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Exo7

Dénombrement

Exercice 1

PourA;Bdeux ensembles deEon noteADB= (A[B)n(A\B). PourEun ensemble fini, montrer :

CardADB=CardA+CardB2CardA\B:

En utilisant la fonctionx7!(1+x)n, calculer :

nå k=0Ckn;nå k=0(1)kCkn;nå k=1kCkn;nå k=01k+1Ckn: En utilisant la formule du binôme, démontrer que : 1. 2 n+1 est divisible par 3 si et seulement sinest impair ; 2. 3

2n+1+24n+2est divisible par 7.

donnés) en se déplaçant à chaque étape d"une unité vers la droite ou vers le haut. Combien y a-t-il de chemins

possibles ? On considère les mains de 5 cartes que l"on peut extraire d"un jeu de 52 cartes. 1.

Combien y a-t-il de mains dif férentes?

2. Combien y a-t-il de mains comprenant e xactementun as ? 3. Combien y a-t-il de mains comprenant au moins un v alet? 4. Combien y a-t-il de mains comprenant (à la fois) au moins un roi et au moins une dame ? 1. la propriété : nest pair)f(n)est pair ? 1

2.la propriété : nest divisible par 3)f(n)est divisible par 3 ?

3. ces deux propriétés à la fois ? 4. Reprendre les questions précédentes en remplaçant bijectionparapplication.

SoitEun ensemble ànéléments, etAEun sous-ensemble àpéléments. Quel est le nombre de parties deE

qui contiennent un et un seul élément deA? Indication pourl"exer cice1 NTout d"abord faire un dessin (avec des patates !). PourAetBdeux ensembles finis quelconques, commencer par (re)démontrer la formule : CardA[B=

CardA+CardBCardA\B.Indication pourl"exer cice2 NÉvaluer(1+x)nenx=1, d"une part directement et ensuite avec la formule du binôme de Newton. Pour la

deuxième égalité commencer par dériverx7!(1+x)n.Indication pourl"exer cice3 NCommencer par 2

n= (31)n.Indication pourl"exer cice4 NCoder un chemin par un mot :Dpour droite,Hpour haut.Indication pourl"exer cice5 NPetits rappels : dans un jeu de 52 cartes il y a 4 "couleurs" (pique, coeur, carreau, trèfle) et 13 "valeurs" (1=

As, 2;3;:::;10, Valet, Dame, Roi). Une "main" c"est juste choisir 5 cartes parmi les 52, l"ordre du choix

n"important pas.Indication pourl"exer cice7 NCombien y-a-t"il de choix pour l"élément deA? Combien y-a-t"il de choix pour le sous-ensemble deEnA?3

Correction del"exer cice1 NTout d"abord si deux ensembles finisAetBsont disjoints alors CardA[B=CardA+CardB.

Si maintenantAetBsont deux ensembles finis quelconques : nous décomposonsA[Ben trois ensembles :

A[B= (An(A\B))[(Bn(A\B))[(A\B):

Ces trois ensembles sont disjoints deux à deux donc : CardA[B=CardAn(A\B)+CardBn(A\B)+

CardA\B.

Mais pourRSnous avons CardSnR=CardSCardR.

Donc CardA[B=CardACardA\B+CardBCardA\B+CardA\B.

Donc CardA[B=CardA+CardBCardA\B.

Appliquons ceci àADB= (A[B)n(A\B):

CardADB=CardA[BCardA\B=CardA+CardB2CardA\B:Correction del"exer cice2 NSoitf:R!Rla fonctionf(x) = (1+x)n. Par la formule du binôme de Newton nous savons que

f(x) = (1+x)n=nå k=0Cknxk: 1.

En calculant f(1)nous avons 2n=ånk=0Ckn.

2.

En calculant f(1)nous avons 0=ånk=0(1)kCkn.

3. Maintenant calculons f0(x) =n(1+x)n1=ånk=1kCknxk1. Évaluonsf0(1) =n2n1=ånk=1kCkn. 4. Il s"agit ici de calculer la primiti veFdefqui correspond à la somme :F(x) =1n+1(1+x)n+11n+1=

nk=01k+1Cknxk+1. EnF(1) =1n+1(2n+11) =ånk=01k+1Ckn.Correction del"exer cice3 NL"astuce consiste à écrire 2=31 (!)

2 n= (31)n=3p+(1)n Où 3p(p2Z) représente lesnpremiers termes deånk=0Ckn3k(1)nket(1)nest le dernier terme. Donc 2

n(1)n=3p. Sinest impair l"égalité s"écrit 2n+1=3pet donc 2n+1 est divisible par 3. Sinest pair

2 n1=3pdonc 2n+1=3p+2 qui n"est pas divisible par 3.

Pour l"autre assertion regarder 3=74.Correction del"exer cice4 NOn poseH="vers le haut" etD="vers la droite". Un exemple de chemin de(0;0)à(p;q)est le mot

DD:::DHH:::HoùDest écritpfois etHest écritqfois. Le nombre de chemins cherché est clairement le

nombre d"anagrammes du mot précédent.

Le nombre de choix de l"emplacement duHestCq

p+q. Une fois que les lettresHsont placées il n"y a plus de choix pour les lettresD. Il y a doncCq p+qchemins possibles. Remarque : si on place d"abord les lettresDalors on aCp p+qchoix possibles. Mais on trouve bien sûr le même nombre de chemins carCp p+q=C(p+q)p p+q=Cq p+q.Correction del"exer cice5 N4

1.Il s"agit donc de choisir 5 cartes parmi 52 : il y a donc C552mains différentes. Ceci peut être calculé :

C

552=52515049485!

=2598960. 2.

Il y a 4 choix pour l"as (l"as de pique ou l"as de coeur ou ...), puis il f autchoisir les 4 cartes restantes

parmi 48 cartes (on ne peut pas rechoisir un as). Bilan 4C448mains comprenant exactement un as. 3.

Il est beaucoup plus f acilede compter d"abord les mains qui ne contiennent aucun v alet: il f autchoisir 5

cartes parmi 48 (on exclut les valets) ; il y a doncC548mains ne contenant aucun valet. Les autres mains

sont les mains qui contiennent au moins un valet : il y en a doncC552C548. 4. Nous allons d"abord compter le nombre de mains que ne contiennent pas de roi ou pas de dame. Le nombre de mains qui ne contiennent pas de roi estC548(comme la question 3.). Le nombre de mains qui ne contiennent pas de dame est aussiC548. Le nombre de mains ne contenant pas de roi ou pas de dame n"est pasC

548+C548, car on aurait compté deux fois les mains ne contenant ni roi, ni dame (il y aC544telles

mains). Le nombre de mains ne contenant pas de roi ou pas de dame est donc : 2C548C544(on retire une

fois les mains comptées deux fois !). Ce que nous cherchons ce sont toutes les autres mains : celles qui

contiennent au moins un roi et au moins une dame. Leur nombre est donc :C5522C548+C544.Correction del"exer cice6 N1.(6!)2

2. 4! 8! 3.

2!2!4!4!

4. 6

6126, 44128, 224264124.Correction del"exer cice7 NFixons un élément deA; dansEnA(de cardinalnp), nous pouvons choisirCknpensembles àkéléments

(k=0;1;:::;n). Le nombre d"ensembles dans le complémentaire deAest donc npå k=0Cknp=2np:

Pour le choix d"un élément deAnous avonspchoix, donc le nombre total d"ensembles qui vérifie la condition

est : p2np:5quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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