[PDF] TH`ESE DE DOCTORAT DES SCIENCES Inégalités intégrales et

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Universit

´e Djillali Liabes de Sidi Bel-abbes

Facult

´e des Sciences Exactes

D

´epartement de Math´ematiques

TH

ESE DE DOCTORAT DES SCIENCES

Sp

´ecialit´e : MATH´EMATIQUES

Option : ANALYSE FONCTIONNELLE

Pr

´esent´ee par

BENAISSABOUHARKETIn

´egalit´es int´egrales et op´erateurs

de type Hardy et autres.MEMBRES DU JURY: Pr:Abbes Benaissa Univ:Djillali Liabes de Sidi Bel Abbes President; Pr:Soufiane Mokeddem Univ:Djillali Liabes de Sidi Bel Abbes Examinateur;

Pr:Ali Moussaoui Univ:de Tlemcen Examinateur;

MCA:Mohamed Ziane Univ:de Tiaret Examinateur;

Pr:Ali Hakem Univ:Djillali Liabes de Sidi Bel Abbes Coencadreur; Pr:Abdelkader Senouci Univ:de Tiaret Encadreur:Date de soutenance le 25/11/2020.

REMERCIEMENTS

J"aimerais en premier lieu remercier ALLAH qui m"a donn

´e la volont´e et le courage pour

la r

´ealisation de ce travail.

J"exprime mes profonds remerciements

`a mon directeur de th`ese, Pr :Abdelkader Se- nouciprofesseur`a l"universit´e Ibn-Khaldoun de Tiaret pour l"aide comp´etente qu"il m"a apport ´ee, pour sa patience et son encouragement`a finir ce travail. Je lui suis´egalement reconnaissant pour le temps cons ´equent qu"il m"a accord´e, ses qualit´es scientifiques et sa sympathie. J"ai beaucoup appris `a ses cˆot´es et je lui adresse ma gratitude pour tout cela. Je remercie Pr :Ali HakemProfesseur`a l"universit´e Djillali Liabes de Sidi Bel Abbes de nous avoir support ´e malgr´e sa surcharge p´edagogique et scientifique. Je remercie Pr :Abbes BenaissaProfesseur`a l"universit´e Djillali Liabes de Sidi Bel

Abbes, pour l"immense honneur qu"il me fait de pr

´esider le jury de cette th`ese.

Je remercie Pr.Soufiane MokeddemProfesseur`a l"universit´e Djillali Liabes de Sidi Bel Abbes. C"est un grand honneur pour qu"il ait accept

´ee d"ˆetre membre du jury de cette th`ese.

Je remercie Pr.Ali MoussaouiProfesseur`a l"universit´e de Tlemcen, pour le grand hon- neur qu"il me fait en acceptant d"

ˆetre membre du jury de cette th`ese.

Je remercie M.C.A.Mohamed ZianeMaitre de conf´erence "A"`a l"universit´e Ibn Khal- doun de Tiaret, pour l"honneur qu"il me fait en acceptant de lire cette th `ese et d"ˆetre membre du jury . 1

Table des mati

`eres

0 Introduction

4 1 G ´en´eralit´es et in´egalit´es classiques.5 1.1 G ´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Les in

´egalit´es classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Les in

´egalit´es de Young. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Les in

´egalit´es de H¨older.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.3 In

´egalit´es de Minkowski.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Notions sur les in

´egalit´es de Hardy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 In

´egalit´es classiques de Hardy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2 In

´egalit´e int´egrale de Hardy pour(01.3.3 In ´egalit´e int´egrale de Hardy(p<0).. . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 In ´egalit´es inverses de Minkowski et in´egalit´es integrales de Hardy.29

2.1 Sur les in

´egalit´es inverses de Minkowski et les in´egalit´es int´egrales de Hardy.29

2.1.1 Introduction

29

2.1.2 R

´esultats principaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 les in

´egalit´es pond´er´ees inverses de Minkowski et les in´egalit´es int´egrales de type Hardy. 36

2.2.1 Introduction

36

2.2.2 R

´esultats principaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Sur quelques in

´egalit´es pond´er´ees du type de Hardy.50

3.1 Introduction

50

3.2 Pr

´eliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3 R ´esultats principaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4 In ´egalit´es integrales pond´er´ees pour un op´erateur integral avec des fonctions monotones. 61

4.1 Introduction

61

4.2 Pr

´eliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2 4.3 R ´esultats principaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Conclusion

82

Bibliographie

83
3

Chapitre 0

Introduction

4

Introduction

En 1920 G. H. Hardy a

´etabli et prouv´e une in´egalit´e portant son nom. Cette in´egalit´e est appliqu

´ee dans diff´erents domaines de math´ematiques telles que les´equations aux d´eriv´ees

partielles, les espaces fonctionnels et autres. Elle a connu plusieurs g

´en`eralisations et elle

continue d"attirer l"attention des math ´ematiciens dans la recherche des in´egalit´es et leurs ap- plications.

Dans cette th

`ese on commence par´etablir et prouver quelques in´egalit´es int´egrales : in ´egalit´es inverses de Minkowski et celles du type de Hardy. Ensuite on aborde quelques op ´erateurs de type Hardy et autres o`u sont obtenus plusieurs resultats. La th ´ese comprend quatre chapitres, une conclusion et une bibliographie. Dans le premier chapitre, on donne un aperc¸u sur les in

´egalit´es classiques de Young,

H

¨older, Minkowski et celles de Hardy.

Au deuxi

`eme chapitre on´etudie les in´egalit´es inverses de Minkowski et celles de Hardy relatives aux fonctions monotones. La premi `ere partie de ce chapitre, a fait l"objet d"une pu- blication internationle [ 3 ]. Ensuite les r ´esultats de cette premi`ere partie sont g´en´eralis´es et font l"objet d"un travail d

´eja soumis ( voir [5]).

Le troisi

`eme chapitre est consacr´e`a l"´etude des op´erateurs de type de Hardy, o`u on consid ´ere quelques nouveaux types d"in´egalit´es int´egrales classiques de Hardy en incluant plusieurs param `etres et en utilisant de nouveaux op´erateurs pond´er´esS1etS2.( Publication parue voir [ 4

Dans le quatri

´eme chapitre est consid´er´e un certain op´erateur ( g´en`eral ) o`u sont´etablies

et prouv

´ees des in´egalit´es int´egrales pond´er´ees pour des fonctions monotones non-n´egatives

avec les param `etrespetq[24]. Ces in´egalit´es int´egrales sont´etendues aux diff´erents cas de figures des param `etrespetqet en particulier le cas des param´etres n´egatifs. Ce capitre a fait l"objet d"un travail soumis ( voir [ 6 A la fin de manuscrit on trouve une conclusion et une bibliographie assez d

´etaill´ee.

4

Chapitre 1

G ´en´eralit´es et in´egalit´es classiques. 1.1 G

´en´eralit´es

Notations :.

1)eest le sous ensemble deWde mesure nulle.

2)p.p veut dire presque partout.

3)jWjd´esigne la mesure de Lebesgue de l"ensembleW.

4) On d

´efinit le support d"une fonction continuefpar

suppf=fx2Rn;f(x)6=0g:

5)C(Rn)est L"ensemble des fonctions continues surRn.

6) On dit quef2C0(Rn)sifest continue surRn, et`a support compact.

Lemme 1.1.1.(Lemme de Fatou) Soient8k2N, les fonctions fknon-n´egatives et mesu- rables sur un ensemble mesurableWRnet presque partout surWexiste la limite finie ou infinielimk!¥fk(x) =f(x). Alors Z W f(x)dxlimk!¥Z W fk(x)dx;(1.1) et Z W f(x)dxsup k2NZ W fk(x)dx:(1.2)

PreuveVoir [25], [12].

Remarque 1.1.1.Silimk!¥fk(x) = +¥surW,jWj>0, on poseR

Wf(x)dx= +¥.

5 Th ´eor`eme 1.1.1.(Convergence monotone) Soient8k2N, fkdes fonctions non-n´egatives et mesurables sur un ensembleWmesurable,WRn, de plus fk(x)fk+1(x)p.p. Alors lim k!¥Z W fk(x)dx=Z W limk!¥fk(x)dx:(1.3)

PreuveVoir [25], [12].

Th ´eor`eme 1.1.2.(Convergence domin´ee) Soient8k2N, fkdes fonctions mesurables sur un ensembleWmesurable,WRnet p.p. existe surWla limite finielimk!¥fk(x). S"il existe une fonction G(x)int´egrable et non-n´egative, telle que p.p. surW fk(x)G(x);(1.4) alors8k2Nles fonctions fket la fonctionlimk!¥fk(x) =f(x)sont int´egrables surWet lim k!¥Z W fk(x)dx=Z W f(x)dx:(1.5)

PreuveVoir [25], [12].

Remarque 1.1.2.La plus petite possible fonction dans (1.4) est la fonction G d´efinie comme suit :

G(x) =sup

n2Njfn(x)j;8x2E: Th

´eor`eme 1.1.3.(Th´eor`eme de Fubuni)

Soit E un ensemble mesurable deRn(ERn)et FRm(un ensemble mesurable) et la fonction f(x;y)int´egrable sur EF. Alors pour presque tous les x2E f(x;y)est int´egrable sur F, pour presque tous les y2F f(x;y)est int´egrable sur E et : Z

EFf(x;y)dxdy=Z

E Z F f(x;y)dy dx=Z F Z E f(x;y)dx dy:(1.6)

PreuveVoir [25], [12].

Cons ´equence 1.1.Si f(x;y)est mesurable sur EF et est finie l"une des int´egrales : Z E Z F f(x;y)dy dx;Z F Z E f(x;y)dx dy; alors toutes les intquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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