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Comment calculer un signal aléatoire?
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Qu'est-ce que le signal aléatoire gaussien?
- Le signal aléatoire gaussien est déduit de la variable aléatoire gaussienne. Le signal aléatoire gaussien est très important en traitement du signal en raison de sa facilité d’emploi, de l’optimalité des méthodes du second ordre pour les signaux gaussiens, et par son omniprésence liée au(x) théorème(s) central limite.
Quels sont les signaux aléatoires?
- D’autres exemples sont le signal de parole, l’électromyogramme ou la mesure de l’activité cérébrale, dont on peut espérer qu’ils ne résultent pas de « tirages au hasard », sont caractérisés comme des signaux aléatoires.
SIGNAUX ALÉATOIRES
J.-F. BERCHER
École Supérieure d"Ingénieurs en Électrotechnique et ÉlectroniqueNovembre 2001 - version 0.8
CHAPITREI
Table des matières
I Table des matières3
I Signaux aléatoires5
1 Description d"un signal aléatoire................................. 5
1.1 Description complète................................... 5
1.2 Description partielle................................... 6
1.2.1 Description à un instant............................ 6
1.2.2 Description à deux instants.......................... 6
2 Propriétés fondamentales..................................... 7
2.1 Stationnarité....................................... 7
2.2 Ergodisme........................................ 8
2.3 Le syndrome gaussien.................................. 9
2.4 Signaux aléatoires à temps discret............................ 11
3 Propriétés énergétiques des signaux aléatoires stationnaires de puissance moyenne finie.... 11
3.1 Analyse dans le domaine temporel............................ 11
3.1.1 Définitions et propriétés............................ 11
3.1.2 Notion de bruit blanc............................. 13
3.2 Transformation des fonctions aléatoires par filtrage................... 14
3.2.1 Rappel..................................... 14
3.2.2 Transformation de la moyenne........................ 14
3.2.3 Théorème, ou formule des interférences................... 15
3.3 Analyse dans le domaine fréquentiel........................... 17
3.4 La représentation de Cramér............................... 20
3.5 Bruit blanc à temps discret................................ 21
4 Un exemple d"application : le filtrage adapté........................... 21
4.1 Contexte......................................... 21
4.2 Maximisation du rapport signal-à-bruit......................... 21
4.3 Approche probabiliste.................................. 23
4.4 Notes sur le choix du signal test, signaux pseudo-aléatoires............... 24
Exercices et problèmes......................................... 26CHAPITREI
SIGNAUX ALÉATOIRES
DE LA MÊME MANIÈREqu"une variable aléatoire est un ensemble de valeurs caractérisé par une loi de
probabilité, on appellerasignal aléatoire,ouprocessus aléatoireun ensemble defonctionsauquel on
adjoint une loi de probabilité.Existe-il des signaux naturels qui soient intrinsèquement aléatoires ? La plupart des phénomènes non-
quantiques peuvent être décrits à l"aide d"équations de la physique : le jeu de pile ou face, si l"on connaît
les caractéristiques physiques de la pièce, l"impulsion donnée, la densité et la composition de l"air, la tempé-
rature, la pression atmosphérique, la gravité locale, est un jeu dont le résultat est parfaitement prévisible. De
même pour le tirage du loto. Simplement le système dépendant d"un trop grand nombre de variables et de
paramètres devient trop compliqué à décrire. D"autres exemples sont le signal de parole, l"électromyogramme
ou la mesure de l"activité cérébrale, dont on peut espérer qu"ils ne résultent pas de " tirages au hasard », sont
caractérisés comme des signaux aléatoires. D"autres signaux sont impossibles à caractériser "a priori». Il
s"agit en particulier d"un message transmis sur une ligne téléphonique (ou autre) : du point de vue du récepteur,
ce signal est aléatoire jusqu"à sa réception. En effet si ce signal était déjà connu du récepteur, son contenu
informationnel serait nul et il serait inutile de le transmettre. Ainsi, on pourra modéliser comme des signaux
aléatoires les signaux dont le processus de production est trop compliqué à décrire, ou méconnu, ou des signaux
pour lesquels l"aléa provient de la propre incertitude de l"observateur. À partir d"un modélisation probabiliste,
il faut alors espérer que l"on pourra aboutir à une caractérisation intéressante et à des outils de traitement qui
pourront permettre d"extraire de l"information des signaux aléatoires.Notation
On noteraX(t,
ω)un signal aléatoireX. Il s"agit d"un ensemble de fonctions de la variablet, cet ensembleétant indexé par la variable
ω. Un signal aléatoire est une quantité bivariée, dépendant à la fois du tempst et de l"épreuve ω. Lorsque l"épreuve est fixée, par exempleω=ω i , on obtient uneréalisationdu processus aléatoire que l"on noteraX(t, i )ou plus simplementx i (t). Lorsque la variabletest fixée, le processus aléatoire se réduit alors à une simple variable aléatoire. En considérant le processus pourt=t i , on obtient ainsi une variable aléatoireX(t i ,ω), que l"on noteraX i (ω),ouX i . Enfin, on noterax i les valeurs prises par la variable aléatoireX i1 Description d"un signal aléatoire
Les signaux aléatoires pourront être caractérisés par le biais de deux types de description : une description
complète qui permet de caractériser complètement le processus, mais qui nécessite une connaissance énorme,
et une caractérisation partielle, à partir des moments du processus aléatoire.1.1 Description complète
X(t,ω)est connu si?t
1 ,t 2 ,...,t k ,et?k, on connaît la loi conjointe p X 1 ,X 2 ,...,X k (x 1 ,x 2 ,...,x k oùX 1 ,X 2 ,...,X k sont les variables aléatoires associées auxkinstants :X(t 1 ,ω),X(t 2 ,ω),...,X(t k ,ω). En fait, ceci est équivalent à dire que l"on connaîtX(t, ω)si l"on connaît les lois de toutes les variables aléatoiresPage 6Chapitre I. Signaux aléatoires
X(t i,ω), ainsi que toutes les interactions entre ces variables, et ceci?i... La connaissance à avoir est donc
gigantesque, et le plus souvent inaccessible, et l"on devra se contenter d"unedescription partielle.1.2 Description partielle
1.2.1 Description à un instant
On dit queX(t,
ω)est connu à un instant, si,?t
1 , on connaît la loi de la variable aléatoireX(t 1 ,ω). Celle-ciest simplement une variable aléatoire au sens habituel, que l"on peut en général (si ceux-ci existent et hors
quelques cas de figures exceptionnels) caractériser à l"aide desmoments.Moments
: on notera m X (t 1 )=E?X(t 1 x 1 p X 1 (x 1 )dx 1 (I.1) m (n) X (t 1 )=E?X(t 1 n x n1 p X 1 (x 1 )dx 1 (I.2)Rappelons avec force que E{}désigne l"espérance mathématique, que l"intégrale est prise sur le domaine
de variation de l"" amplitude » deX 1 , c"est-à-dire deX(t,ω)considéré à l"instant fixét 1 . L"écritureE{X(t,
X(t)p(X(t,ω)dt,
(trop) souvent rencontrée dans des copies, indique une incompréhension attristante et constitue une erreur
impardonnable.1.2.2 Description à deux instants
On dit queX(t,
ω)est connu à deux instants, si,?t
1 ,t 2 , on connaît la loi conjointe des variables aléatoires X(t 1 ,ω)etX(t 2 p X 1 ,X 2 (x 1 ,x 2 )est connue?t 1 ,t 2 La connaissance à deux instants nécessite donc de connaître lelien statistiqueentreX(t 1 ,ω)etX(t 2Notion de covariance
On appelle
C X (t 1 ,t 2 )=E?X(t 1 )X(t 2 x 1 x ?2 p X 1 ,X 2 (x 1 ,x 2 )dx 1 dx 2 fonction de covariance. 1 Il s"agit dans le cas général d"une fonction bivariée qui permet de quantifier un certain " lien statistique » entre les variables aléatoiresX 1 etX 2 . Dans la mesure où l"argument de l"espérance mathé-matique fait intervenir le produit de deux variables aléatoires, et est donc homogène à un " carré », on parlera
de caractérisationà l"ordre 2. Remarque: En général, on ne peut pas exprimer la distribution conjointep X 1 ,X 2 (x 1 ,x 2 )en fonction des distri- butionsp X 1 (x 1 )etp X 2 (x 2 ), sauf dans le cas où les variables sontindépendantes. On a alors p X 1 ,X 2 (x 1 ,x 2 )=p X 1 (x 1 )p X 2 (x 2 et la fonction de covariance s"écrit simplement C X (t 1 ,t 2 )=E?X(t 1 )X(t 2 ?=E?X(t 1 )?E?X(t 2 soitC X (t 1 ,t 2 )=m X (t 1 )m X (t 2 Lorsqu"un tel signal estcentré, c"est-à-dire de valeur moyenne nulle, alorsC(t 1 ,t 2 )=0, pourt 1 =t 2 . Ce type de signal aléatoire est appelébruit blanc(au sens strict). 1quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9[PDF] exercices triangles semblables brevet
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