Cours darithmétique
Exercice 184* (Bac 2003) Trouver tous les entiers x y et z tels que : x2 + y2 yy ⩾ (z + 1)z+1 > zz+1 + (z + 1)zz = (2z + 1) zz ⩾ 5zz ce qui est tout ...
[PDF] Arithmétique - Exo7 - Cours de mathématiques
Par contre ppcm(6 9) = 18 divise bien 36. Mini-exercices. 1. Calculer les coefficients de Bézout correspondant à pgcd(560
arithmetique-dans-z-resume-de-cours-1.pdf
Page 1. Prof/ATMANI NAJIB. 1. Résumé de Cours D'ARITHMETIQUE. PROF : ATMANI NAJIB. 1BAC SM. A) Divisibilité dans ℤ. 1)a) et deux entiers relatifs tels que
Résumé du cours darithmétique
Soit a b
Chapitre4 : Arithmétique dans Z
Mais afin de conserver la généralité des énoncés
Arithmétique dans Z et dans Z/nZ
Introduction. 2. Ensemble N des entiers positifs. En mathématiques tout le monde connaît l'ensemble N des entiers naturels 0
arithmetique-dans-z-cours-et-exercices-corriges.pdf
Page 1. Prof/ATMANI NAJIB. Année Scolaire 2018-2019 Semestre2. 1. Cours L'ARITHMETIQUE. PROF : ATMANI NAJIB. 1BAC SM BIOF avec Exercices avec solutions. I) LA
FICHE DE RÉVISION DU BAC
1. Divisibilité dans Z. 2. Congruence. 3. Plus grand commun diviseur. 1. Divisibilité dans Z. Dans tout ce qui suit on se place dans l'ensemble des entiers
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Arithmétique. 45. 1. Division euclidienne et pgcd ... z ∈ on a
LARITHMETIQUE
Cours L'ARITHMETIQUE. PROF : ATMANI NAJIB. 2BAC SM BIOF. Avec Exercices de 1) Divisibilité dans ℤ. Définition : Soient et deux entiers relatifs tels ...
Cours darithmétique
1Plus nous avons jugé l'exercice difficile plus le nombre d'étoiles est important. 1. Page 2. Liste des abbrévations : AMM. American
Résumé du cours darithmétique
Soit a b
Arithmétique dans Z - Thomas Richez
Arithmétique dans Z. Thomas Richez. Table des matières. 1. Divisibilité. 1. 2. PGCD et PPCM. 3. 3. Théorème de Bezout. 5. 4. Equations diophantiennes.
LARITHMETIQUE
1. Résumé de Cours D'ARITHMETIQUE. PROF : ATMANI NAJIB. 1BAC SM. A) Divisibilité dans ?. 1)a) et deux entiers relatifs tels que ? 0.
Cours : Arithmétique
ARITHMÉTIQUE. 1. DIVISION EUCLIDIENNE ET PGCD. 2. Terminologie : q est le quotient et r est le reste. Nous avons donc l'équivalence : r = 0 si et seulement
LARITHMETIQUE
10 sept. 2019 Cours L'ARITHMETIQUE. PROF : ATMANI NAJIB. 1BAC SM BIOF avec Exercices avec solutions. I) LA DIVISIBILITE DANS ?. 1) Définition et ...
livre-algebre-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques
Arithmétique. 45. 1. Division euclidienne et pgcd . Pour tout z ? on a
Chapitre4 : Arithmétique dans Z
Mais afin de conserver la généralité des énoncés
Arithmétique dans Z
Exercice 10. Notons a = 1 111 111 111 et b = 123 456 789. 1. Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b. 2. Calculer p = pgcd(a
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a b ? Z et pgcd(a
Cours d"arithm´etique
Premi`ere partie
PierreBornsztein
XavierCaruso
PierreNolin
MehdiTibouchi
D´ecembre 2004
Ce document est la premi`ere partie d"un cours d"arithm´etique ´ecrit pour les ´el`eves pr´e-
parant les olympiades internationales de math´ematiques. Le plan complet de ce cours est :1. Premiers concepts
2. Division euclidienne et cons´equences
3. Congruences
4.´Equations diophantiennes
5. Structure deZ/nZ
6. Sommes de carr´es
7. Polynˆomes `a coefficients entiers
8. Fractions continues
Cette premi`ere partie traite les quatre premiers chapitres. Les quatre derniers chapitres forment quant `a eux la deuxi`eme partie de ce cours. Contrairement `a la seconde partie, cette premi`ere partie se veut le plus ´el´ementairepossible. Les notions abstraites, souvent plus difficiles `a assimiler, mais qui clarifient les id´ees
lorsqu"elles sont comprises, ne sont ´evoqu´ees que dans la seconde partie. Nous conseillons au lecteur de bien maˆıtriser ce premier tome avant de passer `a la lecture du second.Les notions et les th´eor`emes introduits ici sont g´en´eralement tout `a fait suffisants pour
traiter les exercices propos´ees aux olympiades internationales de math´ematiques.Vous trouverez `a la fin de chaque chapitre une s´erie d"exercices de difficult´e variable mais
indiqu´ee par des ´etoiles1. Toutes les solutions sont rassembl´ees `a la fin du document.
Nous vous souhaitons bon apprentissage et bonne lecture. 1 Plus nous avons jug´e l"exercice difficile, plus le nombre d"´etoiles est important. 1Liste des abbr´evations :
AMM American Mathematical Monthly
APMO The Asian Pacific Mathematics Olympiad
CG Concours g´en´eral
OIM Olympiades Internationales de Math´ematiquesSL Short List
TDV Tournoi Des Villes
Liste des notations :
?ensemble videNensemble des entiers naturels (positifs ou nuls)
N ?ensemble des entiers naturels strictement positifsZensemble des entiers relatifs
Qensemble des nombres rationnels
Rensemble des nombres r´eelsPsymbˆole de sommation2Qsymbˆole de produit3 a|b adiviseb [x]partie enti`ere dex {x}partie d´ecimale dex pgcdplus grand commun diviseur a?bpgcd(a,b) ppcmplus petit commun multiple a?bppcm(a,b) a≡b(modN)aest congru `abmoduloN pun nombre premier v p(n)valuationp-adique den d(n)nombre de diviseurs positifs denσ(n)somme des diviseurs positifs den
?fonction indicatrice d"Euler s b(n)somme des chiffres denen baseb π(n)nombre de nombres premiers inf´erieurs ou ´egaux `an a n...a0b´ecriture en baseb n!factorielle den:n! = 1×2× ··· ×n C k ncoefficient binomial : Ck n=n! k!(n-k)! u n≂vnles suites(un)et(vn)sont ´equivalentes 2 Une somme index´ee par l"ensemble vide est ´egale `a0.3Un produit index´e par l"ensemble vide est ´egale `a1.
2Table des mati`eres
1 Premiers concepts 4
1.1 Divisibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Valuationp-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Quelques fonctions arithm´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Division euclidienne et cons´equences 24
2.1 Division euclidienne et d´ecomposition en baseb. . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Algorithme d"Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Algorithme d"Euclide ´etendu et th´eor`eme de B´ezout . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Lemme de Gauss et cons´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Congruences 37
3.1 D´efinition, premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Crit`eres de divisibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Ordre d"un ´el´ement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Th´eor`eme chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 Congruences modulop. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6 Congruences modulopn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.7 Coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4´Equations diophantiennes 56
4.1 Quelques r´eflexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Utilisation des congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 Descente infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4´Equations de degr´e2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5´Equations de degr´e3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5 Corrig´e des exercices 75
5.1 Exercices de"Premiers concepts». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Exercices de"Division euclidienne et cons´equences». . . . . . . . . . . . . 103
5.3 Exercices de"Congruences». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.4 Exercices de"´Equations diophantiennes». . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
31 Premiers concepts
Cette section, comme son nom l"indique, pr´esente le concept de base de l"arithm´etique,`a savoir la divisibilit´e. On introduit ensuite les nombres premiers ce qui permet d"´enoncer le
th´eor`eme fondamental de l"arithm´etique (c"est-`a-dire la d´ecomposition en facteurs premiers)
dans lequel les nombres premiers jouent le rˆole de briques ´el´ementaires pour la fabrication
des nombres.1.1 Divisibilit´e
D´efinition 1.1.1Siaetbsont deux entiers, on dit queadiviseb, ou quebestdivisible para, s"il existe un entierqtel queb=aq. On dit encore queaest undiviseurdeb, ou que best unmultipledea. On le notea|b.Propri´et´es
+Siaetbsont deux entiers avecb?= 0,bdiviseasi et seulement si la fractiona b est un entier. +Tous les entiers divisent0, et sont divisibles par1. +Un entiernest toujours divisible par1,-1,net-n. +Sia|b, etb|c, alorsa|c. +Sia|b1,b2,...,bn, alorsa|b1c1+b2c2+...+bncn, quels que soient les entiersc1,c2,...,cn. +Siadivisebetb?= 0, alors|a|6|b|. +Siadivisebetbdivisea, alorsa=±b. +Siaetbsont deux entiers tels quean|bnpour un entiern>1, alorsa|b.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3[PDF] arizona cardinals 87
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