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Qu'est-ce que le signal aléatoire gaussien?
- Le signal aléatoire gaussien est déduit de la variable aléatoire gaussienne. Le signal aléatoire gaussien est très important en traitement du signal en raison de sa facilité d’emploi, de l’optimalité des méthodes du second ordre pour les signaux gaussiens, et par son omniprésence liée au(x) théorème(s) central limite.
Quels sont les signaux aléatoires?
- D’autres exemples sont le signal de parole, l’électromyogramme ou la mesure de l’activité cérébrale, dont on peut espérer qu’ils ne résultent pas de « tirages au hasard », sont caractérisés comme des signaux aléatoires.
UNIVERSITE DE TECHNOLOGIE DE COMPIEGNE
Le Traitement du Signal aleatoire
SY06 partie II - Printemps 2009
P.Simard
12 mai 2009
2Table des matieres
1 Besoins de modeles aleatoires pour les signaux 5
2 Principaux resultats de la theorie des probabilites 7
2.1 Formalisation des resultats d'une experience aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Notion d'evenement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.3 Denitions de la mesure de probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.4 Quelques lois et concepts utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Variables Aleatoires : Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Denition d'une Variable Aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Loi de probabilite d'une variable aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.3 Moments d'une variable aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Etude conjointe de Variables Aleatoires : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Etude Conjointe de deux Variables Aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Etude conjointe de Variables Aleatoires : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1 Etude Conjointe de n Variables Aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Notions generales sur l'estimation ponctuelle : 21
3.1 Position du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1 Cadre general de l'estimation ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Le signal Aleatoire23
4.1 Le signal Aleatoire : denitions et proprietes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.1 Modele du Signal aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.2 Description d'un signal aleatoire : Stationnarite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.3 Description d'un signal aleatoire : ergodisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Exemple de signal aleatoire : le bruit blanc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.1 denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.2 Comportement temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2.3 Comportement frequentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
34TABLE DES MATIERES
5 Analyse spectrale des signaux aleatoires : 29
5.1 Elements de theorie de l'analyse en frequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.1.1 Theoreme de Wiener-Khintchine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.1.2 Complements : Signaux a puissance moyenne nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.1.3 Spectre d'un signal aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Notions d'estimation spectrale : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2.1 Perpective historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2.2 Theorie de l'analyse frequentielle des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2.3 Rappel : representation de Fourier des signaux discrets de longueur nie . . . . . . . . . . 35
5.2.4 Elements d'estimation spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6 Le ltrage des signaux aleatoires : 39
6.1 Rappel : ltrage d'un signal deterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.1.1 Signal a temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.1.2 Signal a temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2 Filtrage d'un signal aleatoire stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2.1 Esperance mathematique du signal aleatoire ltre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2.2 Covariance du signal aleatoire ltre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.3 Introduction aux processus ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.3.1 Denition des signaux autoregressifs (AR) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.3.2 Denition des signaux de moyenne mobile (MA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.3.3 Denition des signaux autoregressifs et de moyenne mobile (ARMA) . . . . . . . . . . . . 45
6.3.4 Exemple d'un signal AR(2) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7 Quelques references bibliographiques pour aller plus loin : 49
8 Sujets des TD de la partie II 51
8.1 Variables aleatoires et Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.2 Probabilite conditionnelle et Transmission d'un signal binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.3 Stationnarite et Ergodisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.4 Bruit Blanc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9 Matlab : Tutorial pour debuter 57
9.1 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9.2 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9.3 Les gures et les traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9.4 les M-les . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
10 UV SY06 - Les Regles d'Or du calcul 61
10.1 Regle n1 : Le carre d'une somme n'est pas la somme des carres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
10.2 Outils du traitement du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
10.3 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
10.4 Quelques denitions utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Chapitre 1
Besoins de modeles aleatoires pour les
signauxLe cadre naturel des signaux est al
eatoireDans la pratique du traitement du signal, il existe de nombreux cas ou l'application d'un raisonnement utilisant
la notion de signal aleatoire permet de denir des methodes puissantes d'analyse. Il est m^eme possible d'eviter
de commettre des erreurs indecelables dans le cadre deterministe.{ Parmi les methodes qui ont fortement marque le traitement du signal au cours des 20 dernieres annees, il faut
citer les modeles par ltrage de bruit blanc (autoregressif et moyenne mobile) qui ont permis de developper
le traitement de la parole et de developper la telephonie a bas debit.{ Parmi les erreurs indecelable dans le cadre deterministe, on peut citer les proprietes utilisant l'ergodicite, ou
qualite d'une mesure a renseigner proprement du premier coup sur le processus qui lui a donne naissance.
Par ailleurs, le cadre aleatoire est assez naturel. En eet, il est rare que l'etude d'un signal n'ait pas pour objet
d'estimer des parametres caracteristiques dont on ignore a peu pres tout avant l'etude. Ce peut ^etre par exemple
l'instant d'arrivee d'un signal dans le cas des transmissions, ou de la detection radar. Ce peut ^etre l'amplitude
d'un signal acoustique amorti par sa propagation dans un milieu particulier.De plus, la generalisation des capteurs et moyen de mesure place de plus en plus souvent l'ingenieur ou le
scientique en face de signaux diciles a decrire, presentant des uctuations imprevisibles (au moins a premierevue) et en general non repetables : dans ce cas, la recherche de parametres communs dans les dierentes mesures
se fait plus facilement dans le cadre aleatoire (par exemple en calculant des moyennes). 56CHAPITRE 1. BESOINS DE MODELES ALEATOIRES POUR LES SIGNAUX
Chapitre 2
Principaux resultats de la theorie des
probabilitesCette theorie se developpe depuis plusieurs siecles en essayant de repondre a la question suivante : Comment
formaliserune experience ou intervient lehasard?2.1 Formalisation des resultats d'une experience aleatoire
2.1.1 Denitions
Denition 1 : Une experience sera dite aleatoire si le resultat ne peut ^etre prevu a l'avance.ou si la repetition
de la m^eme experience peut fournir des resultats dierents.Denition 2 : On denit
l'ensemble de tous les resultats possibles d'une experience aleatoireDans les situations simples,
contient une collection denombrable d'elements!1;!2;:::Exemples : { jete de 1 de. =fface1;face2;face3;face4;face5;face6g { jeu de pile ou face =fface;pileg Dans ces 2 exemples, le nombres de sorties possibles est ni (6 pour la premiere, 2 pour la seconde). { Tirage de pile ou face jusqu'a ce que "face" apparaisse. =f!1;!2;:::gDans ce dernier cas, le nombre d'elements est inni.!icorrespond a la sortie de "face" au ieme tirage.
Dans la plupart des experiences aleatoires utilisees en ingenierie, n'est pas une collection denombrable. Lesexemples precedents sont des exemples classiques utilises pour l'enseignement des probabilite, mais ne corres-
pondent pas aux problemes auxquels doit face un ingenieur.On peut parfois denir un ensemble
non denombrable, mais conservant un sens physique intuitif. Par exemple,si on etudie le probleme suivant : une lampe est mise en service a l'instantt0et on note sa duree de fonction-
nement. On peut considerer que =f!:! > t0g.!est alors un instant particulier sur la demi droite reellet0;+1.Dans certaines situations,!symbolise la sortie de l'experience aleatoire, mais n'a pas forcement une valeur
precise ou un sens physique : on observe et surtout on decrit le resultat par l'intermediaire d'une variable
aleatoire (cette notion est denie plus loin). 78CHAPITRE 2. PRINCIPAUX RESULTATS DE LA THEORIE DES PROBABILITES
2.1.2 Notion d'evenement
Denition 3 : On appelle "evenement" une proposition logique relative au resultat d'une experience aleatoire.
Exemple : a propos de l'experience "jete de 1 de"
{ Proposition 1 "le resultat du jet de de est un nombre superieur a 4" { Proposition 2 "le resultat du jet de de est un nombre pair" Chacune de ces propositions appelle une reponse positive ou negative des que le tirage sera eectue.Tout sous-ensemble de
peut ^etre considere comme une evenement. En eet, un evenement est une propositioncorrespondant a divers resultats possibles de l'experience. On peut donc trouver une equivalence entre n'importe
quelle proposition logique et le sous-ensemble des resultats possibles de l'experience qui valide cette proposition.
Exemple :
Proposition 1E=f5;6gLorsque
n'est pas un ensemble denombrable, la situation est en generale identique.Exemple : si l'experience consiste a attendre la panne d'un composant a partir d'un instanttO, alors on peut
ecrire =f!:! > t0g. L'evenement "le composant tient plus d'un an" s'ecrira bien sous la formeE=f!: ! > t0+ 1ang
Denition 4 : On appelle "sigma-algebre" (noteeCpar la suite) une collection particuliere d'evenements
veriant les 3 axiomes suivants : -Cn'est pas vide. -siA2CalorsA2C (evenements complementaires) -8A1;A2;:::;An2Calors1[ i=1A i2C On peut verier que ces 3 axiomes entrainent les resultats suivants : -siA;B2CalorsA[B2CetA\B2C (evenement union ou intersection de 2 evenements)2C(evenement certain)
-; 2C(evenement impossible) Denition 5 : On appelle espace probabilisable le couple ( ,C). |Exemples : { Jeu de pile ou face avec 1 piece =fp;fg C comprend des evenements comme "le resultat est p" ou "le resultat est f ou p" { Jeu de pile ou face avec 2 pieces =f(p;p);(p;f);(f;p);(f;f)g C comprend plus d'evenements possibles comme "au moins 1 p" { Duree de vie d'un composant electronique =ft: 0t 1g Ce cas est tres dierent des autres puisque cet ensemble n'est pas denombrable,contient un morceau deR.Cpeut contenir des evenements comme "la duree de vie du composant est inferieur a 5 ans" ou "la duree
de vie du composant est innie".2.1.3 Denitions de la mesure de probabilite
On va maintenant se munir d'une mesure sur ces evenements. Ce besoin s'est fait sentir tres t^ot, et a donne 2
denitions devenues classiques, puis un formalisme general. {Approche par les denombrementsSiAest un evenement sur
, on attribue aAla mesure :Pr(A) =NAN
(2.1) N A: nombre de cas favorable a A, c'est a dire tels que A est vrai.2.1. FORMALISATION DES R
ESULTATS D'UNE EXPERIENCE ALEATOIRE9
N: nombre de tous les resultats possibles de l'experience (card(Exemple du jeu de de :
Pr("le resultat est un nombre pair") =
36=12 Note : Cette denition conduit evidemment a 0Pr(A)1. Par ailleurs, cette denition n'a de sens que si tous les evenements consideres sont equiprobables. {Approche par les frequences relatives :
En repetant l'experience susamment de fois (nfois), on peut esperer mesurer Pr(A) en comptant le nombre
de fois ou on observe queAest vrai (nA) par rapport au nombre total d'experiences realisees. On ecrit alors :
Pr(A) = limn!1n
An (2.2) Cette approche permet d'experimenter des evenements qui ne sont pas equiprobables.Le resultat des approches precedentes est de fournir des regles pour associer un nombre compris entre 0 et 1 a
un evenement, en relation avec ses chances d'^etre vrai. Ce choix sera maintenu d'une facon generale pour denir
la notion de probabilite comme mesure d'un evenement. {denition axiomatiqueDenition 6 : On appelle probabilite sur
,Cune applicationP:C![0;1]
A7!Pr(A)(2.3)
telle que : { Pr( ) = 1 { SiA1;A2;:::;An2Csont des evenements incompatibles alors Pr n[ i=1A i! =nX i=1PrAiUne loi de probabilite doit donc se comprendre comme une mesure des evenements. Du point de vue purement
theorique, cette denition est satisfaisante, et toute fonction veriant ces axiomes est acceptable. Cependant,
le choix dePsera tres important si on veut l'utiliser pour predire des occurences d'evenements dans un
probleme reel. Denition 7 : On appelle espace probabilise le triplet ,C,PProprietes :
{ La mesure de l'ensemble vide est nulle :Pr(;) = 0 (2.4)
{ Evenements complementaires :Pr(A) = 1Pr(A) (2.5)
{ SiABalorsPr(A)Pr(B) (2.6)
{ Union de deux evenements :Pr(A[B) = Pr(A) + Pr(B)Pr(A\B) (2.7)
{ SifBigi=1;nest une partition deC, alors8APr(A) =nX
i=1Pr(A\Bi) (2.8)Une facon de se convaincre de ces resultats consiste a representer les ensembles concernes sous forme de bulles
et dassocier, par exemple, la notion de mesure de probabilite avec la mesure de la surface representee.
Exemple :
Pr(A[B) = Pr(A) + Pr(B)Pr(A\B) (2.9)
10CHAPITRE 2. PRINCIPAUX RESULTATS DE LA THEORIE DES PROBABILITESFigure2.1 { Graphe ensembliste
2.1.4 Quelques lois et concepts utiles
1.Probabilites conditionnelles
Intuitivement, si dans un jeu de 2 des, on s'interesse a l'evenement "somme=8", il est assez facile par
denombrement de trouver une probabilite de 536. Si on suppose que l'on observe d'abord le premier de,
et que celui-ci donne un 3, il ne reste plus alors qu'une possibilite pour verier l'evenement (le second
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