Cours darithmétique
Exercice 184* (Bac 2003) Trouver tous les entiers x y et z tels que : x2 + y2 yy ⩾ (z + 1)z+1 > zz+1 + (z + 1)zz = (2z + 1) zz ⩾ 5zz ce qui est tout ...
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Par contre ppcm(6 9) = 18 divise bien 36. Mini-exercices. 1. Calculer les coefficients de Bézout correspondant à pgcd(560
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Page 1. Prof/ATMANI NAJIB. 1. Résumé de Cours D'ARITHMETIQUE. PROF : ATMANI NAJIB. 1BAC SM. A) Divisibilité dans ℤ. 1)a) et deux entiers relatifs tels que
Résumé du cours darithmétique
Soit a b
Chapitre4 : Arithmétique dans Z
Mais afin de conserver la généralité des énoncés
Arithmétique dans Z et dans Z/nZ
Introduction. 2. Ensemble N des entiers positifs. En mathématiques tout le monde connaît l'ensemble N des entiers naturels 0
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Page 1. Prof/ATMANI NAJIB. Année Scolaire 2018-2019 Semestre2. 1. Cours L'ARITHMETIQUE. PROF : ATMANI NAJIB. 1BAC SM BIOF avec Exercices avec solutions. I) LA
FICHE DE RÉVISION DU BAC
1. Divisibilité dans Z. 2. Congruence. 3. Plus grand commun diviseur. 1. Divisibilité dans Z. Dans tout ce qui suit on se place dans l'ensemble des entiers
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Arithmétique. 45. 1. Division euclidienne et pgcd ... z ∈ on a
LARITHMETIQUE
Cours L'ARITHMETIQUE. PROF : ATMANI NAJIB. 2BAC SM BIOF. Avec Exercices de 1) Divisibilité dans ℤ. Définition : Soient et deux entiers relatifs tels ...
Cours darithmétique
1Plus nous avons jugé l'exercice difficile plus le nombre d'étoiles est important. 1. Page 2. Liste des abbrévations : AMM. American
Résumé du cours darithmétique
Soit a b
Arithmétique dans Z - Thomas Richez
Arithmétique dans Z. Thomas Richez. Table des matières. 1. Divisibilité. 1. 2. PGCD et PPCM. 3. 3. Théorème de Bezout. 5. 4. Equations diophantiennes.
LARITHMETIQUE
1. Résumé de Cours D'ARITHMETIQUE. PROF : ATMANI NAJIB. 1BAC SM. A) Divisibilité dans ?. 1)a) et deux entiers relatifs tels que ? 0.
Cours : Arithmétique
ARITHMÉTIQUE. 1. DIVISION EUCLIDIENNE ET PGCD. 2. Terminologie : q est le quotient et r est le reste. Nous avons donc l'équivalence : r = 0 si et seulement
LARITHMETIQUE
10 sept. 2019 Cours L'ARITHMETIQUE. PROF : ATMANI NAJIB. 1BAC SM BIOF avec Exercices avec solutions. I) LA DIVISIBILITE DANS ?. 1) Définition et ...
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Arithmétique. 45. 1. Division euclidienne et pgcd . Pour tout z ? on a
Chapitre4 : Arithmétique dans Z
Mais afin de conserver la généralité des énoncés
Arithmétique dans Z
Exercice 10. Notons a = 1 111 111 111 et b = 123 456 789. 1. Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b. 2. Calculer p = pgcd(a
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a b ? Z et pgcd(a
R´esum´e du cours d"arithm´etique
Les ensemblesNetZ
N=0,1,2,3,...est l"ensemble des entiers naturels (entiers positifs). Z=...,?2,?1,0,1,2,3,...est l"ensemble des entiers relatifs. N =N 0(entiers strictement positifs) etZ=Z 0(entiers relatifs non nuls). Dans ce qui suit, entier est synonyme d"entier relatif.1 Divisibilit´e dansZ
a) Diviseurs et multiples D´efinition.Soitaetbdeux entiers. On dit queadivisebs"il existe un entierktel queb=ka. On noteab. On dit ´egalement queaest undiviseurdebou quebest unmultipledea. Remarque.Siadiviseb, alorsadivise?b,?adivisebet?adivise?b. b) Propri´et´es Propri´et´es 1.Soita,b,cdes entiers relatifs. (1) Sib= 0 etadivisebalorsa b. En particulier,bZa un nombre fini de diviseurs. (2) Siadivisebetbdiviseaalorsa=boua=?b. (3) Siadivisebetbdivisecalorsadivisec. (4) Siadivisebetc, alors, pour tous entiersnetm,adivisenb+mc. La propri´et´e (4) se g´en´eralise sans difficult´e `a 3 termes ou plus.2 Division euclidienne
Th´eor`eme 2 (th´eor`eme de la division euclidienne).SoitaZetbN. Il existe des entiersqetrtels quea=bq+ret 0r < b. De plus,qetrsont uniques. D´efinition.SoitaZetbN. Effectuer ladivision euclidiennedeaparb, c"est trouver les entiersqetrtels quea=bq+ravec 0r < b.qest lequotientetrest lerestede la division euclidienne deaparb. Propri´et´e 3.Le reste de la division euclidienne deaparbest nul si et seulement sibdivisea.3 PGCD
a) D´efinition D´efinition.Soita,bZ. Le plus grand entier qui divise `a la foisaetbs"appelle leplus grand commun diviseuroupgcddeaetb. On le notepgcd(a,b).Remarque.pgcd(a,b) = pgcd(a,b).
Propri´et´e 4.Soita,bZ. Siadivisebalors pgcd(a,b) =a. 1 b) Algorithme d"Euclide Th´eor`eme 5 (lemme d"Euclide).Soita,bZ. S"il existe des entiersketsavecs= 0 tels quea=bk+salors les diviseurs communs `aaetbsont exactement les diviseurs communs `a bets, et pgcd(a,b) = pgcd(b,s).Algorithme d"Euclide.
SoitaZetbN. On cherched= pgcd(a,b). On noter0=b. On effectue des divisions euclidiennes successives tant que le reste est non nul. a=r0q1+r10< r1< r0 b=r1q2+r20< r2< r1 r1=r2q3+r30< r3< r2.
r n3=rn2qn1+rn10< rn1< rn2 r n2=rn1qn+rn0< rn< rn1 r n1=rnqn+1+ 0rn+1= 0 Th´eor`eme 6.Le pgcd deaetbest le dernier reste non nul obtenu par l"algorithme d"Euclide. Remarque.Sir1= 0, c"est quebdivisea, donc pgcd(a,b) =b=r0. Propri´et´e 7.Soita,bZ. Siddiviseaetbalorsddivise pgcd(a,b).Remarque.On peut d´efinir le pgcd de 3 entiers ou plus. La propri´et´e 7 restevalable. Il n"y a
pas d"´equivalent de l"agorithme d"Euclide pour calculer le pgcd de 3 entiers. On peut utiliser la propri´et´e suivante : sid= pgcd(a,b) alors pgcd(a,b,c) = pgcd(d,c). c) Nombres premiers entre eux D´efinition.Soitaetbdeux entiers non nuls. On dit queaetbsontpremiers entre euxsi pgcd(a,b) = 1. On dit aussi queaest premier avecb. Propri´et´e 8.Soita,bZetd= pgcd(a,b). Alorsa detb dsont premiers entre eux.4 Th´eor`emes de B´ezout et de Gauss
a) Th´eor`eme de B´ezout Th´eor`eme 9 (th´eor`eme de B´ezout).Soitaetbdeux entiers non nuls.1) Il existe des entiers relatifsuetvtels queau+bv= pgcd(a,b).
2) S"il existe des entiersuetvtels queau+bv= 1 alorsaetbsont premiers entre eux
b) Comment trouver une relation de B´ezout Trouver une relation de B´ezout pouraetb, c"est trouveruetvtels queau+bv= pgcd(a,b). On applique l"algorithme d"Euclide `aaetb. Gardons les notations de 3b). On a pgcd(a,b) =rn. On part de l"´egalit´e donnant le pgcd et on ´ecrit : pgcd(a,b) =rn2?rn1qn.() Puis on utilise la ligne pr´ec´edente dans l"algorithme d"Euclide pour exprimerrn1(reste avec l"indice le plus ´elev´e dans ()) :rn1=rn3?rn2qn1, on remplacern1dans (), on a : pgcd(a,b) =rn2?(rn3?rn2qn1)qn=?rn3qn+rn2(1 +qnqn1).()On utilise la ligne pr´ec´edente dans l"algorithme d"Euclide pour exprimerrn2(reste avec l"indice
le plus ´elev´e dans ()), puis on remplacern2dans (). On continue ainsi jusqu"`a ´eliminer les restesrn1,rn2,...,r2,r1. On a alors le pgcd en fonction deaetb. 2c) Th´eor`eme de GaussTh´eor`eme 10 (th´eor`eme de Gauss).Soita,b,cdes entiers non nuls. Siadivisebcet sia
est premier avecb, alorsadivisec. Th´eor`eme 11 (corollaire du th´eor`eme de Gauss).Soita1,a2,bdes entiers tels quea1et a2sont premiers entre eux. Sia1eta2divisentb, alors le produita1a2diviseb.
Remarque.Le th´eor`eme 11 se g´en´eralise `a 3 entiers ou plus : sia1,a2,...,ansont deux `a deux
premiers entre eux et divisentb, alorsa1a2andiviseb. d) R´esoudre l"´equationax+by=c On veut trouver toutes les solutions enti`eres de l"´equation :ax+by=c(E) o`ua,b,csont des entiers donn´es aveca,bnon nuls, etx,ysont les inconnues. Th´eor`eme 12.L"´equation (E) admet des solutions si et seulement si pgcd(a,b) divisec.M´ethode pour r´esoudre l"´equation (E).
Si pgcd(a,b) ne divise pasc, il n"y a pas de solution (th´eor`eme 12). Si pgcd(a,b) divisec, il y a des solutions par le th´eor`eme 12. Voici comment les trouver.0) Simplifier l"´equation
Si pgcd(a,b) divisec, on divise l"´equation par pgcd(a,b), on trouve que (E) est ´equivalente `a
a x+by=c o`ua=a/pgcd(a,b),b=b/pgcd(a,b) etc=c/pgcd(a,b) (a,b,csont des entiers).1) Solution particuli`ere
Les entiersaetbsont premiers entre eux (propri´et´e 8). Par le th´eor`eme de B´ezout, il existe
des entiersuetvtels queau+bv= 1. Alorsx0=cuety0=cvforment une solution particuli`ere de (E) carax0+by0=c(au+bv) =c.2) Recherche de toutes les solutions
Exprimons les autres solutions en fonction de la solution particuli`ere (x0,y0). a x+by=cax+by=ax0+by0a(x?x0) +b(y?y0) = 0 SoitX=x?x0etY=y?y0. Pour r´esoudre (E), il est ´equivalent de r´esoudre aX=?bY(E)
a etbsont premiers entre eux etbdiviseaX, doncbdiviseXpar le th´eor`eme de Gauss, autrement dit il existekZtel queX=kb. On a alorskab=?bY, et en simplifiant par b = 0 on trouveY=?ka. On vient de montrer que si (X,Y) est solution de (E") alors il existekZtel queX=kb,Y=?ka. On v´erifie facilement l"implication inverse : siX=kb etY=?ka, (X,Y) est bien une solution de (E") pour toutkZ. Les deux implications donnent une ´equivalence : (X,Y) solution de (E") kZ,X=kb,Y=?ka. Par cons´equent, l"ensemble des solutions de (E) est :S={(x0+kb,y0-ka)|k?Z}aveca=a
pgcd(a,b)etb=bquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3[PDF] arizona cardinals 87
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