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Qu'est-ce que le signal aléatoire gaussien?
- Le signal aléatoire gaussien est déduit de la variable aléatoire gaussienne. Le signal aléatoire gaussien est très important en traitement du signal en raison de sa facilité d’emploi, de l’optimalité des méthodes du second ordre pour les signaux gaussiens, et par son omniprésence liée au(x) théorème(s) central limite.
Quels sont les signaux aléatoires?
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Cours et exercices corrigés
Mathématiques
pour le traitement du signalMaïtine Bergounioux
2 eédition
© Dunod, 2010, 2014
5 rue Laromiguière, 75005 Paris
www.dunod.comISBN 978-2-10-071042-3
Illustration de couverture : © DigitalvisionLes auteurs et l"éditeur ne pourront être tenus responsables des éventuels
problèmes liés à l"utilisation des informations présentes dans ce livre. La série " Mathématiques pour le Master/SMAI » propose une nouvelle génération de livres adaptés aux étudiants de Master niveau M1 et aux élèves ingénieurs. Leur adéquation au cursus LMD et aux outils de calcul modernes sont au service de la qualité scienti?que. La SMAI (Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles) assure la directionéditoriale grâce à un comité renouvelé périodiquement et largement représentatif
des différents thèmes des mathématiques appliquées et de leur évolution : analyse numérique, probabilités appliquées, statistique, optimisation, systèmes dynamiques et commande, traitement d"images et du signal, ?nance, recherche opérationnelle, etc. Son ambition est de constituer un ensemble d"ouvrages de référence.Avant-propos
Ce cours est issu d"un enseignement donn´e au sein du MASTER de Math´emati-ques d"Orl´eans ets"adresse `adesmath´ematiciens d´esireux de connaıtre lestechniques
de base de traitement du signal.A contrario, il peut aussi int´eresser des sp´ecialistes de traitement du signal qui souhaitent avoir un point de vue math´ematique sur les outils qu"ils utilisent fr´equemment. Cet ouvrage se veut donc une introduction `ala discipline plus qu"un ouvrage pointu destin´e`a des sp´ecialistes du domaine. Pour le lecteur qui souhaite en savoir davantage nous renvoyons `a la bibliographie qui per- met d"approfondir les diff´erents sujets. Nous avons souhait´e donner de nombreuses applications tout au long de l"ouvrage et proposons comme tout livre de !cours" qui se respecte quelques exercices ou sujets de travaux pratiques. Nous nous sommes volontairement plac´es dans un cadre unidimensionnel : les diff´erents concepts (no- tion de fr´equence, transformation de Fourier, transformation en ondelettes, etc.) sont g´en´eriques et plus faciles `apr´esenter dans ce contexte. Le cas des signaux bi-dimen- sionnels que sont les images sera abord´e dans [3] : les techniques contenues dans le pr´esent livre y seront adapt´ees et d"autres m´ethodes, plus sp´ecifiques au traitement d"image, largement d´evelopp´ees. Le signal unidimensionnel le plus accessible par excellence ´etant le signal sonore, nous avons consacr´e un court chapitre `a l"analyse vocale (ou traitement de la parole), l`a aussi sous forme d"introduction. Pour le traite- ment du son musical nous renvoyons `a l"ouvrage de P. Guillaume [10] qui fourmille d"exemples en liaison directe avec la musique. Nous avons choisi de ne parler que de techniques d´eterministes en laissant de cot´elesm´ethodes stochastiques, faute de place et de comp´etences. Toutefois, le point de vue probabiliste est tr`es utile en signal et tr`es pr´esent dans la mani`ere dont lesing´enieurs pr´esentent leurs r´esultats. Il est aussi fondamental dans la th´eorie du co-
dage et de l"information (au sens de Shannon) qui n"est pas abord´ee dans cet ouvrage. Nous renvoyons `a [13] chapitre 5, [14] chapitre 10, [16] partie 2 ou [1] Tome 1, cha- pitres 4 et 5 pour une pr´esentation !stochastique"du traitement du signal. Une partie des informations, exemples, illustrations contenus dans ce livre a ´et´e r´ecolt´ee au fil de mes investigations sur Internet. Je remercie tous les anonymes (et W IKIPEDIA!) qui ont contribu´edefait`a enrichir cet ouvrage. Cette nouvelle ´edition propose de nouveaux exercices et corrige quelques co-quilles. Un chapitre a ´et´e ajout´e`alapremi`ere ´edition : il s"agit d"une ouverture vers
4 le traitement du signal 2D, cest-`a-dire le traitement dimage. Les outils expos´es pour le traitement du signal 1D sont fondamentaux d`es quon sint´eresse au cas bidimen- sionnel. Nous donnons en quelques pages des pistes pour la g´en´eralisation de ces outils.Orl´eans, le 18 mars 2014.
Table des mati`eres
1 Introduction.........................11
2 Analyse spectrale des signaux unidimensionnels........17
2.1 Signaux analogiques p´eriodiques ...............17
2.1.1 Les s´eriesdeFourier..................17
2.1.2 Repr´esentation ponctuelle d"une s´eriedeFourier.......24
2.1.3 Exemplesetterminologie................27
2.2 La transformation de Fourier discr`ete(DFT)etlaFFT.......32
2.2.1 CalculdescoefficientsdeFourier.............32
2.2.2 Propri´et´es de la transform´ee de Fourier discr`ete.......35
2.2.3 L"algorithme de FFT..................38
2.2.4 Utilisation de la FFT sous SCILAB
c? ou MATLAB c? .....422.3.1 Propri´et´esdelatransformationdeFourier..........45
2.3.2 Th´eor`eme d"inversion de Fourier dansL
1 pRq........522.4.1 Les fonctions `ad´ecroissance rapide............56
2.4.2 L"espaceSpRq....................57
2.4.3 Transformation de Fourier inverse surSpRq........59
2.5TransformationdeFourier-Plancherel .............60
2.5.1 Extension `aL
2 pRq...................602.5.2 Coefficient de Fourier versus Transformation de Fourier . . . . 63
2.5.3 Application : calcul de transform´ees de Fourier usuelles . . . . 63
2.7Exercices.........................67
2.9Solutions.........................75
3 Analyse corr
´elative des signaux................81
3.1.1 Notations-Abr´eviations.................81
6TABLE DES MATI`ERES
3.1.2 Matrice des covariances.................82
3.1.3 Analyseencomposantesprincipales(ACP).........83
3.2 Fonctions de corr´elationdesignaux ..............83
3.2.1 D´enitions......................83
3.2.2 Quelques propri´et´es des fonctions de corr´elation des signaux
analogiques .....................863.2.3 Densit´e spectrale de puissance ..............89
3.2.4 Cas des signaux num´eriques...............90
3.2.5 Exemples......................90
3.3 D´etection de signaux p´eriodiques...............92
3.3.1 D´etection par autocorr´elation dun signal p´eriodique noy´edans
dubruit.......................933.3.2 D´etection par intercorr´elation dun signal p´eriodique noy´edans
dubruit.......................943.4 Mesure de retard entre signaux al´eatoires............95
3.5Exercices.........................99
3.7Solutions.........................103
4 Filtrage............................111
4.1 Syst`emes.........................111
4.1.1 Quelques d´efinitions..................112
4.1.2 Propri´et´es alg´ebriques des syst`emes............113
4.2 Filtres lin´eaires.......................116
4.2.1 Filtres fondamentaux..................118
4.2.2 Masse (impulsion) de Dirac . ..............120
4.3 Filtrage analogique.....................123
4.3.1 Filtres dynamiques...................123
4.3.2 Exemples......................125
4.3.3 Filtrage et corr´elation .................131
4.3.4 Exemples de filtres du premier et du deuxi`eme ordre (d"apr`es
[18])........................1334.4 Filtrage num´erique.....................134
4.4.1 Filtrage num´erique lin´eaire...............134
4.4.2 Filtres lin´eaires discrets et ´equations aux diff´erences . . . . . 137
4.4.3 Transformation enz..................139
4.4.4 Fonctiondetransfert..................143
4.4.5 Exemples......................143
4.5Exercices.........................144
4.7Solutions.........................151
TABLE DES MATI`ERES7
5.1.1 PeignedeDirac....................164
5.1.2 Convolution entre une fonction etΔ
a ...........1665.1.3 Transform´ee de Fourier deδ
a ..............1675.1.4 D´eveloppement en s´erie de Fourier du peigne de Dirac . . . . 168
5.1.5 Transform´eedeFourierdupeignedeDirac.........171
5.1.6 Transform´ee de Fourier d"un signal p´eriodique........172
5.2 Formule de Poisson dansL
1 pRq................1735.2.1 Application `al"´etude d"un signal ´echantillonn´e .......176
5.3 Th´eor`eme d"´echantillonnage de Shannon............177
5.3.1 D´emonstration dans le cas g´en´eral.............182
5.3.2 ´Echantillonnage et calcul num´erique du spectre - Aliasing . . . 1855.4Exercices.........................189
5.6Solutions.........................195
6 Analyse temps-fr
´equence...................201
6.1 Introduction........................201
6.2 Principe d"incertitude....................203
6.2.1 Comportementstemporeletspectrald"unsignal.......203
6.2.2 Signaux `a dur´ee finie ou `a spectre born´e..........205
6.2.3 Troncature du signal en temps ou en fr´equence........207
6.3 Transform´ee de Fourier `afenetre glissante(STFT)........207
6.3.1 Fenetrage......................207
6.3.2 LesformulesdeGabor.................211
6.3.3 Comparaison des m´ethodes de Fourier et Gabor.......215
6.3.4 M´ethodes d"analyse..................217
6.3.5 Estimation deladensit´e spectrale depuissance d"un signal num´e-
rique........................2176.4 Distribution de Wigner-Ville.................219
6.5 La classe de Cohen.....................222
6.5.1 Positivit´e ......................222
6.5.2 La classe de Cohen...................222
6.7Exercices.........................226
6.9Solutions.........................229
8TABLE DES MATI`ERES
7 Analyse temps-´echelle Ondelettes..............235
7.1 Transform´ee en ondelettes..................235
7.1.1 D´efinition des ondelettes . . ..............239
7.1.2 Ondelettes dans l"espace physique.............241
7.1.3 Transform´ee de Fourier des ondelettes...........242
7.2 Transform´ee en ondelettes continue : inversion..........243
7.2.1 Exemples......................244
7.3 Les ondelettes orthogonales..................248
7.3.1 Probl`eme des moments de l"ondelette...........251
7.4 Analyse multi-r´esolution dansL
2 pRq..............2527.5 Algorithme rapide de d´ecomposition en ondelettes.........256
7.6 Filtrage par ondelettes....................260
7.7Exercices.........................261
7.9Solutions.........................265
8 Introduction
`a l"analyse vocale................2698.1 Caract´eristiques physiques et perceptives des sons . .......269
8.1.1 Sons p´eriodiques simples : hauteur, intensit´e ........269
8.1.2 Sons p´eriodiques complexes : hauteur, intensit´e,timbre....271
8.1.3 Sons ap´eriodiques...................272
8.1.4 R´esum´e des qualit´esd"unson..............273
8.2 Reconnaissance des sons vois´es................275
8.2.1 Sons vois´es, non vois´es,pitch..............275
8.2.2 Spectrogrammedeparole................276
8.2.3 Analyse LPC - Pr´ediction lin´eaire.............281
8.3Exemple.........................282
8.3.1 Reconnaissance automatique d"un son vois´e par corr´elation . . 282
8.3.2 Lesformants.....................283
8.4Exercices.........................284
8.5 Travaux pratiques (chapitre 8 et synth`ese)............286
8.6Solutions.........................290
9 Versletraitementdesimages.................291
9.1 Image analogique/ image num´erique..............291
9.2 ´Echantillonnage et quantification. . ..............2929.3 La transformation de Fourier 2D : outil de filtrage.........293
9.4 Corr´elation d"images num´eriques...............295
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