent aussi un grand rôle en physique : le fameux E = mc² de la

relativité restreinte n"est que le premier terme du développement limité de l"énergie E = mc²

²²²1cmp+.

2 A. Comparaison locale des fonctions

1. Qu"est-ce qu"une propriété locale ?

Définition : Soit E un ensemble. On appelle filtre sur E un ensemble FFFF de parties de E qui possède

les propriétés suivantes : (F I) Toute partie de E contenant un ensemble de FFFF appartient à FFFF ; (F II) Toute intersection finie d"ensembles de FFFF appartient à FFFF ; (F III) La partie vide de E n"appartient pas à FFFF.

Le couple (E,

FFFF) est appelé ensemble filtré. 1

Exemples : 1) Soit (E, d) un espace métrique. L"ensemble

VVVVx des voisinages de x est un filtre sur E.

2) Plus généralement, soit (E, d) un espace métrique, A une partie de E, x

0 un point adhérent de E à

A. Les traces sur A des voisinages de x

0 forment un filtre sur A.

Par exemple, si E =

R, A = R, x0 = +¥, les traces sur R des voisinages de +¥ dans R forment un filtre sur R : ce sont les parties de R contenant une demi-droite ]a, +¥[.

De même, si E =

R, A = N, x0 = +¥, les traces sur N des voisinages de +¥ dans R forment un

filtre sur N : ce sont les parties de N contenant une demi-droite ]a, +¥[, ou encore les complémen-

taires des parties finies de N (filtre de Fréchet). Les filtres considérés dans ce chapitre sont tous de ce type.

Soit (E,

FFFF) un ensemble filtré. Une fonction f à valeurs réelles2, définie sur une partie de E, a un

domaine de définition noté D(f). Nous nous limitons aux fonctions f telles que D(f) Î

FFFF. Soit HHHH(FFFF, R)

leur ensemble.

On dit que les fonctions f et g Î

HHHH(FFFF, R) ont même germe suivant le filtre FFFF s"il existe un ensemble A Î

FFFF tel que A Ì D(f) Ç D(g) et f|A = g|A.

C"est une relation d"équivalence dans l"ensemble HHHH(FFFF, R). La classe de f s"appelle germe de f et se note f~.

Si deux fonctions f et g appartiennent à

HHHH(FFFF, R), leur somme n"est définie que sur D(f) Ç D(g).

Cette somme est élément de

HHHH(FFFF, R). De plus si f" a même germe que f, et g" même germe que f suivant le filtre FFFF, f" + g" aura même germe que f + g. Le germe de f + g ne dépend que des germes de f et de g : on l"appelle somme des germes, et on le note f~ + g~. On définit de même lf~ et f~.g~. Il est clair que les germes de fonctions forment une algèbre, notée HHHH¥(FFFF, R).

Une propriété locale de f suivant le filtre

FFFF est une propriété qui ne dépend que du germe de f suivant FFFF. Exemples : 1) Si (E, d) un espace métrique, et si FFFF est le filtre VVVVx des voisinages de x, deux fonc- tions f et g ayant même germe ont même valeur en x ; cette valeur s"appelle valeur de f~ en x. La

réciproque est fausse en général : si E = R, les fonctions f(x) = x et g(x) = -x ont même valeur en 0,

mais ne coïncident pas dans un voisinage de 0. De plus, si f est continue en x, g sera aussi continue :

la continuité en un point x est une propriété locale en ce point. Il en est de même de la dérivabilité, si

E est un intervalle de R, ou un ouvert de R

n.

1 Les filtres ont été inventés par Henri Cartan en 1937, lors du congrès Bourbaki de Chançay.

2 Dans cet exposé, on se limite aux fonctions à valeurs réelles. L"extension aux fonctions à valeurs complexes

ou vectorielles ne pose aucun problème. 3

2) Deux suites (un) et (vn) ont même germe suivant le filtre de Fréchet si elles coïncident à partir

d"un certain rang. Si l"une est bornée (resp. convergente, resp. convergente en moyenne de Cesàro)

l"autre aussi. De plus, (u n) et (vn) ont mêmes valeurs d"adhérence, et notamment mêmes limites inférieure et supérieure. Toutes ces notions sont dites asymptotiques.

3) Soit f une fonction réelle telle que D(f) Î

FFFF. On dit que f converge vers y selon le filtre FFFF , et on note lim

FFFF f = y si "V Î

VVVVy $A Î FFFF A Ì D(f) et f(A) Ì V. Cette propriété ne dépend que du germe de f selon le filtre FFFF.

Si f a une limite selon le filtre

FFFF, il importe de connaître la " manière » dont elle tend vers cette

limite. Et si elle est sans limite, il importe de savoir de quelle manière elle diverge. Bref, nous allons

chercher à classifier les éléments de

HHHH(FFFF, R) selon leur comportement.

2. Relations faibles : domination, similitude.

2.1. Domination

Définition 1 : Soient f et g deux fonctions appartenant à

HHHH(FFFF, R). On dit que f est dominée par g

suivant FFFF, s"il existe X Î FFFF et un réel b > 0 tels que : X Ì D(f) Ç D(g) et ("x Î X) | f(x) | £ b | g(x) |. Relation notée f Î O(g), f = O(g) (notations de Bachmann-Landau

3), ou f p g (notations de Hardy).

La notation f = O(g) est un abus de langage : si f = O(g) et h = O(g), f et h ne sont pas égales !

Exemples :

1) f = O(1) signifie que f est bornée dans un ensemble de

FFFF. Par exemple sinx1 = O(1) au V(0).

2) Lorsque x tend vers +¥, sin

2 x = O(sin x).

3) La suite S

n = ∑ =n kk

1² vérifie Sn = 6

)12)(1(++nnn = 3

3n + 2

2n + 6n.

Il en résulte que S

n = O(n3), et Sn = 3

3n + O(n2).

4) La suite harmonique H

n = ∑ =n kk1

1 vérifie Hn = ln n + g + O(n1).

5) Lorsque (x, y) tend vers (0, 0), x.y = O(x

2 + y2). Cela découle de | x.y | £ 21( x2 + y2 ).

Théorème : Soient f et g deux fonctions appartenant à HHHH(FFFF, R). Pour que f soit dominée par g, il faut et il suffit qu"il existe une fonction b appartenant à HHHH(FFFF, R), bornée dans un ensemble B de FFFF, telle que l"on ait : ("x Î B) f(x) = g(x).b(x) .

Preuve

: i) Supposons f = O(g). Il existe X Î FFFF et b > 0 tels que : X Ì D(f) Ç D(g) et ("x Î X) | f(x) | £ b.| g(x) |. Alors ("x Î X) g(x) = 0 ⇒ f(x) = 0. Définissons la fonction b : X ® R par b(x) = )()(xgxf si g(x) ¹ 0, b(x) = 0 si g(x) = 0. On a ("x Î X) | b(x) | £ b et ("x Î X) f(x) = g(x).b(x) . ii) Supposons qu"existe une fonction b appartenant à HHHH(FFFF, R), bornée dans un ensemble B de FFFF,

telle que l"on ait ("x Î B) f(x) = g(x).b(x). Alors si ("x Î B) |b(x)| £ b, ("xÎ B) | f(x) | £ b.| g(x) |.

3 La notation O a été introduite par P. Bachmann dans son livre Analytische Zahlentheorie, en 1892, et reprise

par E. Landau. 4

Propriétés de la domination :

a) La domination est une propriété locale. b) La relation f = O(g) est réflexive et transitive (préordre). On a l.f = O(f) pour tout l. c) Linéarité : f

1 = O(g) et f2 = O(g) ⇒ f1 + f2 = O(g) et l.f1 = O(g).

d) f

1 = O(g1) et f2 = O(g2) ⇒ f1.f2 = O(g1.g2).

2.2. Similitude.

Définition 2 : Deux fonctions f et g appartenant à HHHH(FFFF, R) sont dites semblables suivant F, si f =

O(g) et g = O(f) , i.e. s"il existe X Î

FFFF et deux réels a et b > 0 tels que :

X Ì D(f) Ç D(g) et ("x Î X) a.| g(x) | £ |f(x)| £ b.| g(x) |.

Cette relation se note (ici) f

÷ g.

Exemples :

1) Les fonctions x et ax (a ¹ 0) sont semblables au V(0) et au V(±¥).

2) Un polynôme P(x) = a

0 + a1.x + ... + an.xn de degré n est semblable à xn au V(±¥).

Propriétés de la similitude

a) La similitude est une propriété locale. b) La similitude est une relation d"équivalence. c) La similitude est compatible avec la multiplication : f

1 ÷ g1 et f2 ÷ g2 ⇒ f1.f2 ÷ g1.g2.

Remarque

: La similitude n"est pas compatible avec l"addition : f

1 ÷ g1 et f2 ÷ g2 n"impliquent pas f1 + f2 ÷ g1 + g2 .

En effet au V(0), -x

÷ -x et x ÷ 2x , mais 0 n"est pas semblable à x.

2.3. Application des relations faibles à la complexité algorithmique

La complexité est un concept moderne et important, qui traverse toutes les sciences

4. Evaluer la

complexité d"un algorithme, c"est trouver un équivalent ou une suite semblable au nombre

d"opérations qu"il nécessite. Encore faudrait-il distinguer la complexité maximale de la complexité

moyenne, qui est de nature probabiliste.

1) Décomposition d"un entier n en base b

: algorithme nécessitant [ logb n ] opérations.

2) Algorithme d"Euclide

Exercice : Si a et b sont deux naturels, soit L(a, b) la longueur de l"algorithme d"Euclide de calcul de

leur pgcd.

1) Montrer que la fonction L(a, b) satisfait aux lois récursives :

"a Î N L(a, 0) = 0 "(a, b) Î N´N* L(a, b) = L(b, r) + 1, où r = rem(a, b)

2) Si (f

n) est la suite de Fibonacci, montrer que L(fk+1, fk) = k - 1.

3) Pour tout p ³ 2, soit k(p) l"unique entier k tel que f

k £ p < fk+1. Montrer que si a < b, L(a, b) £ min(k(b) - 1 , k(a)).

3) Multiplication de deux polynômes

Soit A(x) un polynôme de degré n, B(x) un polynôme de degré n. Par la méthode habituelle, le calcul

de A(x).B(x) nécessite (n+1)(p+1) additions et (n+1)(p+1) multiplications, soit O(N

2) opérations, où

N = max(n, p). Par la transformation de Fourier rapide, il nécessite O(N.ln N) opérations.

4 Cf. Pour la science lui a consacré un dossier en décembre 2003.

5

4) Méthode du pivot. Soit A Î MK(n, p) une matrice à coefficients dans un corps commutatif K.

L"algorithme du pivot, qui détermine deux matrices inversibles P et Q et un entier r (le rang de A)

tels que Q.A.P = OOOJ r, nécessite un nombre d"opérations O(N3), où N = max(n, p). On ne peut que majorer ce nombre, car cet algorithme est plus ou moins long selon la matrice. De plus, lorsque K = Z/2Z, cet algorithme est plus court, car on ne fait que des additions.

3. Relations fortes : négligeabilité, équivalence.

3.1. Prépondérance et négligeabilité

Définition 1 : Soient f et g deux fonctions numériques appartenant à

HHHH(FFFF, R). On dit que f est

négligeable devant g, ou que g est prépondérante sur f suivant

FFFF, si, pour tout e > 0, il existe X Î FFFF

tel que : X Ì D(f) Ç D(g) et ("x Î X) | f(x) | £ e.| g(x) |.

Cette relation se note f Î o(g), f = o(g) (notations de Landau) ou f pp g (notations de Hardy). La notation f = o(g) est un abus de langage : si f = o(g) et h = o(g), f et h ne sont pas égales. Exemples : 1) f = o(1) signifie que f tend vers 0 suivant le filtre F.

2) Logarithmes, puissances, exponentielles

. Soit jg,a,b(x) = egx.xa.( ln x )b , (g, a, b) Î R3.

On a j

g,a,b = o(jg",a",b") au V(+¥) Û (g < g") ou (g = g" et a < a") ou (g < g" et a = a" et b < b").

Théorème : Soient f et g deux fonctions appartenant à HHHH(FFFF, R). Pour que f soit négligeable devant g, il faut et il suffit qu"il existe une fonction e appartenant à HHHH(FFFF, R), tendant vers 0 selon le filtre FFFF, telle que l"on ait : ("x Î D) f(x) = g(x).e(x) .

Preuve

: i) Supposons f = o(g). Prenant d"abord e = 1, il existe X Î FFFF tel que :

X Ì D(f) Ç D(g) et ("x Î X) | f(x) | £ | g(x) |. Alors ("x Î X) g(x) = 0 ⇒ f(x) = 0.

Définissons la fonction e : X ® R par e(x) = xgxf si g(x) ¹ 0 , e(x) = 0 si g(x) = 0.

On a ("x Î X) f(x) = g(x).e(x).

De plus, "e > 0 $X(e) Î

FFFF X(e) Ì D(f) Ç D(g) et "x Î X(e) | f(x) | £ e.| g(x) |. Alors ("x Î X Ç X(e)) | e(x) | £ e , donc la fonction e tend vers 0 selon le filtre FFFF. La réciproque, facile, est laissée au lecteur.

Propriétés de la négligeabilité

a) C"est une propriété locale. b) La relation f = g ou f = o(g) est réflexive et transitive (préordre). c) Linéarité : f

1 = o(g) et f2 = o(g) ⇒ f1 + f2 = o(g) et l.f1 = o(g).

d) f

1 = O(g1) et f2 = o(g2) ⇒ f1.f2 = o(g1.g2). A fortiori f1 = o(g1) et f2 = o(g2) ⇒ f1.f2 = o(g1.g2).

3.2. Equivalence

Théorème et définition 2 : Soient f et g deux éléments de

H(F, R). Les propriétés équivalentes

suivantes : (EI) f - g = o(g) . (EII) Pour tout e > 0, il existe X Î F tel que X Ì D(f) Ç D(g) et ("x Î X) |f(x) - g(x)| £ e.|g(x)| . (EIII) Il existe un ensemble Y Î

F et une fonction h : Y ® R tels que :

Y Ì D(f) Ç D(g) , ("x Î Y) f(x) = g(x).( 1 + h(x) ) et limF h(x) = 0 . (EIV) Il existe un ensemble Y Î

F et une fonction u : Y ® R tels que :

6 Y Ì D(f) Ç D(g) , ("x Î Y) f(x) = g(x).u(x) et limF u(x) = 1 . Si la fonction g ne s"annule pas dans un ensemble Y Î

F, cela équivaut encore à :

(EIV) lim F xgxf = 1 .quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

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