[PDF] TES - Cours - Fonctions exponentielles

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Fonctions exponentielles - Classe de Terminale ES Page 1

Fonctions exponentielles

1. Fonctions exponentielles de base

Fonction ↦ , avec > 0

Définition. Soit

un réel strictement positif. La suite de terme général = est une suite géométrique. La fonction exponentielle de base est le prolongement de cette suite. Elle est définie par Théorème. La fonction exponentielle de base est dérivable sur ℝ, donc continue sur ℝ.

Théorème. Pour tout réel

, on a >0.

On a représenté ci-contre la fonction

↦ 1,5 ainsi que les premiers termes de la suite 1,5. Théorème (sens de variation). En accord avec le sens de variation des suites on a que, pour une fonction exponentielle de base , avec >0

· si

> 1, la fonction ↦ est strictement croissante sur ℝ ;

· si

0<<1, la fonction ↦ est strictement décroissante sur ℝ ;

· si

=1, la fonction ↦=1 est constante sur ℝ ; Formules de calcul

Théorème. Soit

la fonction exponentielle de base > 0, = . Elle transforme les produits en sommes : ou encore

Il en résulte les formules suivantes, pour

> 0. = 1 et = ;

· pour tous réels

et , on a = et =

· pour tout réel

et tout entier , on a

· pour tout entier

> 0, le nombre " est tel que # = , on l"appelle " racine - ième de

Exemple

· 1,03=1,03×1,03 ;

2,5'=',()

',(=0,4×6,25 ; 25
16 /=2, en effet 20=16. Fonctions exponentielles - Classe de Terminale ES Page 2

2. Fonction exponentielle de base 1

Fonction exp et nombre 2 Définition. Parmi toutes les fonctions exponentielles de base , une seule vérifie 30
= 1. On appelle sa base 1, on l"appelle fonction exponentielle de base 1 ou plus simplement fonction exponentielle et on la note exp. On a donc par définition exp = 1, exp′0 = 1 et exp1 = 1.

Le nombre

1 vaut environ 2,718 > 1 donc exp est

croissante.

Pour tout

, on a 1> 0. Comme toute fonction exponentielle, la fonction exp transforme les sommes en produit. On a donc :

1= 1 ;

· pour tous réels

et , 1= 11 ; 1=: : et en particulier 11= 1 ;

· pour tous reéls

et , 1 = 1, en particulier 1'=1

Exemple

· 1=1×1=1×1 ;

1;×1'=1;'=1'; ;

11+21 =1×1+1×21=1+21' ; Résolution d"équations

Comme pour tout

Théorème. Soit

> et ? deux réels. On a

1@= 1A⇔ > = ?.

Autrement dit, deux exponentielles sont égales si et seulement si leurs exposants sont égaux.

En particulier comme

1 = 1, l"équation 1@= 1 équivaut à > = 0.

Exemple

1'=1⟺2+1=0⟺=-

1;=1'⟺3-1=2-⟺=;

0. Fonctions exponentielles - Classe de Terminale ES Page 3

3. Étude de la fonction exponentielle (de base 1)

Fonction dérivée et convexité

Théorème. La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même. Autrement dit si l"on pose

= 1, alors 3 = 1.

Exemple

Soit =2-3

1. Alors par la formule donnant la dérivée d"un produit

3 =2×1+2-3 ×1 donc en mettant

1 en facteur,

3 =2-1

1. L"étude du signe de

′ est alors très simple puisque

1>0 pour tout .

Comme 33
= 1> 0 on a le résultat suivant. Théorème. La fonction exponentielle est convexe sur Résolution d"inéquations

Théorème. Soit

> et ? deux réels. On a

En particulier comme

1= 1, on a

Exemple

Soit l"équation

0, donc F=G-∞;;

0G.

4. Fonction 1J

Définition. Étant donné une fonction

, on appelle exponentielle de la fonction définie par ↦ 1J , notée 1J.

Exemple

Les fonctions

=1' et K =1 )L! sont des exponentielles de fonction. On peut aussi écrire K =exp#) $ pour des raisons de place.

Théorème. Soit

une fonction dérivable sur un intervalle M. La fonction 1J est dérivable sur

M et 1J

3= 3× 1J, c"est-à-dire qu"en posant

= 1J , on a 3 = 3

× 1J

Exemple

Soit =1;'. Alors 3 =31;'. Soit K =1)0. Alors K3 =21)0.quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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