[PDF] [PDF] INEGALITES INTEGRALES - Université dAntananarivo

View - Download [PDF] INEGALITES INTEGRALES - Université dAntananarivo

Previous PDF

Next PDF

UNIVERSITE D"ANTANANARIVO

FACULTE DES SCIENCES

DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE

Mémoire pour l"obtention du Diplôme d"Etudes Approfondies (DEA)

Option :MATHEMATIQUES PURES

Spécialité :ANALYSE HARMONIQUE

Présenté par :

RAHOBIARINAIVO Herinirainy

INEGALITES INTEGRALES

Soutenu publiquement le 11 Novembre 2009

Devant la commission d"examen composée de :

Président :Monsieur RANDRIAMBELOSOA Germain Eugène,

Professeur.

Rapporteur :Monsieur RAJOELINA Michel Martin,

Professeur titulaire.

Examinateur :Monsieur RAZAFIMANANTSOA Gérard,

Maître de Conférences.

ii

REMERCIEMENTS

"La crainte du Seigneur est le commencement de la sagesse, et la connaissance du Très-

Saint, voilà ce qu"est l"intelligence".

Bible, Ancien Testament, Proverbes, IX, 10.

"Quelquefois on a besoin de dire des choses difficiles, mais on devrait tâcher de les dire aussi simplement que l"on peut".

G.H.Hardy(1877-1947) mathématicien britanique.

Mes premières pensées vont vers DIEU qui m"a donné la foi, le courage et la force pour mener à bien et achever ce mémoire. Je remercie Monsieur RANDRIAMBELOSOA Germain Eugène, Professeur, pour m"avoir accordé une partie de son temps en acceptant de présider cette séance. Non seulement il a prêté attention au fruit de mes efforts, mais aussi, et surtout il ne s"est jamais ménagé pour transmettre le savoir qu"il a en lui et dont j"avais grandement besoin. Je tiens particulièrement à remercier Monsieur RAJOELINA Michel Martin, Professeur titulaire, pour avoir accepter de m"encadrer et pour avoir fait preuve d"une grande patience pendant la mise en oeuvre de ce mémoire. Les connaissances qu"il m"a transmises et le reflet de sa personne m"ont poussé à aller jusqu"au bout de ce que j"ai entrepris. J"adresse aussi mes remerciements à Monsieur RAZAFIMANANTSOA Gérard, Maître de Conférence, pour avoir accepté de faire partie du jury en tant qu"examinateur, pour les conseils et pour sa disponibilité dans le domaine de la documentation. Je tiens également à remercier toute ma famille, qui m"a toujours soutenu et qui n"a jamais perdu foi en moi pour parvenir à mes fins. Enfin, et non des moindres, je remercie toutes les personnes qui ont contribué à faire aboutir ce mémoire, en particulier mes collègues mathématiciens. Je vous adresse toute ma reconnaissance et toute ma gratitude car, seul, je n"y serai jamais arrivé.

Table des matières

Introduction 1

I Inégalités fondamentales 1

I.1 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.1.2 Propriétés de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.1.3 Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.2 Autour de l"inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.2.1 Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.2.2 Inégalité de Schwarz pour l"intégrale double . . . . . . . . . . . . . 2 I.3 L"inégalité Arithmético-géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.4 L"inégalité de Carleman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II Inégalités sur les intégrales 6

II.1 Avantages de la dissection deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II.2 Une amélioration de l"Inégalité de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 II.3 Une majoration ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 II.4 Une intégrale divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 II.5 Inégalité de Jensen : version intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

III Application des inégalités de base 16

III.1 Intégration d"une majoration ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 III.2 Version centrée de l"inégalité de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 III.3 Inverse sur un carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 III.4 Utilisation d"une intégrale pour estimer une fonction . . . . . . . . . . . . 21 III.5 Amélioration du Théorème 4 : condition plus faible . . . . . . . . . . . . . 23 III.6 Inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 III.7 Introduction d"un facteur pour une estimation . . . . . . . . . . . . . . . . 26 III.8 Moyen pour arriver à une contradiction de Littlewood . . . . . . . . . . . . 28 III.9 Estimation d"une intégrale par monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 III.10 Version continue d"une inégalité de type Carleman . . . . . . . . . . . . . 30 III.11 Inégalité de Grüss : estimation d"un produit d"intégrales . . . . . . . . . . 32

TABLE DES MATIÈRESiv

Conclusion 36

Bibliographie 37

Introduction

Presque la majeure partie des problèmes d"Analyse tourne autour de problèmes d"éstimations et de problèmes aux limites. Dans ce mémoire tiré du livre de J. Michael Steele intitulé "The Cauchy-Schwarz Master Class : An Introduction to the Art of Mathe- matical Inequalities" (Cambridge University Press, copyright 2004)[1], on va essayer de partir de l"inégalité de Cauchy-Schwarz, comme guide initiale, pour parvenir à quelques inégalités sur les intégrales. En se basant sur quelques inégalités classiques comme l"inégalité de Cauchy-

Schwarz et les inégalités de convexité, on peut en déduire d"autres inégalités importantes

sur les intégrales. Par rapport aux sommes discrètes, les intégrales sont plus avantageuses car on peut les manipuler plus facilement. Par exemple, on peut les découper en autant de morceaux que l"on veut, et l"intégration par parties est plus élégante que la sommation par paquets. De plus, plusieurs résultats sur les sommations sont déduits de ceux des

intégrales comme l"inégalité Arithmético-Géométrique et l"inégalité de Carleman.

Le but est donc chercher l"art de la manipulation des inégalités fondamentales

pour les raffiner puis les appliquer afin de donner naissance à d"autres inégalités telles les

Inégalités intégraleset de chercher de nouvelles astuces pour estimer les intégrales. Dans le premier chapitre, on procèdera à des rappels relatifs à des inégalités fon-

damentales qui se rapporteront surtout à l"inégalité de Cauchy-Schwarz et l"inégalité de

Jensen. Le deuxième chapitre exposera les manières de les exploiter pour aboutir à des résultats aussi importants qui ont une certaine familiarité avec les notions de base concer-

nant les inégalités intégrales. Enfin, le troisième chapitre sera orienté vers d"autres ap-

plications de ces inégalités et l"utilisation de nouvelles techniques pour l"estimation de quelques intégrales classiques concernant la minoration et la majoration des restes.

Chapitre I

Inégalités fondamentales

I.1 Fonctions convexes

I.1.1 Définitions

Définition:

Soit I un intervalle deR. Une fonction f :I→Rest dite convexe si pour toutx,y?I,

Géométriquement:

Si P,Q et R sont trois points du graphe de f avec Q entre P et R, alors Q est au dessous de la corde [PR].On dit que le graphe{(x,y)?R2:y=f(x)}est convexe.

En terme de pentes:

I.1.2 Propriétés de convexité

Propriété 1.Si f est convexe sur I, les fonctions dérivées à gauchef? -et à droitef? existent et sont croissantes sur I,donc f est continue, et on a :f? +.Cf[11]et[15]. Propriété 2.Supposons f deux fois dérivable. f est convexe si et seulement sif??≥0. Propriété 3.Toute tangente en un point de la courbe d"une fonction convexe est toujours au-desous de cette courbe. Propriété 4.f est convexe si et seulement si pour toutx0?I, il existeθ?Rtel que -(x0),f? +(x0)]. Si f est dérivable,θest unique. I.2 Autour de l"inégalité de Cauchy-Schwarz2

I.1.3 Inégalité de Jensen

Soitφune fonction numérique convexe et f une fonction intégrable.

Alors on a :

R f(x)dx? R

φ{f(x)}dx

I.2 Autour de l"inégalité de Cauchy-Schwarz

I.2.1 Inégalité de Cauchy-Schwarz

Soient f et g deux fonctions définies et intégrables sur un intervalle [a,b] deR.

On a :?????

b a ?b a f2(x)dx? 12 ??b a g2(x)dx? 12 I.2.2 Inégalité de Schwarz pour l"intégrale double Soient?etψdeux fonctions numériques définies et intégrables surD= [a,b]×[a,b] deR2.

Alors, on a :

D D ?2(x,y)dxdy? 12 D

ψ2(x,y)dxdy?

12

Preuve.Cf[1],[3]et[8]. Posons :

A=?? D ?2(x,y)dxdy, B=?? D ?(x,y)ψ(x,y)dxdyetC=?? D

ψ2(x,y)dxdy.

Puis considérons la fonction positive suivante :

P(t) =??

D (t?(x,y) +ψ(x,y))2dxdy=At2+ 2Bt+C, pour tout t?R. Notons queA≥0, C≥0etP(t)≥0. On a donc : ⎷B. Ce qui vient à dire le résultat voulu.I.3 L"inégalité Arithmético-géométrique Théorème 1.Soientx1,x2,...,xnetp1,p2,...,pndeux suites de nombres réels positifs tels que la somme des(pk)k=1,...,nsoit égale à 1.

On a :

n? k=ix k=1x kpk

I.4 L"inégalité de Carleman3

En effet,etest convexe ety=x+1est l"équation de sa tangente ent= 0. En faisant un

Pourx=xkA

, où on a poséA=x1p1+x2p2+...+xnpn, on a : x kA kA -1et(xkA

En les multipliant terme à terme,

?x1A p1?x2A p2...?xnA -p1ep2x2A -p2...epnxnA -pn. Or ?x1A p1?x2A p2...?xnA pn=xp11xp22...xpnnA p1Ap2...Apn=xp11xp22...xpnnA p1+p2+...+pn=xp11xp22...xpnnA , car p1+p2+...+pn= 1. et e p1x1A -p1ep2x2A -p2...epnxnA -pn=exp{p1x 1A +p2x 2A +...+pnx nA -(p1+p2+...+pn)} =exp?p1x1+p2x2+...+pnxnA -1? =e0= 1, car A=p1x1+p2x2+...+pnxn.

D"où :

xp11xp22...xpnnA Puisqu"on a poséA=p1x1+p2x2+...+pnxn, on a le résultat : x k=ix k=1x kpk.I.4 L"inégalité de Carleman Théorème 2.Soient(xn)n≥1une suite de nombres réels positifs.

On a :

k=1(x1x2...xk)1k k=1x k Preuve.Cf[1],[6],[9]et[16]. Remarquons d"abord que les deux séries de cette inégalité sont à termes positifs.

Si la série du membre de droite de l"inégalité de Carleman diverge, l"inégalité est triviale

et on n"a rien à démontrer. On peut donc supposer que cette série converge, c"est-à-dire :

lim n→∞n k=1x kexiste.

I.4 L"inégalité de Carleman4

Cherchons une suite(an)n≥1de nombres réels strictement positifs qui nous permet d"ar- river à notre but et vérifiant la relation : n k=1(x1x2...xk)1k =n? k=1(a1x1a2x2...akxk)1k (a1a2...ak)1k En appliquant l"inégalité Arithmético-géométrique, on a : n k=1(a1x1a2x2...akxk)1k (a1a2...ak)1k k=1a

1x1+a2x2+...+akxkk(a1a2...ak)1k

=n? k=1a kxkn j=k1j(a1a2...aj)1j Considérons donc une suite(an)n≥1telle que la somme s k=akn j=k1j(a1a2...aj)1j , k= 1,2,... soit convergente. Remarquons que : n j=k1j(j+ 1)=n? j=k? 1j -1j+ 1? =1k -1n+ 1 Supposons alors que la suite(an)n≥1vérifie la recursion implicite : (a1a2...aj)1j =j+ 1, pour j= 1,2,...(??) Ce choix nous donne donc une expression simple desk, s k=akn j=k1j(a1a2...aj)1j =akn j=k1j(j+ 1)=ak{1k -1n+ 1}(???)

D"après(??), on a :

(a1a2...aj-1)1j-1=j ou encore a1a2...aj-1=jj-1et a1a2...aj= (j+ 1)j, En faisant le rapport de ces deux dernières égalités, on a la formule explicite deaj: a j=(j+ 1)jj j-1=j? 1 +1j j En revenant à l"inégalité(?)et en utilisant l"expression desk(? ? ?), on a : n k=1(x1x2...xk)1k k=1a kxkn j=k1j(a1a2...aj)1j k=1a k{1k -1n+ 1}xk

Or,{1k

, doncak{1k oùakk =k(1+1k )kk =?1 +1k k.

D"où :

n? k=1(x1x2...xk)1k k=1a kk xk=n? k=1?

1 +1k?

k x k

I.4 L"inégalité de Carleman5

Et pourx=1k

, on a : 1 + 1k ou encore? 1 +1k k

On a alors :

n? k=1(x1x2...xk)1k k=1? 1 +1k k x k=1x k Et en faisant tendre n vers l"infini et que les deux séries sont à termes positifs : k=1(x1x2...xk)1k k=1x k

Car la limite du second membre existe.Remarque :La convergence de la série(xn)peut nous aider à donner des infor-

mations sur la série de terme générale la moyenne géométrique((x1x2...xn)1nquotesdbs_dbs11.pdfusesText_17

[PDF] polygone de thiessen definition

[PDF] propriété intégrale

[PDF] comment tracer les polygones de thiessen

[PDF] inégalité de holder démonstration pdf

[PDF] comment calculer les précipitations annuelles

[PDF] courbes isohyètes

[PDF] exercices et corriges sur le bassin versant

[PDF] inégalité triangulaire propriété

[PDF] inégalité triangulaire preuve

[PDF] inégalité triangulaire valeur absolue soustraction

[PDF] inégalité triangulaire prepa

[PDF] valeur absolue de a-b

[PDF] démonstration inégalité triangulaire complexe

[PDF] inégalité triangulaire soustraction

[PDF] multiplication d'intégrale