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MINISTERE DE L"ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE

LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE ABDELHAMID IBN BADIS - MOSTAGANEM

Faculté des Sciences Exactes et de l"Informatique Département de Mathématiques et d"Informatique

Filière : Mathématiques

MEMOIRE DE FIN D"ETUDES

Pour l"Obtention du Diplôme de Master en Mathématiques Option :Modélisation, Contrôle et Optimisation

THEME :

Généralisations de quelques inégalités intégrales

Etudiant :"DOUBBI BOUNOUA MOHAMED»

Encadrant :" DAHMANI ZOUBIR »

Année Universitaire 2016/2017

Résumé

Dans ce mémoire de Master on a généralisé certains trvaeaux de Awan et al. JIPAM2008.D"autres

trvaeaux de Kashuri et al. publié en 2016 ont été aussi généralisés dans notre mémoire.

Dédicaces

A ma mère

Pour son amour et son courage

A mon père

Pour m"avoir inculqué les valeurs auxquelles je tiens tant

A mes sœurs et à mes frères

Vous êtes dans mon cœur

A ma famille et aux gens que j"aime

3

Remerciments

Je tiens à remercier les personnes les plus chères à mon cœurs, à ma familles d"exceptions

pour leurs soutiens moraux et leurs présences permanentes. En premier lieu, Je tiens à exprimer ma profonde gratitude à monsieur Dahmani Zoubir

pour s"avoir encadré avec un grand cœur, pour sa disponibilité, pour les précieux conseils

constructifs et je n"oublie pas sa patience et gentillesse. En...n, j"adresse mes plus sincères remerciement à tous mes amis, qui me ont toujours soutenu et encouragé au cours de la réalisation de ce modeste travail.

Table des matières

Résumé1

Dédicases 2

Remerciments 2

Introduction générale i

1 Description du calcul fractionnaire 1

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Fonctions spéciales du calcul fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1 Fonction Gamma d"Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.2 Fonction Béta d"Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Integrale fractionnaire au sens de Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Quelques généralisation des inégalités de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4 Résultats fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.1 Introduction et motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

TABLE DES MATIÈRES 5

3.2 Résultats classique sur la fonctionnelle de Chebyshev à poids quelconque . . . 17

3.3 Résultats fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Inégalités Intégrales avec Fonctions Convexes 25

4.1 Intoduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3 Quelques inégalités des intégrales classiques à fonctions convexes . . . . . . . . 25

4.4 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.5 Résultats fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Conclusion 38

Bibliographie 39

INTRODUCTION GENERALE

En mathématiques, le calcul fractionnaire est une branche de l"analyse qui étudie des

L"objet ce travail est d"étudier et généraliser quelque inégalités intégrales classiques en

utilisant l"approche fractionnaire au sens de Riemann-Liouville. Dans ce mémoire, nous allons proposer une introduction, quatre chapitre et une conclusion. Dans le premier chapitre on intoduit des notions de base de l"integrale fractionnaire au sens de Riemann-Liouville. Le deuxième chapitre est consacré à établir quelque inégalités integrables de type Chebychev à un poids positif et généraliser des résultat classiques publiés dans [2]. type Chebychev avec un poids quelconque.

En...n, notre dernier chapitre sera consacré à l"étude de quelque inégalité intégrales des

fonction convexe et on généralise aussi quelques théorèmes des intégrales classique donné

dans [1].

Chapitre 1

Description du calcul fractionnaire

1.1 Introduction

(fonction Gamma d"Euler, fonction Béta d"Euler), et on introduira l"approche de l"integrale

fractionnaire, celle de Riemann-Liouville et on présentera quelques unes de leur propriétés.

1.2 Fonctions spéciales du calcul fractionnaire

1.2.1 Fonction Gamma d"Euler

Dé...nition 1.2.1Soitx2R+. La fonction gamma d"Euler est donné par : (x) =+1Z 0 t x1exp(t)dt:

Quleques propriétés de la fonction Gamma :

1)(1) = (2) = 1:

2)(x+ 1) =x(x);8x2R+:

3)(n+ 1) =n!;8n2N:

Proposition 1.2.1La fonction gamma d" Euler admet des poles simple pour tout point m2ZnN: Remarque 1.2.1La fonction(:)peut-être considérée comme une généralisation de la fonc- tion factorielle.

1.3 Integrale fractionnaire au sens de Riemann-Liouville 2

1.2.2 Fonction Béta d"Euler

Dé...nition 1.2.2Soitx;y2R+. La fonction Béta d"Euler est donné par :

B(x;y) =1

Z 0 t x1(1t)y1dt:

Proposition 1.2.2Soitx;y2R+, Alors, on a

1)B(x;y) =B(y;x):

2)B(x;y)(x+y) = (x)(y):

1.3 Integrale fractionnaire au sens de Riemann-Liouville

Dé...nition 1.3.1Soientfune fonction continue sur[a;b]etun nombre réel positive. L"integrale fractionnaire d"ordreau sens de Riemann-Liouville defest donné par : J af(x) =1()x Z a (xt)1f(t)dt; >0; x > a: J

0af(x) =f(x):

Exemple 1.3.1Soientx > a; 0;Alors, on a

J a(xa)=(+ 1)(++ 1)(xa)+;8 >1:(1.3.1) Proposition 1.3.1Soientf: [a;b]!R; f2C[a;b]et;0;Alors, on a J aJaf(x) =J+af(x)(1.3.2) =JaJaf(x); a < xb:

Chapitre 2

avec poids positif2.1 Introduction

On considère la fonctionnelle de Chebyshev [5]

T(f;g) :=1ba

Zb a f(x)g(x)dx 1ba Zb a f(x)dx1ba Zb a g(x) avecfetgsont deux fonctions integrable sur[a;b]. L"un des inégalités les plus utilisées estT(f;g)0;telle quefetgont le même sens de variation. Et sifest une fonction bornée par des nombre réelmetMetgest une fonction continue avecg02L1[a;b];On a [16] jT(f;g)j ba8 (Mm)jjg0jj1:

2.2 Rappels

Dé...nition 2.2.1[5] Soientf;g: [a;b]!Retp: [a;b]!R+des fonctions integrable sur[a;b]:La fonctionnelle de Chebyshev à un poids est donnée par

T(f;g;p) :=1R

b ap(x)dxZ b a (pfg)(x)dx1R b ap(x)dxZ b a (pf)(x)dx1R b ap(x)dxZ b a (pg)(x)dx

2.3 Quelques généralisation des inégalités de Chebyshev 4

Remarque 2.2.1Pourp(t) = 1;On aT(f;g;1) =T(f;g);et la même chose pourT(f;g;p) , sifetgont le même sens de variation alors on aT(f;g;p)0: Théorème 2.2.1[2] Siest une fonction continue sur[a;b]etpune fonction positive et integrable sur[a;b];avec(0)22L1[a;b], Alors

T(;;p)1P

2(b)Z b a~P(x)(0)2(x)dx(2.2.1) telle queP(x) =Rx ap(u)duet~P(x) =P(x)Rb atp(t)dtP(b)Rx atp(t)dt: Dé...nition 2.2.2Soitf: [a;b]!Rune fonction mesurable. On dit quef2Lp[a;b];Si bR ajf(x)jpdx <+1;81p <+1: Dé...nition 2.2.3Soitf: [a;b]!Rune fonction mesurable. On dit quef2L1[a;b];si

9c2R+tel quejfj< cp.p.x2[a;b].

2.3 Quelques généralisation des inégalités de Cheby-

shev Théorème 2.3.1[3] Soientf;g: [a;b]!Rcontinues ayant le même sens de variation.

Alors, pour tout >0;on a

(ta)(+ 1)Ja(fg)(x)(Jaf(x))(Jag(x))0;8x[a;b]:(2.3.1) Lemme 2.3.1Soientf;g: [a;b]!Rcontinues etp: [a;b]!Rune fonction continues et positive. Alors on a 1J ap(x)Ja(pfg)(x)1J ap(x)Ja(pf)(x)1J ap(x)Ja(pg)(x)

12[()Jap(x)]2x

Z ax Z a (2.3.2)

2.4 Résultats fractionnaires 5

2.4 Résultats fractionnaires

On démontre le lemme suivant,

Lemme 2.4.1Soientf;g: [a;b]!Rdeux fonctions intégrables,p: [a;b]!R+une fonction integrable etg02L1[a;b];alors8 >0;8x2]a;b];on a 1J ap(x)Ja(pfg)(x)1J ap(x)Ja(pf)(x)1J ap(x)Ja(pg)(x)

1[Jap(x)]2x

Z a g 0(t)8 :t Z a (xy)1Hx(y)p(y)dy9 dt:(2.4.1) telle que H x(y) =1()h J a(pf)(x)f(y)Jap(x)i :(2.4.2)

Preuve :

Par une integration par partie, on obtient

x Z a g 0(t)8 :t Z a (xy)1Hx(y):p(y)dy9 dt=g(t)t Z a (xy)1Hx(y)p(y)dyjt=xt=a x Z a g(t)(xt)1Hx(t)p(t)dt:

Et donc

x Z a g 0(t)8 :t Z a (xy)1Hx(y):p(y)dy9 dt=g(x)x Z a (xy)1Hx(y)p(y)dy x Z a g(t)(xt)1Hx(t)p(t)dt: On remplaceHx(y)etHx(t)par (2.4.2), alors on trouve x Z a g

0(t)ft

Z a (xy)1Hx(y)p(y)dygdt =g(x)Ja(pf)(x)1()x Z a (xy)1p(y)dyg(x)Jap(x)1()x Z a (xy)1f(y)p(y)dy

Ja(pf)(x)1()x

Z a (xt)1g(t)p(t)dt+Jap(x)1()x Z a (xt)1g(t)f(t)p(t)dt:

2.4 Résultats fractionnaires 6

Par conséquent

x Z a g

0(t)ft

Z a +Jap(x)Ja(pfg)(x)Ja(pf)(x)Ja(pg)(x):

D"où

xZ a g

0(t)ft

Z a (2.4.3)

Si on multiplie (2.4.3) par

1[Jap(x)]2, on obtient (2.4.1).

Théorème 2.4.1Soit: [a;b]!Rune fonction continue,p: [a;b]!R+une fonction integrable et(0)22L1[a;b];Alors pour toute >0etx2[a;b];on a 1J ap(x)Ja(p2)(x)h1J ap(x)Ja(p)(x)i

21[Jap(x)]2x

Z a e

Px(t)[0(t)]2dt;(2.4.4)

tel que : e

Px(t) =1()h

J a(xp(x))t Z a (xy)1p(y)dyJap(x)t Z a (xy)1yp(y)dyi :(2.4.5)

Preuve :

Pourf(x) =x, dans le lemme2.4.1,on a

1J ap(x)Ja[x(pg)(x)]1J ap(x)Ja[xp(x)]1J ap(x)Ja(pg)(x)

1[Jap(x)]2x

Z a g

0(t)ft

Z a (xy)1Hx(y)p(y)dygdt;(2.4.6) tel que H x(y) =1()[Ja(xp(x))yJap(x)]:(2.4.7) On remplaceHx(y)par1()[Ja(xp(x))yJap(x)]dans (2.4.6), 1J ap(x)Ja[x(pg)(x)]1J ap(x)Ja[xp(x)]1J ap(x)Ja(pg)(x)

1[Jap(x)]2x

Z a g 0(t)8 :t Z a (xy)11()[Ja(xp(x))yJap(x)]p(y)dy9 dt:

2.4 Résultats fractionnaires 7

Donc 1J ap(x)Ja[x(pg)(x)]1J ap(x)Ja[xp(x)]1J ap(x)Ja(pg)(x)

1[Jap(x)]2x

Z a gquotesdbs_dbs11.pdfusesText_17

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