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Analyse asymptotiqueChapitre 15

1 Relations de comparaison : cas des suites 2

1.1 Relations de domination, de negligeabilite . . . . .

2

1.2 Relation d'equivalence . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2 Relations de comparaison : cas des fonctions 5

2.1 Relation de domination, de negligeabilite . . . . . .

6

2.2 Relation d'equivalence . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3 Developpements limites 9

3.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.2 Formule de Taylor-Young et developpements

limites usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Derivabilite et developpement limite . . . . . . . .

13

3.4 Operations sur les developpements limites . . . . .

14

4 Applications des developpements limites 20

4.1 Recherche de limites et d'equivalents . . . . . . . .

20

4.2Etude locale d'une fonction . . . . . . . . . . . . .21

4.3 Application a l'etude d'asymptotes obliques . . . .

21
Mathieu Mansuy - Professeur de Mathematiques en superieures PCSI au Lycee Saint Louis (Paris) mansuy.mathieu@hotmail.fr

PCSI5Lycee Saint Louis, Paris

1 Relations de comparaison : cas des suites

Dans cette section :

?les suites considerees sont a valeurs dansK=RouC.

?toutes les suites que l'on considere ne s'annulent pas, de sorte que le quotient de deux suites est toujours

bien deni.

Les denitions et proprietes qui suivent s'etendent alors a toutes les suites ne s'annulant pas a partir d'un certain

rang, quitte a tronquer ces suites de leurs premiers termes.

1.1 Relations de domination, de negligeabilite

Denition.Soit (un) et (vn) deux suites. On dit que : ?(un) est dominee par (vn) si la suiteunv n est bornee. On note alorsun=O(vn).

?la suite (un) est negligeable devant (vn) (ou que (vn) est preponderante devant la suite (un) ) si la

suiteunv n converge vers 0. On note alorsun=o(vn).Exemples.

On a :cos(n) + 4n

2=O1n 2 car (cos(n) + 4) est bornee.

On a :n3sin(n) =on5car limn!+1n

3sin(n)n

5=sin(n)n

2!n!+10.

Remarques.

?(un) est bornee si et seulement siun=O(1). ?(un) converge vers 0 si et seulement siun=o(1). ?un=o(vn) =)un=O(vn).Soient (un), (vn) et (wn) trois suites. (1) Si un=O(vn) etvn=O(wn), alorsun=O(wn) (transitivite de la relationO). (2) Si un=o(vn) etvn=o(wn), alorsun=o(wn) (transitivite de la relationo).Propriete 1

Preuve.On demontre le premier point, le deuxieme point est analogue. Soit (un) une suite telle queun=o(wn)

etwn=o(tn). Alors, pour toutnn0, on a :unt n=unw nwnt

n!n!+100 = 0. Ainsi,un=o(tn).Soient (un), (vn), (wn) et (tn) quatre suites telles que (wn) et (tn) ne s'annulent pas a partir d'un

certain rang. Soit (;)2K2. (1)

Si un=O(wn) etvn=O(wn), alorsun+vn=O(wn).

Siun=o(wn) etvn=o(wn), alorsun+vn=o(wn).

(2)

Si un=O(wn) etvn=O(tn), alorsunvn=O(wntn).

Siun=O(wn) etvn=o(tn), alorsunvn=o(wntn).Propriete 2 2

PCSI5Lycee Saint Louis, Paris

Preuve.

Soit (;)2Ravec; >0, etq >1. Alors :

q n=o1n ;1n =o lnn

;lnn=o(n); n=o(qn); qn=o(n!) ;n! =o(nn)Propriete 3(croissances comparees)Remarque.En notantunvnau lieu deun=o(vn), on a donc lorsquentend vers +1:

1n!qn1n

lnnnqnn!nn:

Preuve.Toutes ces relations sont des reecritures du theoreme de croissance comparee (en notant queq=eln(q)),

saufqn=o(n!) avecq >1 etn! =nn. ?Posonsun=qnn!. On a : u n+1u n=qn+1(n+ 1)!n!q n=qn+ 1!n!+10:

Il existe doncN2Ntel que :8nN,un+1u

n12 . Une recurrence aisee permet alors de montrer que pour toutnN, 0unuN2 nN. PuisqueuN2 nN!n!+10, on obtient par theoreme d'encadrement que (un)n2Nconverge vers 0. ?De m^eme, posonsvn=n!n n. On a : v n+1v n=(n+ 1)!(n+ 1)n+1nnn!=nn+ 1 n = exp nln(1 +1n !e1<1=2

Il existe doncN2Ntel que8nN,vn+1v

n12 . On conclut alors comme precedemment.

Exemple.Ainsi on a par croissances comparees :

lnn=o(n);lnn=o(pn); n=o(2n)

1.2 Relation d'equivalence

Denition.Soit (un) et (vn) deux suites. On dit que (un)n2Nest equivalente a (vn)n2N, et on noteunvnsi la suite

u nv n converge vers 1. On note alorsunvn.Exemple.On apnpn+ 1. En eet,pn+ 1pn =r1 + 1n . Or, limn!+1 1 +1n = 1 et par composition par la fonction racine, continue en 1, on a bien lim n!+1pn+ 1pn =p1 = 1. La relationest une relation, d'equivalence sur l'ensemble des suites ne s'annulant pas, c'est a dire (1)est re exive :unun; (2)est symetrique :unvn!vnun; (3)est transitive : siunvnetvnwn, alorsunwn.Propriete 4 3

PCSI5Lycee Saint Louis, Paris

Preuve.

(1) R e exivite: P ourtout nn0, on a :unu n= 1!n!+11 doncunun. (2)

Sym etrie: Si unvnalorsunv

n!n!+11 et par operation sur les limites,vnu n=unv n 1 !n!+11 donc v nun. (3) T ransitivite: Si unvnetvnwnalors on a pour toutn,unw n=unv nvnw n!n!+11 doncunwn.

Soient (un), (vn).

(1)unvn()unvn=o(vn). (2)unvn=)un=O(vn) etvn=O(un).Propriete 5

Preuve.

(1)unvn,limn!+1u nv n= 1,limn!+1 unv n1 = 0,limn!+1 unvnv n = 0,unvn=o(vn). (2)

Si unvnalorsunv

n nn0converge vers 1 donc bornee. De plus, commeunv n nn0converge vers 1 alors u nv ndoncunest non nulle a partir d'un certain rang etvnu n nn0converge vers 1 doncvnu n nn0est bornee. Soient (un), (vn), (wn) et (tn) quatre suites telles queunwnetvntn. Alors on a : (1)unvnwntn; (2) unv nwnt n; (3)8p2N,upnwpn.Propriete 6

Preuve.On a, pourn2N,unwnv

nzn=unv nwnz n!n!+11 par produit de limites, d'ou le premier point.

Pourn2N, on a

u nw nv nz n=unznv nwn=unv nwnz n 1 !n!+11 comme quotient de limites. Ainsi on a le second point.

Enn, pournetp2N, on aup

nv pn= u nv n p!n!+11p= 1 par operations sur les limites. D'ou le troisieme point.

Exemple.Montrons quen

6 n6720

En eet, pour toutj2Nxe, on anjn; par consequent :

n 6 =16! 5 Y j=0(nj)16! 5 Y j=0n=n6720

IMPORTANT.

4

PCSI5Lycee Saint Louis, Paris

?On ne peut ni ajouter, ni soustraire, les equivalents, comme le montre l'exemple suivant : n+ 1n+ 2 etn nmais on n'a pas 12: ?On ne compose pas les equivalents : sifest une fonction (m^eme continue surR) et siunvn, on n'a pas forcementf(un)f(vn) comme le montre l'exemple suivant : siun=n2+n,vn=n2etf= exp, on aunvn, mais : f(un)f(vn)=en2+nn2=en2!n!+1+1, doncf(un)6f(vn): ?Lors d'une mise en puissance d'un equivalent, l'exposant doit ^etre constant : on a 1 +1n

1 mais

1 +1n n

61 (puisque gr^ace a la limite classique

1 +1n n !e, on a 1 +1n n e).Soit (un) une suite etl2R. limn!+1un=l()unlPropriete 7 Preuve.En eet, si limn!+1un=l6= 0 alors (un) ne s'annule pas a partir d'un certain rang et on a : u nl !n!+1ll = 1. Doncunl.

Reciproquement siunl, alors puisquel6= 0,unl

!n!+11 doncun=unl l!n!+1l.Soient (un) et (vn) deux suites telles queunvn. (1)unetvnont m^eme signe strict (>0 ou<0) a partir d'un certain rang. (2) ( un)n2Nadmet une limite (nie ou innie) si et seulement si (vn)n2Nadmet une limite et alors limn!+1un= limn!+1vn.Propriete 8

Preuve.

(1)

Comme ( un) et (vn) sont equivalentes, on aunv

n!n!+11. Donc pour=12 >0, il existeN2Ntel que

8nN,unv

n112 . En particulier pour toutnN, on aunv n12 , etunetvnont m^eme signe strict. (2) Supp osonsque ( vn)n2Nadmet une limitel2R. On aun=unv nvn, doncun!n!+1lpar operations sur les limites.

De m^eme si (un)n2Nadmet une limitel, on avn=vnu

nun,vn!n!+1lpar operations sur les limites.

2 Relations de comparaison : cas des fonctions

Dans toute cette section :

?Idesignera un intervalle reel non vide et non reduit a un point,aun point deIou une extremite deI (eventuellement1),DdesigneraIouIn fag; ?toutes les fonctions considerees seront denies surDa valeurs dansK=RouC, et supposees non nulles surIn fag(de sorte que le quotient de deux fonctions est toujours bien deni surIn fag) ; ?si les fonctions sont denies ena, on supposera de plus qu'elles sont continues ena.

Les denitions et proprietes qui suivent s'etendent aux fonctions ne s'annulant pas sur un voisinage epointe de

a, quitte a restreindre les fonctions a un intervalleJI. 5

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2.1 Relation de domination, de negligeabilite

Denition.Soientfetg:D !K. On dit que :

?festdomineepargau voisinage deasifg est bornee au voisinage dea. On note alorsf(x) =aO(g(x)) ouf=aO(g). ?festnegligeabledevantgau voisinage deasi limx!af(x)g(x)= 0. On note alorsf(x) =ao(g(x)) ou f=ao(g).Exemples. x2sinx3=0O(x2) : en eet pourI=R,x7!x2etx7!x2sinx3sont denies surRnf0get pour tout x2R, on a : x

2sinx3x

2 =sinx31. Sip < q,xp=+1o(xq) etxq=Oo(xp) : en eet pourI=R,x7!xpetx7!xqne s'annulent pas surInf0g et lim x!+1x px q= 0 = limx!0x qx p. ln(x) =+1o(3px) : en eet pourI=R+, on a par croissances comparees, limx!+1lnxx

1=3= 0.

Remarque.Pourf:D !R, on a :

?fest bornee au voisinage deasi et seulement sif=aO(1). ?fconverge vers 0 au voisinage deasi et seulement sif=ao(1). ?f(x) =ao(g(x)) =)f(x) =aO(g(x)).Soit (;)2(R+)2. (lnx)=+1o(x); x=+1o(ex);jlnxj=0o1x ; e x=1o1x

Propriete 9

2.2 Relation d'equivalence

Denition.Soientfetg:D !K. On dit quefestequivalenteagau voisinage deasi limx!af(x)g(x)= 1. On note alors

f(x)ag(x) oufag.Exemple.sin(x)0x: en eet pourI=R,x7!xne s'annule pas surIn f0get limx!0sinxx = 1.

Remarque.

?Sifest continue ena, on a :f(x)af(a) sif(a)6= 0. ?Sifest derivable ena, on a :f(x)f(a)af0(a)(xa) sif0(a)6= 0. 6

PCSI5Lycee Saint Louis, Paris

?SiP(x) =apxp+ap1xp1+:::aqxq(pqest une fonction polynomiale, alors :

P(x)+1apxpetP(x)0aqxq:Soientfetgdenies surD.

?f(x)ag(x)()f(x)g(x) =ao(g(x)). ?f(x)ag(x) =)f(x) =aO(g(x)) etg(x) =aO(f(x)).Propriete 10 La relationaest une relation d'equivalence, c'est a dire : (1)aest re exive :faf; (2)aest symetrique :fag)gaf; (3)aest transitive :fagetgahimpliquentfah.Propriete 11 Soientf,g,h,uquatre fonctions denies surD. Sif(x)x!ag(x) et sih(x)x!au(x), alors : (1)f(x)h(x)x!ag(x)u(x) ; (2) f(x)h(x)x!ag(x)u(x); (3)8p2N,f(x)px!ag(x)p; (4)

P our2R+, et sifetgsont bien denies surD, alorsf(x)ag(x).Propriete 12(Operations sur les equivalents)Preuve.

(1) On a, p ourx2 D,f(x)h(x)g(x)u(x)=f(x)g(x)h(x)u(x)!x!a1 par produit de limites. (2)

P ourx2 D, on a

1 !x!a1 comme quotient de limites. (3)

P ourx2 Detp2N, on af(x)pg(x)p=f(x)g(x)

p!x!a1p= 1 par operations sur les limites. (4)

P ourtout x2 D,f(x)g

(x)=f(x)g(x) =eln(f(x)g(x)). Commef(x)g(x)!x!a1 donceln(f(x)g(x))!x!a1. 7

PCSI5Lycee Saint Louis, Parise

x10x sinx0x arcsinx0x shx0x (1 +x)10xavec2R

1cos(x)0x

22
ln(1 +x)0x tanx0x arctanx0x thx0x

1ch(x)0x22Propriete 13(Equivalents classiques au voisinage de 0)Preuve.On utilise que sifest derivable ena,f(x)f(a)af0(a)(xa) sif0(a)6= 0. Les resultats s'en

suivent, sauf les suivants (qu'on obtient par operations sur les equivalents) :

1cosx=1cos2(x)1 + cos(x)=sin2(x)1 + cos(x)0x

22
car sin(x)0xet 1 + cos(x)02. De m^eme, on a :

1ch(x) =1ch2(x)1 +ch(x)=sh2(x)1 +ch(x)0x22

Soientfetgdeux fonctions denies surD. On suppose quegne s'annule pas au voisinage deaet quef(x)ag(x). Soitune fonction a valeurs dansDtelle que limt!b(t) =aavecb2R[ f1g.

On a :

f(t)bg(t):Propriete 14(Composition a droite dans un equivalent)Preuve.En utilisant le theoreme de composition pour les limites, on peut ecrire :

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