Pascal Lainé Ensembles-Applications Exercice 1 : Soit : → définie PDF

Injection surjection

http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00003.pdf

MÉTHODES ET EXERCICES

Du mal à démarrer ? 305. Corrigés des exercices. 306. CHAPITRE 12. GÉOMÉTRIE. 325 de la bijection. → Exercices 1.11 et 1.14. Pour déterminer l'application.

Corrigé du TD no 11

bijection réciproque voir l'exercice suivant). Exercice 11. 1. Soit la fonction f : [−1

Corrigé du TD no 6

Or ici n est un entier naturel donc ⌊n⌋ = n. Autrement dit

Exercices du chapitre 2 avec corrigé succinct

Cette application est-elle injective? surjective? bijective? Que faudrait-il modifier pour qu'elle devienne bijective ? Solution : Elle est injective car x1

Untitled

application bijective. Exercice 5: Soit f: R2 R2 telle que f(x y) = (x + y

MON ECOLE A LA MAISON

Une application d'un ensemble E dans un ensemble F est une bijection si et seulement si elle est à la fois injective et surjective. Exercice de fixation. On

Exercices de mathématiques - Exo7

Exercice 4. Soit f une application de R dans R. Nier de la manière la plus bijective. 2. On suppose maintenant que fn(x) = x. Déterminer la matrice de f ...

Série dexercices no2 Les fonctions Exercice 1 : images et

R une fonction bijective et impaire sur le domaine E. Alors sa bijection réciproque f 1 est impaire sur f(E). 7. Soient f et g deux bijections d'un ensemble

Injection surjection

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MÉTHODES ET EXERCICES

Corrigés des exercices Théorème de la bijection pour les fonctions numériques ... Pour démontrer que f : E ?? F est injective sur E : on se donne.

Injection surjection

https://math.univ-lille1.fr/~bodin/exo4/selcor/selcor03.pdf

Exercices du chapitre 2 avec corrigé succinct

Exercice II.3 Ch2-Exercice3. Soit f : R+ ? R définie par f (x) = x. Cette application est-elle injective? surjective? bijective? Que.

Leçon 01- Correction des exercices

f n'étant ni injective ni surjective f n'est pas bijective. c) Pour que la fonction soit bijective il faut que l'équation f(x) = y ait une et une seule.

Untitled

1. fainsi définie est-elle injective ? surjective ?bijective? Exercice 2: Soit l'application f définie comme suit : Corrigé Fiche de TD 2. fix) = 3x+ 5.

Pascal Lainé Ensembles-Applications Exercice 1 : Soit : ? définie

Allez à : Correction exercice 1 : Une fonction est bijective si et seulement si elle est injective et surjective donc cette fonction n'est pas.

Corrigé du TD no 11

(pour un calcul plus détaillé d'une bijection réciproque voir l'exercice suivant). Exercice 11. 1. Soit la fonction f : [?1

Série dexercices no2 Les fonctions Exercice 1 : images et

Calculer le domaine de définition des fonctions f définies de la façon suivante : de R symétrique par rapport à 0 et f : E ! R une fonction bijective et.

Injection surjection bijection - e Math

jest injective et surjective donc bijective Correction del’exercice6 N 1 Pour z=x+iy le module de ez =ex+iy =exeiy est ex et son argument est y 2 Les résultats : ez+z0=e zez0 ez =e e z =(ez) 1 (ez)n =enz 3 La fonction exp n’est pas surjective car jezj= ex > 0 et donc ez ne vaut jamais 0 La fonction exp n’est

TD 9 Bijections et fonctions réciproques usuelles - heb3org

Exercice 11 : [corrigé] 1 Montrerque:?x ? [?1;1]cos ? 2 ?Arcsin(x) =cos(Arcos(x)) Endéduire:?x ? [?1; 1] Arcos(x)+ Arcsin(x)= ? 2 2 Retrouver le résultat précédent en étudiant la dérivée de la fonction f dé?nie sur [?1; 1]par f(x)= Arcos(x)+Arcsin(x) Exercice 12 : [corrigé] 1

1 Bijection et fonctions réciproques

Démontrer que g f est encore bijective et que (g f)?1 = f?1 g?1 2 La somme de deux bijections est-elle une bijection? Exercice 9 (Fonction impaire et bijective) Soit f: I ? J une fonction impaire et bijective (I est donc symétrique par rapport à 0) Démontrer que J est symétrique par rapport à 0 puis montrer que f?1 est impaire

Pascal Lainé

Ensembles-Applications

Exercice 1 :

Soit ݂ǣܫ՜ܬ

1. Donner des ensembles ܫ et ܬ

2. Donner des ensembles ܫ et ܬ

3. Donner des ensembles ܫ et ܬ

4. Donner des ensembles ܫ et ܬ

Allez à : Correction exercice 1 :

Exercice 2 :

Dire (en justifiant) pour chacune des applications suivantes si elles sont injectives, surjectives, bijectives :

Allez à : Correction exercice 2 :

Exercice 3 :

Soit ؿܫԹ et ؿܬԹ, deux intervalles de Թ. Soit ݂ǣܫ՜ܬ

1. Montrer que ݂ est injective.

On pourra montrer la contraposée (et on rappelle que ݔଵ്ݔଶ équivaut à ݔଵ൏ݔଶ ou ݔଶ൏ݔଵ)

2. ܭ tel que ݂ǣܫ՜ܭ

Allez à : Correction exercice 3 :

Exercice 4 :

Soit ݂ǣԳଶ՜Գ définie pour tout ሺ݊ǡ݉ሻא Soit ݃ǣԳ՜Գଶ définie pour tout ݊א

1. ݂ est-elle injective ?

2. ݂ est-elle surjective ?

3. ݃ est-elle injective ?

4. ݃ est-elle surjective ?

Allez à : Correction exercice 4 :

Exercice 5 :

Soient

Où ܧ

Les fonctions sont-elles injectives, surjective ? Comparer ݂ל݃ et ݃ל

Allez à : Correction exercice 5 :

Exercice 6 :

Soit ݂ une application de ܧ vers ܧ

Montrer que ݂ est surjective.

Pascal Lainé

Allez à : Correction exercice 6 :

Exercice 7 :

݂ǣԳ՜Գ définie pour tout ݊א

1. Existe-t-il ݃ǣԳ՜Գ telle que :݂ל݃ൌܫ

2. Existe-t-il ݄ǣԳ՜Գ telle que :݄ל݂ൌܫ

Allez à : Correction exercice 7 :

Exercice 8 :

Soit ݂ǣԺ՜Ժ définie par ݂ሺ݊ሻൌ-݊

1. Existe-t-il une fonction ݃ǣԺ՜Ժ telle que ݂ל݃ൌܫ

2. Existe-t-il une fonction ݄ǣԺ՜Ժ telle que ݄ל݂ൌܫ

Allez à : Correction exercice 8 :

Exercice 9 :

Soit ݂ǣܧ՜ܨ une application, où ܽܥݎ݀ሺܧሻൌܽܥݎ݀ሺܨ

Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes (i) ݂ est injective (ii) ݂ est surjective (iii) ݂ est bijective

Allez à : Correction exercice 9 :

Exercice 10 :

Répondre aux questions qui suivent, en justifiant, le cas échéant, votre réponse par un bref argument, un

calcul ou un contre-exemple.

1. Si les applications ݑǣԳ՜Ժ et ݒǣԺ՜Գ ݑלݒל

aussi bijective. Vrai ou Faux, justifier.

2. ݂ǣԳଷ՜Գǣሺܽǡܾǡܿ

(i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni

injective

Justifier.

3. Soit ݊אԳךሼ-ǡͳሽ߮ǣԺ՜Գ ݈א

euclidienne de ݈ par ݊ est une application.

(i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni

injective

Justifier.

4. Soient ܽǡܾǡܿǡ݀אԺ tels que ܽ݀െܾܿ

Allez à : Correction exercice 10 :

Exercice 11 :

1. Soient ݍଵאԳךሼ-ǡͳሽ et ݍଶאԳך

Montrer que :

2. Soit ݂ǣԺൈԳך

Pascal Lainé

3 a. Montrer que ݂ est injective ? b. ݂ est-elle surjective ?

Allez à : Correction exercice 11 :

Exercice 12 :

Pour un entier ݊אԳ on désigne par ܫ

1. On suppose ݊൒-. Combien y-a-t-݂ǣܫଶ՜ܫ

2. A quelle condition portant sur les entiers ݉ et ݊ peut-on définir une application ݂ǣܫ௠՜ܫ

injective, surjective, bijective ?

Allez à : Correction exercice 12 :

Exercice 13 :

Soient ܨ, ܧ et ܩ trois ensemble et soient ݂ǣܧ՜ܨ et ݃ǣܨ՜ܩ

1. Montrer que si ݂ et ݃ sont injectives alors ݃ל

2. Montrer que si ݂ et ݃ sont surjectives alors ݃ל

3. Que peut-on conclure sur ݃ל

4. Montrer que si ݃ל

5. Montrer que si ݃ל

6. Si à présent ݂ǣܧ՜ܨ et ݃ǣܨ՜ܧ

suivants : a. ݃ל݂ൌܫ b. ݂ל݃ൌܫ c. ݂ל݂ൌܫ

Allez à : Correction exercice 13 :

Exercice 14 :

Soient ܺ et ܻ deux ensembles non vides et ݂ une application de ܺ dans ܻ. Une application ݏ, de ܻ

ܺ, telle que ݂לݏൌܫ

1. Montrer que si ݂ admet au moins une section alors ݂ est surjective.

2. Montrer que toute section de ݂ est injective.

Une application ݎ, de ܻ dans ܺ, telle que ݎל݂ൌܫ

3. Montrer que si ݂ possède une rétraction alors ݂ est injective.

4. Montrer que si ݂ est injective alors ݂ possède une rétraction.

5. Montrer que toute rétraction de ݂ est surjective.

6. En déduire que si ݂ possède à la fois une section ݏ et une rétraction ݎ, alors ݂ :

ݎൌݏሺൌ݂ିଵ par conséquent).

Allez à : Correction exercice 14 :

Exercice 15 :

1. Soit ݂ ሼͳǡ-ǡ͵ǡͶሽ dans lui-même définie par :

Déterminer ݂ିଵሺܣሻ lorsque ܣൌሼ-ሽ, ܣൌሼͳǡ-ሽ, ܣ

2. Soit ݂ Թ dans Թ définie par ݂ሺݔሻൌݔଶ. Déterminer ݂ିଵሺܣሻ lorsque ܣൌሼͳሽ, ܣ

Allez à : Correction exercice 15 :

Exercice 16 :

1. Soit ݂ǣԹଶ՜Թ définie par ݂ሺݔǡݕሻൌݔ. Déterminer ݂ሺሾ-ǡͳሿൈሾ-ǡͳሿሻ, ݂ିଵሺሾെͳǡͳሿሻ.

Pascal Lainé

2. Soit ݂ǣԹ՜ሾെͳǡͳሿ définie par ݂ሺݔሻൌ...ሺߨ

Allez à : Correction exercice 16 :

Exercice 17 :

Soit ܦൌሼሺݔǡݕሻא

Soit ݂ǣܦ

1. Représenter ܦ

2. a. Montrer que si deux couples de réels ሺݔଵǡݕଵሻ et ሺݔଶǡݕଶሻ vérifient

Alors ሺݔଵǡݕଵሻൌሺݔଶǡݕଶሻ (autrement dit ݔଵൌݔଶ et ݕଵൌݕଶ).

b. Montrer que ݂ est injective, on pourra se ramener au système du 2.a..

3. Est-ce que ݂ est surjective ?

Allez à : Correction exercice 17 :

CORRECTIONS

Correction exercice 1 :

1. ܫൌሾ-ǡͳሿ et ܬ

2. ܫൌሾെͳǡͳሿ et ܬ

3. ܫൌሾെͳǡͳሿ et ܬ

4. ܫൌሾ-ǡͳሿ et ܬ

Allez à : Exercice 1 :

Correction exercice 2 :

݂ሺെͳሻൌ݂ሺͳሻ donc ݂

Une fonction est bijective si et

bijective. Car ݔଵ൒- et ݔଶ൒-. ݂ est injective. Pour tout ݕאԹכݔൌඥݕאԹכ

tel que : ݕൌ݂ሺݔሻ, en effet ݂ሺݔሻൌ൫ඥݕ൯ଶൌݕ donc ݂ est surjective.

݂ est bijective.

Car ݔଵ൒- et ݔଶ൒-. ݂ est injective.

Pascal Lainé

݃ est une fonction dérivable, ݃ᇱሺݔሻൌͳ൅͵ݔଶ൐- donc ݃ est strictement croissante sur Թ.

La contraposée de ݃ሺݔଵሻൌ݃ሺݔଶሻ֜ݔଵൌݔଶ est ݔଵ്ݔଶ֜

Supposons que ݔଵ്ݔଶ, alors ݔଵ൏ݔଶ (ou ݔଶ൏ݔଵ, ce que revient au même), on en déduit que ݃ሺݔଵሻ൏

݃ሺݔଶሻ car ݃ est strictement croissante, par conséquent ݃ሺݔଵሻ്݃ሺݔଶሻ, ݃ est injective.

݃ est une bijection strictement croissante de Թ sur Թ, par conséquent pour tout ݕא unique ݔא On va étudier (sommairement) cette fonction et dresser son tableau de variation.

݄ est une fonction dérivable sur Թ. ݄ᇱሺݔሻൌ-ݔ൅͵ݔଶൌݔሺ-൅͵ݔሻ

Le " ݔଷ ݔଶ ».

Les seules bijections de ؿܧԹ sur ؿܨԹ ܧ est ܨ Comme ݄ሺെͳሻൌ-ൌ݄ሺ-ሻ, ݄

Pour tout ݕאԹ il existe ݔא

Pour tout ݕא

ଶ଻ሾ il existe trois valeurs ݔ tel que ݕൌ݄ሺݔሻ, pour ݕൌସ

ଶ଻, il y en a deux pour les autres ݕ

On va étudier cette fonction, ݇ est dérivable et ݇ᇱሺݔሻൌͳ൅Ͷݔଷ

Le " ݔସ ݔ ».

Pour tout ݕ൐െଷ

య, ݕ admet deux antécédents, ݇ est ni surjective ni injective.

Pascal Lainé

Allez à : Exercice 2 :

Correction exercice 3 :

Si ݔଵ൏ݔଶ alors ݂ሺݔଵሻ൏݂ሺݔଶሻ donc ݂ሺݔଵሻ്݂ሺݔଶሻ

Si ݔଵ൐ݔଶ alors ݂ሺݔଵሻ൐݂ሺݔଶሻ donc ݂ሺݔଵሻ്݂ሺݔଶሻ

Donc ݂ est injective.

2. ܭൌ݂ሺܫ

Allez à : Exercice 3 :

Correction exercice 4 :

Donc ݂

2. ݂ሺͳǡ݌ሻൌͳൈ݌ൌ݌

Donc pour tout ݌א

݂ est surjective.

Donc ݃ est injective.

4. On va montrer que ሺͳǡͳሻ

Alors

Ce qui équivaut à

Ce qui est impossible donc ሺͳǡͳሻ ݃

Allez à : Exercice 4 :

Correction exercice 5 :

݂ est injective.

ͳ ݊ tel que ͳൌ-݊, ݂

ଶቁൌܧሺ-ሻൌ- et ݃ሺͳሻൌܧ ଶቁൌ-, donc ݃ሺ-ሻൌ݃ሺͳሻ ce qui entraine que ݃quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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[PDF] Pascal Lainé Ensembles-Applications Exercice 1 : Soit : → définie

Pascal Lainé

Ensembles-Applications

Exercice 1 :

Soit ݂ǣܫ՜ܬ

1. Donner des ensembles ܫ et ܬ

2. Donner des ensembles ܫ et ܬ

3. Donner des ensembles ܫ et ܬ

4. Donner des ensembles ܫ et ܬ

Allez à : Correction exercice 1 :

Exercice 2 :

Allez à : Correction exercice 2 :

Exercice 3 :

1. Montrer que ݂ est injective.

2. ܭ tel que ݂ǣܫ՜ܭ

Allez à : Correction exercice 3 :

Exercice 4 :

1. ݂ est-elle injective ?

2. ݂ est-elle surjective ?

3. ݃ est-elle injective ?

4. ݃ est-elle surjective ?

Allez à : Correction exercice 4 :

Exercice 5 :

Soient

Où ܧ

Allez à : Correction exercice 5 :

Exercice 6 :

Soit ݂ une application de ܧ vers ܧ

Montrer que ݂ est surjective.

Pascal Lainé

Allez à : Correction exercice 6 :

Exercice 7 :

1. Existe-t-il ݃ǣԳ՜Գ telle que :݂ל݃ൌܫ

2. Existe-t-il ݄ǣԳ՜Գ telle que :݄ל݂ൌܫ

Allez à : Correction exercice 7 :

Exercice 8 :

1. Existe-t-il une fonction ݃ǣԺ՜Ժ telle que ݂ל݃ൌܫ

2. Existe-t-il une fonction ݄ǣԺ՜Ժ telle que ݄ל݂ൌܫ

Allez à : Correction exercice 8 :

Exercice 9 :

Allez à : Correction exercice 9 :

Exercice 10 :

1. Si les applications ݑǣԳ՜Ժ et ݒǣԺ՜Գ ݑלݒל

2. ݂ǣԳଷ՜Գǣሺܽǡܾǡܿ

Justifier.

3. Soit ݊אԳךሼ-ǡͳሽ߮ǣԺ՜Գ ݈א

Justifier.

4. Soient ܽǡܾǡܿǡ݀אԺ tels que ܽ݀െܾܿ

Allez à : Correction exercice 10 :

Exercice 11 :

1. Soient ݍଵאԳךሼ-ǡͳሽ et ݍଶאԳך

Montrer que :

2. Soit ݂ǣԺൈԳך

Pascal Lainé

Allez à : Correction exercice 11 :

Exercice 12 :

1. On suppose ݊൒-. Combien y-a-t-݂ǣܫଶ՜ܫ

2. A quelle condition portant sur les entiers ݉ et ݊ peut-on définir une application ݂ǣܫ௠՜ܫ

Allez à : Correction exercice 12 :

Exercice 13 :

1. Montrer que si ݂ et ݃ sont injectives alors ݃ל

2. Montrer que si ݂ et ݃ sont surjectives alors ݃ל

3. Que peut-on conclure sur ݃ל

4. Montrer que si ݃ל

5. Montrer que si ݃ל

6. Si à présent ݂ǣܧ՜ܨ et ݃ǣܨ՜ܧ

Allez à : Correction exercice 13 :

Exercice 14 :

ܺ, telle que ݂לݏൌܫ

1. Montrer que si ݂ admet au moins une section alors ݂ est surjective.

2. Montrer que toute section de ݂ est injective.

3. Montrer que si ݂ possède une rétraction alors ݂ est injective.

4. Montrer que si ݂ est injective alors ݂ possède une rétraction.

5. Montrer que toute rétraction de ݂ est surjective.

6. En déduire que si ݂ possède à la fois une section ݏ et une rétraction ݎ, alors ݂ :

Allez à : Correction exercice 14 :

Exercice 15 :

1. Soit ݂ ሼͳǡ-ǡ͵ǡͶሽ dans lui-même définie par :

2. Soit ݂ Թ dans Թ définie par ݂ሺݔሻൌݔଶ. Déterminer ݂ିଵሺܣሻ lorsque ܣൌሼͳሽ, ܣ

Allez à : Correction exercice 15 :

2. Soit ݂ǣԹ՜ሾെͳǡͳሿ définie par ݂ሺݔሻൌ...ሺߨ