INEGALITES INTEGRALES
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Théorème2.5.(Intégrale définie)Onsu pposequelafonctionré ellef:[a,b]Restinté grablesur
0Note2.8.Dansl'exp ression
a b f(x)dx,aetbsontlesbo rnesd'intég ration,xestlav ariabl ed'inté-gration;c'estunevariab lemuette.Ellepe utdoncêt reremplacéepartoute autrevaria ble,àl'exception
dece llesdesbornesd'int égratione tbiensûrdelavaria bleutiliséepournomméelafonc tion.Ainsi,si f:
[a,b]Restinté grablesur[a,b],onaleségalitéssuivantes: a b f(x)dx= a b f(t)dt= a b f(u)du= a b f(v)dv= a b f(y)dy.2.2Que lquespropriétésdesintégral esdéfinies
Onsu pposedanslalistedespr opriétésci- dessou sque[a,b]estunin terval lefermébornédeR,fetg
sontdesfon ctions intégrablessur[a,b].1.Qu andlesbornesd 'intégratio nsontconfondues:
a a f(x)dx=02.La relat iondeChasles:
?c?[a,b], a c f(x)dx+ c b f(x)dx= a b f(x)dx3.Qu andonpermutele sbor nesd'intégration:
b a f(x)dx=- a b f(x)dx4.La linéa rité:
i. a b (f+g)(x)dx= a b f(x)dx+ a b g(x)dx ii. ?λ?R, a b (λf)(x)dx=λ a b f(x)dx5.Qu andlegraphed'u nedesf onctionsesttou joursaudessusdel' autre:
Sif?gsur[a,b],alors
a b f(x)dx? a b g(x)dx2.2Quel quespropriétésdesintég ralesdéfinies11
6.Com paraisondelavaleurabsoluedel'i ntégra leetde l'intégraledelavaleura bsolue :
a b f(x)dx a b |f(x)|dx2.3Pri mitives:calculd'intégralesdéfinies
Souvent,danslapratique,cal culerun eintég raledéfinieseramènerapournous,àch ercheruneprim itive
pourlafon ctionà intégrer. Définition2.9.Soitf:[a,b]Runefonc tionréelle.Onappellepri mitivedef,toutefonctiondéri- vableFdéfiniesur[a,b]etvér ifiantF =f.Exemple2.10.
•Surl' intervalle[-2,3],lafonctionFdéfinieparF(x)=-cos(x)estunep rimitive delafonction fdéfiniesur[-2,3]parf(x)=sin(x). •SurR,lafonctionx- 1 2 x 2 estune primitive def:x-x;lafonctionx- 1 2 x 2 +7enes t uneaut re. Théorème2.11.Sil afoncti onf:[a,b]Radmetunepri mitiveF,alorslesprimitivesdefsont touteslesfoncti onsGdela formeG=F+λpourλparcourantR. Corollaire2.12.Soientf:[a,b]Runefonc tionréellesupposéeadmett reuneprimitiveF,x 0 ?[a,b] ety 0 0 enx 0 Exemple2.13.Soitf:[-2,2]Rdéfinieparf(x)=-x.fadmetuneuniqu eprimitiv eF,prenant lava leur3en1.PourdéterminerF,onécritquetouteprimitivedefestdel aforme F(x)=- 1 2 x 2oùλestunec onstanter éelle.LaconditionF(1)=3fixelava leurde laconstanteλ.F(1)=3siet seule-
mentsiλ= 7 2 .Conclusion:F(x)= 1 2 (-x 2 +7). Note2.14. Uneprim itive(quellequ'ellesoit)de f:[a,b]Restauss iappeléeintégral eindéfiniedef etest notée f(x)dx(noterl'absence debornes). Remarque2.15.(conséque ncedelalinéari tédeladérivation)1.Po urdeuxfoncti onsf,g:[a,b]R,siFetGsontdesprimi tivesr espectivesdefetg,alorsla
somme(F+G)estunep rimitived e(f+g).2.Si festunep rimitived ef,alorspourtoutréelλ,(λF)estunep rimitive de(λf).
Théorème2.16.(théorème delamoyenne)Soitf:[a,b]Runefonc tionréellecontinuesur [a,b].Ilexisteunpointc?[a,b]telquef(c)= 1 b-a a b f(x)dx. (Lenom breréel 1 b-a a b f(x)dxestlamoy enne delafonctionfsurl'in tervalle[a,b]). Enut ilisantlethéorèmedelamoyen neonpe utprouverlethéorèmefonda mentalsuivant: Théorème2.17.Soitf:[a,b]Runefonc tionréellecontinuesur[a,b].Etantdonnéunpointx 0 x 0 x f(t)dtestunep rimitivede f.Cetteprimitive s'annuleenx 0 Danslaprat ique,c 'estlecorollairesuivantque l'onappliquep ourcalculer l'intégraledéfinied'une fonctiondontonconna îtuneprimitiv e. Théorème2.18.Soitf:[a,b]Runefonc tionréellecontinuesur[a,b].SiFestunep rimitived ef, alorsona a b f(x)dx=F(b)-F(a).12Intégration:fonctionréelled'unevari ableréelle.
2.4Tech niquesd'intégration
Danscepara graphe ,ondécritlestechniquesdebaseàmaî triserpou rmeneràbienl ecalculd'unein té-
graledéfinie.2.4.1Primiti vesdefonctionsusuelles
Lali stedeprimitives defonc tionsusuellesàconnaître: Primitivesdequelquesfonctionsusu ell es(λestunec onstanterée lle)1)pou rα?R,α-1,ona
x dx= xα+1
α+1
2) 1 x dx=ln|x|+λ3)p ourα?R,α0,ona
e αx dx= 1 e αx4)p ourunréelastrictementpositifetdifférentde1,
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