[PDF] INEGALITES INTEGRALES AMPHI 3 : INTEGRATION (suite). Chapitres

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AMPHI 3 : INTEGRATION (suite)

Chapitres 4 & 5INEGALITES INTEGRALES

Inegalite de Jensen :

Soientf;g:

!Rmesurables et :R!RCONVEXE, ou est un ouvert deRN. Supposons que g0 p.p. sur ;Z g(x)dx= 1;fget (f)g2 L1( Alors Z f(x)g(x)dx Z (f(x))g(x)dxDemonstration

Idee :analogie avec le casdiscret

Z f(x)g(x)dx!nX k=1f kgk;gk0 etnX k=1g k= 1Inegalite de Holder :

Soient

RNouvert,f;g:

!Rmesurables, et soient p;p0>1 t.q.1p +1p 0= 1 Alors Z jf(x)g(x)jdx Z jf(x)jpdx 1=pZ jg(x)jp0dx 1=p0 Cas particulier :p=p0= 2)l'inegalite de Cauchy-Schwarz Utilisation :montrer quefgest sommablesachant quejfjp etjgjp0le sont.Inegalite de Minkowski :

Soient

RNouvert,f;g:

!Rmesurables, et un reel p2[1;+1[. Alors Z jf(x)+g(x)jpdx 1=p Z jf(x)jpdx 1=p Z jg(x)jpdx 1=p Utilisation :permet de mettre unegeometriesur certains espaces de fonctions(inegalite triangulaire.)

INTEGRALE DE LEBESGUE ET FORMULES DU

CALCUL INTEGRAL

On a construit l'integrale de Lebesgue a partir de l'integrale usuelle des fonctions continues par morceaux par un procede de \p rolongementpa rcontinuit ede l'int egrale" fond esur la convergence monotone Ce procede permet d'etendre a l'integrale de Lebesgue la plu- part des formules bien connues sur l'integrale usuelle, comme par exemple a) l' interversion de l'ordre des integrations dans les int egrales multiples b) la formule du changement de va riables dans les int egrales multiplesLE THEOREME DE FUBINI Rappel : interversion de l'ordre d'integration dans les integrales multiples

Soient

1RN1et

2RN2ouverts, etf2Cc(

1 2).

On sait que

13x17!Z

2f(x1;x2)dx2appartient aCc(

1); et que ZZ 1

2f(x1;x2)dx1dx2=Z

1 Z

2f(x1;x2)dx2

dx 1 Z 2 Z

1f(x1;x2)dx1

dx 2; (en echangeant les r^oles des variablesx1etx2.)BUT :etendre ce resultat au cas ouf2 L1( 1

2;C)Lemme : (Fibres des ensembles negligeables)

SoitN

1

2negligeable. Pourx12

1on note

N x1:=fx22

2j(x1;x2)2 Ng

2 la bre deNau-dessus dex1.Figure

Alors, p.p. enx12

1, N x1est negligeable dans 2:

ATTENTION :ceci n'est vrai queP RESQUEP ARTOUTen

x

1, maisen g eneralpas P ARTOUTen x12

1(exo : trouver

un contre-exemple!)C 0 2 x 1 x A

BLa bre deA[B[Cau-dessus de(en trait bleu)Lemme

Theoreme de Fubini :

Soitf2 L1(

1

2;C). Alors

a) p.p. enx12

1, la fonctionx27!f(x1;x2) appartient a

L 1( 2;C); b) la fonctionx17!Z

2f(x1;x2)dx2denie p.p. sur

1appar-

tient aL1( 1;C); c) enn, on a l'egalite ZZ 1

2f(x1;x2)dx1dx2=Z

1 Z

2f(x1;x2)dx2

dx 1 Z 2 Z

1f(x1;x2)dx1

dx 2; (en echangeant les r^oles des variablesx1etx2.)Cas des fonctions mesurables positives

Theoreme de Tonelli :

Soitf:

1

2![0;+1] mesurable. Alors

a) p.p. enx12

1, la fonction

23x27!f(x1;x2)2[0;+1]

est mesurable; b) la fonctionx17!Z

2f(x1;x2)dx22[0;+1] denie p.p. sur

1est mesurable;

c) enn, on a l'egalite dans [0;+1] ZZ 1

2f(x1;x2)dx1dx2=Z

1 Z

2f(x1;x2)dx2

dx 1 Z 2 Z

1f(x1;x2)dx1

dx

2:Guido Fubini (1879-1943) et Leonida Tonelli (1885-1946)FAQ4 : comment verier quef2 L1(

1 2;C)?

Etant donnee une fonctionf:

1

2!Cmesurable, il

peut arriver que l'on sache calculer \facilement" I=Z 1 Z

2jf(x1;x2)jdx2

dx 1 ou J=Z 2 Z

1jf(x1;x2)jdx1

dx 2:

D'apres le

th eoremede T onelliappliqu e ajfj,

IouJ<+1 )ZZ

1

2jf(x1;x2)jdx1dx2=I=J<1

)f2 L1( 1 2;C):

De m^emeIouJ= +1 )f=2 L1(

1 2;C).

CHANGEMENT DE VARIABLES

Rappel :

Soient

1;

2deux ouverts deRN, et unC1-dieomorphisme

1!

2| c.a.d. que est unebijection de classe C1

sur

1dont l'inverse 1est de classeC1sur

2; 1!

2bijectionC1etdet J(x)6= 0p ourx2

1.

Notation :J(x) est la matrice jacobienne de en x2

1.

RAPPEL :sif2Cc(

2), alorsf2Cc(

1) et Z

2f(y)dy=Z

1f((x))jdetJ(x)jdx:Soient

1;

2deux ouverts deRN, et unC1-dieomorphisme

1!

2Lemme :

SiN

2est negligeable, alors 1(N)

1est negligeable.Theoreme du changement de variables :

Soitf2 L1(

2). Alors la fonctionfjdetJj 2 L1(

1) et on a la formule Z

2f(y)dy=Z

1f((x))jdetJ(x)jdxExemple 1 : changements de variables anes

SoitA2GLn(R) etb2RN; on pose( x) =Ax+b. Alors on

aJ(x) =Apourx2RN, etjdetJ(x)j=jdet(A)j 6= 0ca r A2GLn(R). Donc, sif2 L1(RN), la fonctionx7!f(Ax+b) appartient aL1(RN)et on a Z R

Nf(Ax+b)dx=1jdet(A)jZ

R

Nf(y)dy:

Cas des isometries anes :siAAT=ATA=I, alors est

une isom etrieane et Z R

Nf(Ax+b)dx=Z

R

Nf(y)dy:

Cas des homotheties :siA=Iavec6= 1, alors est

une homoth etie et Z R

Nf(x+b)dx=1jjNZ

R

Nf(y)dy:Exemple 2 : coordonnees spheriques

Soit :R+];[]0;[!R3n P

(r;;)7!(rcossin;rsinsin;rcos) ouP:=fx2R3jx10;x2= 0g(demi-plan ane, ferme dansR3.)

On ajdetJ(r;;)j=r2sin. Donc, pourg2 L1(R3n P)

Z R

3nPg(x)dx=Z

+1 0Z Z 0 g((r;;))r2sindrdd: En fait, commePest negligeable dansR3, on peut prolonger gn'importe comment surPsans en changer l'integrale. Donc, pour toutf2 L1(R3) Z R

3f(x)dx=Z

+1 0Z Z 0 f((r;;))r2sindrdd: e q r M O x 3 1 x 2 xLes coordonnees spheriques (r;;) du pointM2R3Vers la notion de mesure

A ce stade, on dispose de la notion d'

integrale de Lebesgue qui a) fournit les enonces les plus simples d' interversion limite-in- tegrale p ourles suites de fo nctionsint egrables (convergence dominee/monotone b) verie les fo rmulesusuelles du calcul int egral (changement de variables, interversion de l'ordre d'integration dans les inte- grales multiples)Or la notion usuelle d'integrale s'interpreteg eometriquement en disant que, pour toute fonctionf2C([a;b]) t.q.f0 Z b a f(x)dx= aire de (x;y)2R2axb

0yf(x)

Probleme :

Est-ce que cette notion d'integrale due a Lebesgue permet de denir et de calculer les surfaces ou les volumes de sous{en- sembles de l'espace euclidienRN?

Quels sont les ensembles dont on peut ainsi

d enir la surface ou le volume?Un paradoxe

ATTENTION : certains sous-ensembles deRNsont trop

compliques pour qu'on puisse denir leur volume.

Paradoxe (Banach-Tarski, 1924) :SoientAetBboules

ouvertes non vides deRNavecN3. Il existe alorsn2N, et 2 partitions FINIES

A=A1[:::[An;Ai\Aj=?sii6=j;

B=B1[:::[Bn;Bi\Bj=?sii6=j;

et des isom etriesanes Tit.q.T(Ai) =Bi, pour 1in. (Ainsi, on peut decouper une o range en un nomb reFINI de morceaux puis reassembler ces morceaux apres deplacement pour fabriquer une boule de m^eme rayon que la T erre Utilise l'AXIOME DU CHOIX)impossible de dessiner ces morceaux... Stefan Banach (1892-1945) et Alfred Tarski (1902-1983)ENSEMBLES MESURABLES

NotationFonction indicatrice deA:1A:x7!1 six2A

0 six=2ADenition :

Un sous-ensembleARNest mesurable ssi1Aest une fonction mesurable

Proprietes de base :a)?etRNsont mesurables

b)A;BRNmesurables)AnBmesurable c) si ( An)n0est une famille DENOMBRABLE de parties mesurables de RN, alors leur reunion et leur intersection n0A net\ n0A nsont mesurables. Les ensembles mesurables forment une tribu de parties de R

NExemples d'ensembles mesurables :

a) tout intervalle de Rest une partiemesurable de R; b) tout pav ede RNest une partiemesurable de RN; c) tout ouvert de RN, toutferm ede RNest une partiemesu- rable de RN; d) toute partie n egligeable de RNestmesurable dans RN.

REMARQUE :on ne peut pas CONSTRUIRE de partie non

mesurable deRNpar un algorithme=SUITE denombrable d'operations elementaires (reunion, intersection, passage au complementaire...) a partir de sous-ensembles elementaires (paves, par ex.). Mais il EXISTE des parties non mesurables deRN(par ex-quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17

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