[PDF] Exercices du chapitre 2 avec corrigé succinct

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Exercices du chapitre 2 avec corrigé succinct

Exercice II.1Ch2-Exercice1

Les applicationsf1(x)AEjxj,f2(x)AEpx,f3(x)AE1px

2Å1sont-elles des applications deRdansR?

Solution:f1: oui,f2: non (f2n"est définie que surRÅ),f3: oui.Exercice II.2Ch2-Exercice2 Soit la fonctionf:R!R,f:x7!px. Donner son domaine de définitionD. Puis considérantfcomme une application deDdansR, donner l"image de cette application.

Solution:DAERÅ, ImfAERÅ(le démontrer par double inclusion, sachant que siy2RÅil peut s"écrire

yAEpy

2).Exercice II.3Ch2-Exercice3

Soitf:RÅ!Rdéfinie parf(x)AEpx. Cette application est-elle injective? surjective? bijective? Que

faudrait-il modifier pour qu"elle devienne bijective?

Solution: Elle est injective carpx

1AEpx

2)x1AEx2. Elle n"est pas surjective car ImfAERÅet non pasR, donc

elle n"est pas bijective. Elle serait bijective si on prenaitf:RÅ!RÅ.Exercice II.4Ch2-Exercice4

Montrer, en utilisant les résultats du chapitre 1, que la négation de l"implication

8x2E,8x02E, {(f(x)AEf(x0)))(xAEx0)}

est

9x2E,9x02E, {(x6AEx0)et(f(x)AEf(x0))}.

En déduire qu"une application n"est pas injective si

9x2E,9x02E, {(x6AEx0)et(f(x)AEf(x0))}.

Solution: On sait quenon(P)Q) s"écrit (Pet(nonQ), d"où

non{8x2E,8x02E, (f(x)AEf(x0)))(xAEx0)},{9x2E,9x02E, (f(x)AEf(x0))et(x6AEx0)}Exercice II.5Ch2-Exercice5

En utilisant les résultats du chapitre 1, montrer que ¡(f(x)AEf(x0)))(xAEx0)¢,¡(x6AEx0))(f(x)6AEf(x0)) En déduire qu"une applicationf:E!Fest injective si et seulement si

8x2E,8x02E,¡(x6AEx0))(f(x)6AEf(x0))¢.

Solution: Il suffit d"appliquer :

(P)Q),{(nonQ))(nonP)}.

Exercice II.6Ch2-Exercice6

SoitEAER\{¡2} et soitf:E!R,x7!xÅ1xÅ2. TrouverFAEImf. Montrer quefest bijective deEsurF. Même

Solution: Après calculs on montre que touty6AE1 admet un unique antécédent qui s"écrit xAE1¡2yy¡1 d"où (y2Imf),(y6AE1) et donc ImfAER\{1}. xÈ0,1¡2yy¡1È0,y2]12 ,1[.Exercice II.7Ch2-Exercice7 SoientEetFdeux ensembles, et soitfune application deEdansF. Montrer que la compositionidF±f est valide et queidF±fAEf. Solution:idF±f:E!F!FetidF±f(x)AEidF(f(x))AEf(x).Exercice II.8Ch2-Exercice8 etg(x)AEx¡1xÅ1.Montrerqueg±fAE¡g

Solution: Tout d"abord, comme 0 et¡1 sont exclus des domaines de définition, ces deux applications sont

effectivement bien définies. Il suffit ensuite de calculerg(f(x)). En effetg(f(x)AE1x

¡11

x

Å1AE1¡x1Åx.Exercice II.9Ch2-Exercice9

En vous souvenant de lnxetex, donner les ensembles de départ et d"arrivée permettant de dire que l"une

est l"application ré de l"autre.

SoientEetFdeux ensembles, et soitfdeEdansFqui admet une application réciproquef¡1. Montrer, à

partir de la définition def¡1quef¡1admet une application réciproque et que (f¡1)¡1AEf.

Solution:f¡1±fAEidEetf±f¡1AEidFcaractérisent (par définition) l"inverse def¡1qui est doncf.Exercice II.11Ch2-Exercice11

Vous avez montré (dans un exercice précédent) quef:R\{¡2}!R\{1},f:x7!xÅ1xÅ2est une bijection. Dé-

terminer l"expression def¡1(y).

Solution: On a déjà démontré quef¡1(y)AE1¡2yy¡1en résolvant l"équationyAEf(x).

Exercice II.12Ch2-Exercice12

etg(x)AEx¡1xÅ1. Donnerf¡1,g¡1 puis (g±f)¡1. Comparer avec le résultat de l"exerciceII.8 (g±f)¡1(y)AE(f¡1±g¡1)(y)AE11Åy1¡yAE1¡y1Åy.

Il a été montré dans l"exercice 8 que (g±f)¡1AE(¡g)¡1et l"on a bien (¡g)¡1AE1¡y1Åy(résoudreyAE¡g(x)).Exercice II.13Ch2-Exercice13

Montrer que la loi "soustraction" est une loi de composition interne dansZ. Montrer que la loi "division"

n"est pas une loi de composition interne dansZ\{0} mais que cette loi est une loi de composition interne dans

Q\{0}.

Solution: La soustraction de deux entiers relatifs est un entier relatif. Le quotient de deux entiers relatifs

peut ne pas être un entier relatif ( 23

62Z). Par contre le quotient de deux rationnels non nuls est un rationnel

non nul, en effet pq p 0q

0AEpq0qp

0les élémentsp,q,p0,q0étant tous des entiers non nuls.Exercice II.14Ch2-Exercice14

Montrer que dans un groupe (E,) l"élément neutre est unique, de même que l"élément inverse d"un élé-

ment quelconque deE. Enfin, montrer que la " règle de simplification " : siacAEbc, alorsaAEb, que vous

connaissez bien pour l"addition dansZ, s"applique dans un groupe quelconque. Solution: S"il existe deux éléments neutrese1ete2, on a e

1e2AEe1ete1e2AEe2.

Et sixa deux inversesx1etx2, on a

x

1xx2AE(x1x)x2AEex2AEx2

x

1xx2AEx1(xx2)AEx1eAEx1

d"oùx1AEx2.

On appellec1l"inverse dec, alors

acAEbc)(ac)c1AE(bc)c1)a(cc1)AEb(cc1))aeAEbe)aAEb Quelles sont les propriétés que l"on a utilisées?Exercice II.15Ch2-Exercice15 Montrerqueleslois"addition"et"multiplication"nesontpasdesloisinternesdansl"ensembledesnombres irrationnels. Solution: Par exemplep2¡p2AE0 etp2£p2AE2, or 0 et 2 ne sont pas des irrationnels!

Exercice II.16Ch2-Exercice16

Montrer que sixest irrationnel,p,qsont entiers,p6AE0 alorspxq est irrationnel.

Solution: On peut raisonner par l"absurde : on suppose quexest irrationnel,p,qsont entiers,p6AE0 ,pxq

est rationnel. On a doncxest irrationnel,p,qsont entiers,p6AE0 ,pxq AEp0q 0. Ce qui implique quexest irrationnel,p,qsont entiers etxAEp0qq

0p, ce qui est absurde.Exercice II.17Ch2-Exercice17

Montrer que la relation "Ç" n"est pas réflexive ni symétrique.

Solution: Quels que soient les réelsxety, les propriétésxÇxet (xÇy))(yÇx) sont clairement fausses.Exercice II.18Ch2-Exercice18

Montrer que :

i /( a·b),(¡b·¡a), i i/{( a·b)et(c·d)})(aÅc·bÅd), i ii/{( a·b)et(0·c)})(ac·bc), i v/La pr opriétésui vantede Rest équivalente à la propriété d"Archimède :

8aÈ0,8A2R;9n2Ntel quenaÈA.

Solution: Toutes ces inégalités se démontrent à partir des propriétés élémentaires de "·". Ainsi

{(a·b)et(c·d)}){(aÅc·bÅc)et(bÅc·bÅd)})(aÅc·bÅd). AppelonsPla propriété d"Archimède,Qla proposition

8aÈ0,8A2R;9n2Ntel quenaÈA.

On montreP)Q. Il suffit d"appliquer la propriété d"Archimède au nombre réelBAEAa On montreQ)P, il suffit d"appliquer la propositionQavecaAE1.Exercice II.19Ch2-Exercice19 Tracer le graphe de la fonction partie entièreE:R!R. Solution: On obtient une fonction en "escalier" (voir la figure1.1 ).Exercice II.20Ch2-Exercice20 Montrer que siMest un majorant deAtout réelM0¸Mest aussi un majorant. De même simest un minorant deAtout réelm0·mest aussi un minorant.

Solution: PuisqueM·M0, on a (x·M))(x·M0) et doncM0est un majorant deA. La démonstration est

la même pourm0. -2-102311 2 -2FIGURE1.1 - graphe de partie entière

Exercice II.21Ch2-Exercice21

Montrerqu"unepartieAdeRestbornéesietseulementsiilexisteunnombreM¸0telque8x2A,jxj·M (on rappelle quejxjdésigne la valeur absolue dex). Solution: Sijxj·M, alors¡M·x·Met doncAest bornée.

Réciproquement, si®·x·¯, on poseMAEmax{j®j,j¯j} et l"on a¡M·x·M. (Aidez-vous d"un dessin si cela

ne vous paraît pas évident car ce résultat est souvent utilisé).Exercice II.22Ch2-Exercice22

Montrer que l"ensembleAAE{x2R,9n2N,xAEnnÅ1} est borné. Solution: CommenÇnÅ1, il est clair que8x2A, on a 0·x·1.Exercice II.23Ch2-Exercice23 SoitaÇb, en utilisant la caractérisation de la borne supérieure, montrer que sup [a,b[AEb. Solution: On utilise la caractérisation de la borne supérieure. -8x2[a,b[, on ax·b, doncbest majorant de [a, b[, montrons que c"est le plus petit. S oitcÇb, deux cas peuvent alors se présenter -cÇa, oraest un élément de [a,b[ donccn"est pas majorant de [a,b[. -c¸aalorscÅb2 est un élément de [a,b[ qui est strictement supérieur àc, donccn"est pas majorant de [a,b[.

On vient donc de démontrer quebest le plus petit des majorants de [a,b[.Exercice II.24Ch2-Exercice24

Montrer que supAAEp2, siAAE{x2R,xrationnel etx2Ç2}. Solution: On utilise la caractérisation de la borne supérieure. -8x2A, on ax·p2

S oittÇp2, alors entre deux nombres réels il existe toujours un rationnel, d"où9q2Qtel quetÇqÇp2 et

doncq2Avérifie bientÇq.Exercice II.25Ch2-Exercice25 Montrer queaest le plus grand des minorants deIAE[a,Å1[. Solution: Raisonnons par l"absurde et supposons qu"il existe un minorantmdeItel queaÇm. Alors il

existe un réel®tel queaÇ®Çmet donc il existe un réel®appartenant àI(aÇ®) qui est strictement plus

petit quem, ce qui est absurde puisquemest un minorant deI.Exercice II.26Ch2-Exercice26

En appliquant l"axiome de la borne supérieure, démontrer que toute partieAnon vide et minorée deR

admet une borne inférieure.

Solution: Soitmun minorant deA. Alors :

(x2A))(x¸m))(¡x·¡m).

Définissons l"ensembleBAE{y2R,yAE¡x,x2A}. AlorsBest majoré par¡metBadmet une borne supérieure

(axiome de la borne supérieure)squi vérifie donc : -8y2B, on ay·s

S oittÇs, alors9y2Btel quetÇy.

Si l"on revient aux éléments deA(xAE¡y), on trouve -8x2A, on ax¸¡s

S oit¡tÈ¡s, alors9x2Atel que¡tÈx.

Ceci est la caractérisation de "¡s" est la borne inférieure deA.quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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