[PDF] Traitement du Signal 24 févr. 2012 7

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D´epartement Electronique Electrotechnique Automatique

Equipe Automatique Traitement du Signal

Tronc Commun - UE STI

Cours STI tc2 Traitement du signal

2011-2012

Unit

´e d'Enseignement

Science et Technologie de l'Information

Traitement du signal

Version de l'ann

´ee 2011-2012

G

´erard Scorletti

D

´epartement EEA, bˆat H9

e-mail : gerard.scorletti@ec-lyon.fr

2SIGNAL, n. m. (v. 1220) s'´ecrit aussi

seignalau XIIIe s. (v. 1265); le mot, qui correspond`a l'ancien provenc¸al sennal(1174), est un emprunt au bas latinsignale"signe", neutre substantiv´e du bas latin signalis"qui sert de signe", d´eriv´e du latin classiquesignum(→signe).

♦Le mot apparaˆıt en franc¸ais avec des sens particuliers : "quillon d'une ep´ee", "sceau avec

lequel on signe un acte" (v. 1260, seignau), et c'est aussi le nom d'une constellation (v. 1265).

Il signifie aussi "ce dont un propri

´etaire marque un animal", "marque sur la peau" (v. 1298), "gros grain de chapelet" (1328), etc. Dans tous ces emplois, signald´esigne des signes naturels ou conventionnels qui cosntituent ou donnent des informations; aujourd'hui, dans l'usage courant,

signalcorrespond`a un signe de nature conventionnelle, mˆeme si pour les th´eoriciens, le signal

peut

ˆetre form´e par un signe naturel.♦Le mot d´esigne en particulier (1540) un signe convenu

fait pour indiquer le moment d'agir, d'o `u la locutiondonner le signal(1798). Il s'est dit (1690) d'un moyen utilis ´e pour porter au loin une information ; il d´esigne (1718) le fait par lequel un processus commence et qui constitue un signe, un sympt

ˆome de ce processus aujourd'hui (XXe

s.) surtout dans les emplois didactiques, par exemple en psychanalyse, signal d'angoisse. des filets)" (1769), en marine dans Code international des signaux(1868), couramment ceux qui r

`eglent la circulation (1875, dans les chemins de fer), puis dans les t´el´ecommunications (1933),

en informatique (v. 1970). C'est un concept essentiel, `a l'int´erieur de la notion th´eorique large de signal , concernant tous les canaux de communication ( signaux visuels, acoustiques, olfactifs, surtout en

´ethiologie,

chimiques). Le ROBERT, Dictionnaire Historique de la Langue Franc¸aise, sous la direction d'Alain Rey, page 3504, Janvier 1999

Table des mati`eres

1 Introduction9

1.1 Le signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 L'importance du signal dans nos soci

´et´es contemporaines . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Les signaux utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 10

1.4 Plan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 O `u trouver l'information? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

1.6 Remarques sur l'utilisation de ce document . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 12

1.7 Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Mod ´eliser et caract´eriser un signal : Analyse en temps et en fr´equence 15

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15

2.2 Signaux mod

´elis´es par des fonctions d´efinies sur un intervalle[-T

2,T2]: s´eries de Fourier 17

2.3 Signaux mod

´elis´es par des fonctions p´eriodiques : s´eries de Fourier . . . . . . . 21

2.4 Signaux mod

´elis´es pour des fonctions non p´eriodiques : transform´ee de Fourier . 25

2.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.2 D

´efinition de la transform´ee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.3 Propri

´et´es de la transform´ee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4.4´Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.5 Un exemple illustratif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31

2.5 Limites de la mod

´elisation des signaux par des fonctions . . . . . . . . . . . . . 32

2.6 Au-del

`a des fonctions : les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36

2.6.1 D

´efinition des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6.2 Op

´erations de base sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

2.6.3 Transform

´ee de Fourier d'une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.6.4 Transform

´ee de Fourier de fonctions (au sens des distributions) . . . . .44

2.7 Exemples d'analyse fr

´equentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.7.1 Caract

´erisation de l'audition humaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.7.2 Description de la bande VHF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.8 R

´esolution d'´equations diff´erentielles ou de la transform´ee de Fourier`a la transform´ee de Laplace 4

2.9 En r

´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.10 Annexe du chapitre : un exemple de scriptMatlab. . . . . . . . . . . . . . . . 55

3 Mod ´eliser et caract´eriser un syst`eme : Convolution et filtrage 57

3.1 Un exemple introductif : la compression MP3 . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 57

3.2 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2.1 Produit de convolution et syst

`eme de convolution . . . . . . . . . . . . . 59

3.2.2 Produit de convolution et distribution . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 63

3.2.3 R

´eponse harmonique d'un syst`eme de convolution`a une entr´ee sinuso¨ıdale 65

3.2.4 Produit de convolution et transform

´ees de Fourier et de Laplace . . . . . 66

3 4

3.2.5 Syst

`eme de convolution et fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . .67

3.2.6 Simulation d'un syst

`eme de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3 Filtrage fr

´equentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.3.1 L'id

´eal peut-ilˆetre atteint? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.3.2 Filtres analogiques classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 72

3.4 Filtrage ou fen

ˆetrage temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.5 Une remarque en guise de conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 90

3.6 Annexe du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91

3.6.1 Un environnement

´evolu´e de simulation "signaux et syst`emes" :Simulink91

3.6.2 Exemple de scriptMatlabpour le calcul de filtres . . . . . . . . . . . . 93

4 Autocorr

´elation et intercorr´elation des signaux d´eterministes 95

4.1 Energie et puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 95

4.1.1 D

´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.1.2 Intercorr

´elation et autocorr´elation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.1.3 Densit

´es spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.2 Quelques applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 100

4.2.1 Autocorr

´elation appliqu´ee`a l'extraction d'information d'un signal d´egrad´e 100

4.2.2 Intercorr

´elation appliqu´ee`a la mesure d'un temps de propagation . . . . 102

4.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5 De l'analogique au num

´erique105

5.1 Mod

´elisation d'un signal discret par peigne de Dirac . . . . . . . . . .. . . . . 106

5.1.1 Transform

´ee de Fourier d'un signal discret . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.1.2 Transform

´ee en Z d'un signal discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.1.3 Expression d'un signal discret bas

´ee sur un peigne . . . . . . . . . . . . 108

5.2 De la transform

´ee de Fourier d'un signal´echantillonn´e . . . . . . . . . . . . . . 109

5.3 Th

´eor`eme de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.3.1 L'enseignement de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 113

5.3.2 De l'art de bien

´echantillonner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.3.3 De l'art de reconstituer un signal continu

`a partir du signal´echantillonn´e 118

5.4 De la transform

´ee de Fourier discr`ete aux analyseurs de spectre num´eriques . . . 118

5.4.1 TFD pour le calcul du spectre de signaux

`a support fini . . . . . . . . . . 120

5.4.2 TFD pour le calcul du spectre de signaux p

´eriodiques . . . . . . . . . . . 125

5.4.3 Principe de l'analyseur num

´erique de spectre . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.5 En r

´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.6 Annexe du chapitre : exemples de scriptsMatlab. . . . . . . . . . . . . . . . 133

6 Filtrage num

´erique135

6.1 Convolution discr

`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.1.1 Produit de convolution discret et syst

`emes de convolution discrets . . . . 135

6.1.2 Syst

`eme de convolution discret et fonction de transfert . . . . . . .. . . 137

6.2 Conception de filtres

`a r´eponse impulsionnelle infinie . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.3 Conception de filtres

`a r´eponse impulsionnelle finie . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.3.1 Conception par la m

´ethode du fenˆetrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.3.2 Conception par

´echantillonnage fr´equentiel . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.4 Une remarque en guise de conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 156

6.5 Annexe du chapitre : exemples de scriptMatlab. . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.5.1 Conception de filtres RIIs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5

6.5.2 Conception de filtres RIFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

7 Des signaux d

´eterministes aux signaux al´eatoires 161

7.1 Energie et puissance pour les signaux discrets . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 161

7.2 Signaux al

´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.2.1 D

´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.2.2 Mod

´elisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

7.2.3 Quelques applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167

7.3 Mod

´elisation d'un signal par un filtre g´en´erateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

7.3.1 Filtre g

´en´erateur par la m´ethode de Yule-Walker . . . . . . . . . . . . . 168

7.3.2 La m

´ethode de Yule-Walker comme solution d'un probl`eme d'optimisation 174

7.3.3 Une application des filtres g

´en´erateurs : le codage LPC en traitement de la parole174

7.4 Annexe du chapitre : exemples de scriptMatlab. . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6

Modalit´es pratiques de STI tc2

M ERCI DE LIRE ATTENTIVEMENT LES MODALIT´ES DE FONCTIONNEMENT DE L'EN-

SEIGNEMENTSTITC2 "TRAITEMENT DESIGNAL".

- S

´eances de TD :

1. Les diff

´erentes activit´es commencent`a l'heure planifi´ee. En particulier, les respon- sables de TD sont autoris ´es`a ne pas accepter les´el`eves n'ayant pas la d´elicatesse de respecter l'horaire. Dans ce cas-l `a, ils seront port´es absents. L'enseignement de traite- ment du signal est suffisamment dense pour ne pas pouvoir se payer le luxe de perdre du temps. 8 minutes de retard sur 7 s

´eances font environ une heure en moins!

2. Un corrig

´e des exercices trait´es en TD sera disponible sur le serveur p´edagogique lorsque tous les groupes de TD auront trait ´es le sujet. Il n'y aura pas de corrig´e pour les travaux pr

´eparatoires.

- Travail pr

´eparatoire :

1. Le travail pr

´eparatoire d'une s´eance de TD est pr´epar´e par tous les´el`eves du groupe et pr

´esent´e par un (ou plusieurs)´el`eve(s) d´esign´e(s) par l'encadrant de TD`a partir de la

liste des ´el`eves, le jour de la s´eance. Parall`element, une ou (plusieurs) copie(s) seront ramass ´ees pour´evaluation. En cas de travail non effectu´e ou d'absence non justifi´ee d'un

´el`eve d´esign´e, la note sera de 0.

2. Un des exercices du test final sera pris dans l'ensemble des exercices des travaux

pr

´eparatoires.

3. Les pr

´esentations doiventˆetre claires, pr´ecises et efficaces. Elles contribuent`a pr´eparer les

´el`eves`a la communication technique.

- Le contr ˆole des connaissances de la comp´etence Savoir se d´ecompose en premi`ere session en 3 parties.

1. Correction du travail pr

´eparatoire de TD (10% de la note totale).

2. Microtest : il s'agit d'un test de 1h lors de la 4i

`eme s´eance de cours dans lequel le sujet sera r ´esolu par binˆomes (10% de la note totale).

3. Test terminal (80 % de la note totale). ATTENTION, les seuls documents autoris´es

sont des formulaires qui seront distribu ´es en cours de semestre et une feuille de papier A4 o `u les´el`eves pourront´ecrire un r´esum´e de cours1Ils rendront cette feuille avec leur copie.

1Un r´esum´e de cours ne doit pas comprendre d'´el`ements des TDs.

7 8 - Apr `es publication aupr`es des´el`eves de la note totale, deux s´eances de consultation de copies seront organis

´ees.

- Les ´el`eves qui d´esirent des pr´ecisions sur la note totale ou constatent des probl`emes au- ront un d ´elai de 3 semaines apr`es la publication des notes par le Service de Scolarit´e pour contacter le responsable du cours.Pass´e ce d´elai, aucun demande ne sera prise en compte. - A l'issue de la seconde session, la note de Savoir sera constitu´ee par la note de test de la seconde session. - Assiduit ´e : conform´ement au r`eglement de scolarit´e, la pr´esence est obligatoire pour toutes les activit ´es de STI tc2. Si c'est une condition n´ecessaire, elle n'est cependant pas suffisante pour pleinement profiter de l'enseignement de traitement dusignal.

1. Toute absence doit

ˆetre justifi´ee aupr`es de l'administration.

2. Pour la s

´eance de microtest, en plus de la justification aupr`es de l'administration, toute absence doit ˆetre signal´ee par email aupr`es du responsable de cours. Si ces deux d ´emarches sont effectu´ees, la note finale sera calcul´ee avec un poids de 90 % pour le test final. Sinon, la r `egle g´en´erale s'applique avec une note de microtest de 0.

3. En cas d'absence non justifi

´ee d'un´el`eve d´esign´e`a partir de la liste des´el`eves du groupe de TD pour pr ´esenter le travail pr´eparatoire ou pour donner sa copie, la note de travail pr ´eparatoire sera de 0. En cas d'absence justifi´ee, la note finale de Savoir sera calcul ´ee avec un poids de 90 % pour le test final au lieu de 80 %.

4. En cas d'absence non justifi

´ee en s´eance de TP de 4h, l'´el`eve ne pourra pas se pr´esenter a la s´eance de BE de 2h et aura 0 pour note de Savoir Faire de STI tc2. Encas de pr ´esence dans la s´eance de TP de 4h et d'absence non justifi´ee dans la s´eance de BE de 2h, la note de Savoir Faire sera calcul

´ee en prenant 0 pour note de BE. En cas

d'absence justifi ´ee en s´eance de TP de 4h, l'´el`eve pourra participer`a une autre s´eance a condition qu'il n'ait aucune activit´e programm´ee sur ce cr´eneau et que l'effectif du groupe le permette. Un ´el`eve ne peut se pr´esenter en s´eance de BE de 2H que s'il a effectu ´e la s´eance de TP 4h. En fin de semestre, le responsable de l'AF essaiera en fonction des possibilit ´es du planning d'organiser une s´eance de rattrapage pour le TP

4h et le BE 2h. En cas d'impossibilit

´e et d'absence justifi´ee de l'´el`eve, l'´el`eve n'aura pas de note de Savoir Faire pour l'AF.

Chapitre 1Introduction1.1 Le signal

Unsignalest une grandeur qui d´epend du tempst. Cette grandeur est souvent physique.

La grandeur d'un signal peut

ˆetre de diff´erent type :

- Information : par exemple le son qui est une variation de la pression de l'air, voir figure 1.1;

Cliquer pour

´ecouter

0123456789-0.8

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 tAlleluia du Messie de Haendel

FIG. 1.1 - Alleluia

´Energie : par exemple la tension du secteur;

- Mati `ere : par exemple un d´ebit d'eau en un point d'un canal d'irrigation.

Les outils pr

´esent´es ici concernent plus particuli`erement les signaux porteurs d'information.

Les signaux sont ce qui permet

`a l'homme de percevoir son environnement et d'interagir avec lui.

D´etectionL'homme d´etecte les signaux de son environnement (sons, odeurs, images, etc..) grˆace

a ces capteurs (oreilles, nez, yeux, etc...). TraitementIl les traite et les interpr`ete (par exemple, il isole un son particulier). G ´en´erationIl est capable de g´en´erer des signaux. 9

10 CHAPITRE1 INTRODUCTION

1.2 L'importance du signal dans nos soci´et´es contemporaines

C'est un lieu commun que d'affirmer que notre soci ´et´e contemporaine est la soci´et´e de l'informa- tion. L'information y est v ´ehicul´ee par les signaux. Face`a la masse des signaux qu'il est n´ecessaire de traiter, souvent en temps r ´eel, des syst`emes technologiques d'une grande complexit´e ont envahi notre soci

´et´e. En r´eponse aux enjeux de la soci´et´e actuelle, des m´ethodes scientifiques puissantes

ont

´et´e d´evelopp´ees pour g´erer une telle complexit´e. La maˆıtrise de ces m´ethodes devient de plus

en plus incontournable dans la pratique de l'ing ´enieur quelque soit le domaine auquel il se destine.

L'objectif de cet enseignement est de donner des bases minimales pr´ealables`a l'acquisition et`a la

ma

ˆıtrise de ces m´ethodes.

Dans le traitement de l'information, il est n

´ecessaire de

- mesurer le signal, souvent `a l'aide de capteurs (m´etrologie); - caract ´eriser et extraire le signal utile (traitement du signal); - le transmettre par un codage ad

´equat (traitement du signal).

Pour cela, le traitement du signal d

´eveloppe des m´ethodes bas´ees sur la mod´elisation math´emati- que, ces m

´ethodes´etant ensuite mises en oeuvre en g´en´eral en´electronique (num´erique) du signal

(r

´ealisation technologique).

1.3 Les signaux utiles

12345678910-10

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 k xk

FIG. 1.2 - Signal discret

Une premi

`ere classification des signaux peutˆetre faite : - Signaux en temps continu ou en temps discret : - Un signal en temps continu (ousignal continu)xest d´efini`a chaque instanttappartenant a un intervalle deR, o`uRest l'ensemble des nombres r´eels, ou`aRtout entier1. Un si- gnal continu est un mod `ele de signal analogique. Un signal analogique correspond`a une grandeur physique r ´eelle qui´evolue au cours du temps. Un exemple de signal analogique est repr ´esent´e figure 1.1. Leur´etude est fondamentale pour l'ing´enieur car les signaux

1On peut aussi d´efinir le signal surRauquel on a soustrait des ensembles de mesure nulle.

G. SCORLETTIVERSIONPROVISOIRE DU24AOˆUT2011 11

analogiques repr ´esentent l'essentiel des signaux du monde physique. - Un signal en temps discret (ousignal discret)xn'est d´efini qu'`a certains instantstksoit un vecteur de valeurs r ´eelles{x(t=tk)}. Le cas le plus important en pratique est celui o`u ?k,(tk+1-tk) =Constante=Ts. Le vecteur de valeurs2se r´e´ecrit donc{x(kTs) =xk}.

Un exemple de signal discret est pr

´esent´e figure 1.2.

Un signal

´echantillonn´e est un signal discret dont les valeurs{xk}sont issues (mesur´ees) d'un signal continu

3.Tsest alors appel´ee p´eriode d'´echantillonnage. Un exemple de si-

gnal ´echantillonn´e est pr´esent´e figure 1.3. Les signaux discrets sont le support de l'information qui est trait´ee par les syst`emes technologiques bas ´es sur l'´electronique num´erique, l'exemple le plus´evident´etant les ordinateurs. Ils constituent l' ´ecrasante majorit´e des syst`emes technologiques complexes g ´erant de l'information. Leur formidable d´eveloppement ces derni`eres d´ecennies a ouvert d'immenses possibilit ´es`a exploiter. Ils sont devenus incontournables y compris dans des syst `emes qui traditionnellement n'utilisaient pas de technologies´electroniques4. L'´etude des signaux discrets est donc fondamentale pour l'ing

´enieur car ils repr´esentent l'essen-

tiel des signaux trait ´es par les syst`emes complexes g´erant l'information. - Signaux p ´eriodiques ou non. Nous allons voir dans le chapitre qui suit que les signaux conti- nus sinuso ¨ıdaux constituent une classe fondamentale de signaux p´eriodiques. - Signaux d ´eterministes ou al´eatoires. Cette distinction sera abord´ee en fin de cours, dans le chapitre 7.

1.4 Plan du cours

tion et l'analyse spectrale des signaux continus (d

´etection

). Le chapitre 3 introduit une technique de traitement importante des signaux analogiques : le filtrage fr´equentiel. Le chapitre 4 traite des notions d' ´energie et de puissance et de leur application pour l'extraction d'information des signaux. Le chapitre 5 d ´eveloppe la mod´elisation des signaux discrets et l'´echantillonnage des si- gnaux continus. Le chapitre 6 ´etend le filtrage fr´equentiel aux signaux discrets. Enfin le chapitre 7 est une introduction aux signaux al ´eatoires avec comme application la g´en´eration de signaux.

2Bien que tr`es simple, la repr´esentation par un vecteur de valeurs r´eelles pr´esente l'inconv´enient majeur d'ˆetre un

objet math

´ematique radicalement diff´erent des fonctions qui mod´elisent les signaux continus. Nous verrons dans la

suite qu'un autre objet math

´ematique est g´en´eralement utilis´e, plus complexe qu'un vecteur. N´eanmoins, il pr´esente

l'avantage formidabled' ˆetreplusproche des fonctions :onpeut ainsibˆatirunensemble d'outilscommuns aux signaux continus et discrets.

3Il s'agit de l'op´eration d'´echantillonnage. Dans un syst`eme´electronique, cette op´eration est r´ealis´ee par un

convertisseur Analogique Num

´erique ou CAN.

4Un exemple frappant est l'automobile qui d'un syst`eme "purement" m´ecanique est devenu un syst`eme

"m

´ecatronique", c'est-`a-dire un syst`eme qui fait massivement appel aux technologies`a la fois m´ecaniques et

electroniques. De fait, c'est un syst`eme qui g`ere de l'information.

12 CHAPITRE1 INTRODUCTION

xx*

FIG. 1.3 - Signal´echantillonn´e

1.5 O `u trouver l'information? []KlA :11

1. Surle serveurp

´edagogique, sont disponibles cedocument ainsique lestransparents decours au format ´electronique. On y trouve aussi un document de cours compl´ementaire.

2. Dans les livres cit

quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15

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