Terminale ES - Convexité et inflexion
Une fonction est convexe sur un intervalle I si et seulement si
CONVEXITÉ
La fonction f est convexe sur I si sur l'intervalle I
Corrigé du baccalauréat Terminale ES/L Amérique du Nord 29 mai
29 mai 2018 La fonction h est convexe sur les intervalles sur lesquels sa dérivée est croissante c'est-à-dire quand sa dérivée seconde est positive. h??(x) ...
DS5 ( 2 heures) MATHEMATIQUES TERMINALE ES Exercice 1 (3
TERMINALE ES. Exercice 1 (3 points). Exercice 1. QCM. 3 points. Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions
Terminale ES-L – Chapitre IV – Convexité.
En reprenant les figures de la courbe de la fonction convexe avec des tangentes multiples et de celle de la fonction concave avec ses tangentes multiples
Baccalauréat ES Index des exercices avec des QCM de 2013 à 2016
Baccalauréat ES obligatoire. QCM La somme S = u0 +u1 +···+u10 est égale à : ... Affirmation B : La fonction f est convexe sur l'intervalle ]0 ; +?[.
10.Convexité
Cours Terminale ES Fonctions convexes fonctions concaves ... Si f est une fonction convexe et dérivable sur un intervalle I et si pour un réel c de I
Programme de spécialité de mathématiques de terminale générale
En classe terminale le thème des fonctions s'enrichit avec la notion de fonction convexe
Exercices : convexité
Terminale ES. Convexité. Exercices : convexité. Exercice 1 : Pour chaque courbe déterminer les intervalles sur lesquels la fonction f est convexe (
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Une fonction est convexe sur un intervalle I si et seulement si la dérivée seconde '' est positive sur I ( en effet cela implique que ? est
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La fonction f est convexe sur I si sur l'intervalle I sa courbe représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes La fonction f est
Convexité : Cours PDF à imprimer Maths terminale ES - Mathsbook
Vous trouverez un aperçu des 4 pages de ce cours en PDF ci-dessous fonction convexe fonction concave point inflexion propriete point inflexion convexite
[PDF] 10Convexité
Fonctions convexes fonctions concaves Définitions : f est une fonction dérivable sur un intervalle I et C sa courbe représentative dans un repère
[PDF] Terminale ES-L – Chapitre IV – Convexité - tableau-noirnet
Avec une fonction ni convexe ni concave : Certaines tangentes sont en-dessous de la courbe d'autres au-dessus Certaines tangentes peuvent recouper la courbe
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Fonctions convexes cours classe de terminale Il s'agit de montrer que la courbe est au dessus de cette tangente pour tout réel
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Terminale S ? Chapitre A-05 Fonctions convexes fonctions concaves Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel appartenant à I
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28 jan 2020 · Terminale ES/L C Lainé Convexité et fonctions exponentielles 3) La courbe 1 représente une fonction convexe sur [ ]
Comment déterminer qu'une fonction est convexe ?
Une fonction convexe poss? une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut. Au contraire, une fonction concave poss? une dérivée première décroissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le bas.Quand la fonction est convexe ?
Une fonction f est convexe lorsque sa courbe représentative se trouve au-dessus de ses tangentes, et concave lorsque sa courbe représentative se trouve en dessous de ses tangentes.Comment montrer qu'une courbe est convexe ?
On démontre qu'une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est croissante sur cet intervalle, autrement dit si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.- Elle est strictement convexe si on peut mettre l'inégalité stricte pour ? ?]0, 1[ et x = y. Une fonction f est dite (strictement) concave si ?f est (strictement) convexe. – Le nombre ?x + (1 ? ?)y, ? ? [0, 1] est une combinaison convexe de x et y, c'est-à-dire un barycentre à coefficients positifs (voir Exercice 1).
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Terminale ES-L - Chapitre IV - Convexité.
I- Définition.
Rappel
: On appelle corde d'une courbe tout segment reliant deux de ses points.Illustration ci-dessous
: on a tracé la courbe représentative d'une fonction f sur un intervalle I : [AB] est une corde de Cf Cf est située en-dessous de chacune de ses cordes, f est donc convexe.Intuitivement
: lorsqu'une fonction est convexe sur un intervalle, sa courbe " est en creux » ou " en sourire ».
Illustration ci-dessous : on a tracé la courbe représentative d'une fonction f sur un intervalle I :
[AB] est une corde de Cf Cf est située au-dessus de chacune de ses cordes.TES-Ch04- Convexité - 1/5
f est donc concave sur I. Intuitivement : lorsqu'une fonction est concave, sa courbe " forme une bosse ».
Dans l'exemple suivant, la fonction
f représentée par la courbe Cf n'est ni convexe, ni concave sur I : Certaines cordes sont situées au-dessus de la courbe, d'autres en- dessous.Certaines cordes coupent la courbe.
II- Convexité des fonctions dérivables
1) Position de la courbe par rapport à ses tangentes
Remarque
: on a besoin, dans cette propriété, que la fonction soit dérivable, pour que sa courbe admette une
tangente en chacun de ses points.Illustration avec une fonction convexe
A est un point de Cf. La tangente à Cf en A est située en-dessous de Cf (Sauf en A où elles se coupent) Cf est située au-dessus de chacune de ses tangentes.TES-Ch04- Convexité - 2/5
Illustration avec une fonction concave :
A est un point de Cf. La tangente à Cf en A est située au-dessus de Cf (Sauf en A où elles se coupent) Cf est située en-dessous de chacune de ses tangentes.Avec une fonction ni convexe, ni concave
Certaines tangentes sont en-dessous de la courbe,
d'autres au-dessus.Certaines tangentes peuvent recouper la courbe.
2) Convexité et sens variation de la dérivée
On rappelle que
f'(x) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f en son point d'abscisse x. En reprenant les figures de la courbe de la fonction convexe avec des tangentes multiples et de celle de la fonction concave avec ses tangentes multiples, constatez graphiquement que lorsque xparcourt I dans le sens croissant, le coefficient directeur de la tangente augmente dans le cas de la fonction
convexe, et diminue dans le cas de la fonction concave.TES-Ch04- Convexité - 3/5
III- Convexité d'une fonction deux fois dérivables.Autrement dit
f sera convexe si et seulement si sa dérivée seconde est positive. (Ce qui implique que f' est croissante)
f sera concave si et seulement si sa dérivée seconde est négative. (Ce qui implique que f' est décroissante)
IV- Point d'inflexion
Dans l'exemple illustré ci-contre,
f' est décroissante sur [0,5;x0] et croissante sur [x0;7]. f''(x)<0 pour x ? [0,5;x0], f''(x0)=0 et f''(x)>0 pour x ? [x0;7].Petit bilan sur un exemple
f est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle [a;b] et Cf est sa courbe représentative.
V- Propriétés des fonctions convexes.
TES-Ch04- Convexité - 4/5
Idée de démonstration : Ces théorèmes se démontrent en étudiant les variations de la dérivée.
VI- Convexité des fonctions usuelles
(Vous pouvez vous entraîner à le démontrer en dérivant deux fois ces fonctions et en étudiant le signe de leur dérivée seconde)
La fonction carré est
convexe surLa fonction cube est
concave sur ]?∞;0] et convexe sur [0;+∞[L'origine du repère est un
point d'inflexion pour sa courbe.La fonction racine carrée est concave sur [0;+∞[La fonction valeur absolue
est convexe. On rappelle qu'elle n'est pas dérivable en O(0;0)La fonction inverse est
concave sur ]?∞;0[ et convexe sur ]0;+∞[Les fonctions affines sont
à la fois convexes et
concaves sur ℝ. Au sens large, tous les points de leurs courbes sont des points d'inflexion.La fonction exponentielle est convexe sur (voir ultérieurement)La fonction logarithme népérien est concave sur ]0;+∞[ (voir ultérieurement)TES-Ch04- Convexité - 5/5
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