Terminale ES - Convexité et inflexion
Une fonction est convexe sur un intervalle I si et seulement si
CONVEXITÉ
La fonction f est convexe sur I si sur l'intervalle I
Corrigé du baccalauréat Terminale ES/L Amérique du Nord 29 mai
29 mai 2018 La fonction h est convexe sur les intervalles sur lesquels sa dérivée est croissante c'est-à-dire quand sa dérivée seconde est positive. h??(x) ...
DS5 ( 2 heures) MATHEMATIQUES TERMINALE ES Exercice 1 (3
TERMINALE ES. Exercice 1 (3 points). Exercice 1. QCM. 3 points. Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions
Terminale ES-L – Chapitre IV – Convexité.
En reprenant les figures de la courbe de la fonction convexe avec des tangentes multiples et de celle de la fonction concave avec ses tangentes multiples
Baccalauréat ES Index des exercices avec des QCM de 2013 à 2016
Baccalauréat ES obligatoire. QCM La somme S = u0 +u1 +···+u10 est égale à : ... Affirmation B : La fonction f est convexe sur l'intervalle ]0 ; +?[.
10.Convexité
Cours Terminale ES Fonctions convexes fonctions concaves ... Si f est une fonction convexe et dérivable sur un intervalle I et si pour un réel c de I
Programme de spécialité de mathématiques de terminale générale
En classe terminale le thème des fonctions s'enrichit avec la notion de fonction convexe
Exercices : convexité
Terminale ES. Convexité. Exercices : convexité. Exercice 1 : Pour chaque courbe déterminer les intervalles sur lesquels la fonction f est convexe (
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Une fonction est convexe sur un intervalle I si et seulement si la dérivée seconde '' est positive sur I ( en effet cela implique que ? est
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La fonction f est convexe sur I si sur l'intervalle I sa courbe représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes La fonction f est
Convexité : Cours PDF à imprimer Maths terminale ES - Mathsbook
Vous trouverez un aperçu des 4 pages de ce cours en PDF ci-dessous fonction convexe fonction concave point inflexion propriete point inflexion convexite
[PDF] 10Convexité
Fonctions convexes fonctions concaves Définitions : f est une fonction dérivable sur un intervalle I et C sa courbe représentative dans un repère
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Avec une fonction ni convexe ni concave : Certaines tangentes sont en-dessous de la courbe d'autres au-dessus Certaines tangentes peuvent recouper la courbe
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Fonctions convexes cours classe de terminale Il s'agit de montrer que la courbe est au dessus de cette tangente pour tout réel
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28 jan 2020 · Terminale ES/L C Lainé Convexité et fonctions exponentielles 3) La courbe 1 représente une fonction convexe sur [ ]
Comment déterminer qu'une fonction est convexe ?
Une fonction convexe poss? une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut. Au contraire, une fonction concave poss? une dérivée première décroissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le bas.Quand la fonction est convexe ?
Une fonction f est convexe lorsque sa courbe représentative se trouve au-dessus de ses tangentes, et concave lorsque sa courbe représentative se trouve en dessous de ses tangentes.Comment montrer qu'une courbe est convexe ?
On démontre qu'une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est croissante sur cet intervalle, autrement dit si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.- Elle est strictement convexe si on peut mettre l'inégalité stricte pour ? ?]0, 1[ et x = y. Une fonction f est dite (strictement) concave si ?f est (strictement) convexe. – Le nombre ?x + (1 ? ?)y, ? ? [0, 1] est une combinaison convexe de x et y, c'est-à-dire un barycentre à coefficients positifs (voir Exercice 1).
Cours Terminale ES @ E. Poulin Page 33
10.1. Convexité
1. Fonctions convexes, fonctions concaves
Définitions :
f est une fonction dérivable sur un intervalle I et CCCC sa courbe représentative dans un repère. · Dire que f est convexe sur I signifie que sur I, la courbe est entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes. · Dire que f est concave sur I signifie que sur I, la courbe est entièrement en-dessous de chacune de ses tangentes.2. Convexité des fonctions de référence
· La fonction
2xxa est convexe sur
· La fonction
xexa est convexe sur· La fonction
xxa est concave sur [[+¥;0.· La fonction
xxlna est concave sur ][+¥;0.CONVEXE
CONCAVE
Cours Terminale ES @ E. Poulin Page 34
3. Point d"inflexion
Définition :
f est une fonction dérivable sur un intervalle I et CCCC sa courbe représentative dans un repère.
Dire que
()()afaA; est un point d"inflexion de CCCC signifie qu"en A la courbe CCCC traverse sa tangente.Conséquence : En l"abscisse a d"un point d"inflexion, f passe de convexe à concave ou de
concave à convexe. Exemple : g est la fonction définie sur par ()3xxg= L"origine O du repère est un point d" »inflexion de la courbe représentant u.U est concave sur
]]0;¥- et convexe sur [[+¥;0.10.2. Propriétés des fonctions convexes
1. Convexité et extremum
Propriété :
Si f est une fonction convexe et dérivable sur un intervalle I et si pour un réel c de I, ()0=¢cf, alors f admet un minimum absolu sur I en c.
Démonstration :
Si ()0=¢cf, la tangente d à la courbe au point d"abscisse c est parallèle à l"axe des abscisses.
Or f est convexe sur I, donc sa courbe représentative est située au dessus de toutes ses tangents,
et en particulier de la droite ()cfy=.Cela signifie que pour tout réel x de I,
()()cfxf³.Donc que f admet un minimum absolu en c.
Propriété :
Si f est une fonction concave et dérivable sur un intervalle I et si pour un réel c de I, ()0=¢cf, alors f admet un maximum absolu sur I en c.
Démonstration :
Analogue à la précédente
2. Convexité et opération
Propriété :
· Si f et g sont deux fonctions dérivables et convexes sur un intervalle I, alors f + g est une
fonction convexe sur I aCONVEXE
CONCAVE
TCONVEXE
CONCAVE
d c O y xCours Terminale ES @ E. Poulin Page 35
· Si f est une fonction dérivable et convexe sur un intervalle I et l un réel positif, alors lf
est une fonction convexe sur IPropriété :
· Si f et g sont deux fonctions dérivables et concaves sur un intervalle I, alors f + g est une
fonction concave sur I · Si f est une fonction dérivable et concave sur un intervalle I et l un réel strictement positif, alors lf est une fonction concave sur IPropriété :
· Si f est une fonction dérivable et convexe sur un intervalle I, alors f- est une fonction concave sur I · Si f est une fonction dérivable et concave sur un intervalle I, alors f- est une fonction convexe sur I10.3. Convexité et dérivée
1. Convexité et sens de variation de f "
Propriétés (admises)
f est une fonction dérivable sur un intervalle I · f est convexe si, et seulement si, f¢ est croissante sur I · f est concave si, et seulement si, f¢ est décroissante sur IExemples :
· 2xxa est convexe sur . Sa dérivée pour tout x est ()xxf2=¢ et f¢ est croissante sur · xxlna est concave sur ][+¥;0. Sa dérivée pour tout x de ][+¥;0 est ()xxf2=¢ et f¢ est décroissante sur ][+¥;0
2. Convexité et signe de f ""
Définition :
f est une fonction dérivable sur un intervalle I Dire que f est deux fois dérivable sur I signifie que f¢ est elle-même dérivable sur I.
La dérivée de f
¢, notée f¢¢, est appelée dérivée seconde de f. Exemple : déterminer la dérivée seconde de 2xxa.Propriétés
f est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I · f est convexe si, et seulement si, pour tout x de I, ()0³¢¢xf · f est concave si, et seulement si, pour tout x de I, ()0£¢¢xf Preuve : cela se déduit immédiatement de la propriété précédente Exemple : f est une fonction deux fois dérivable définie sur par ()xexf-=1 . ()xexf-=¢ et ()xexf-=¢¢. Pour tout x de ()0£¢¢xf, donc f est concave sur .Cours Terminale ES @ E. Poulin Page 36
3. Point d"inflexion et dérivée seconde
Propriété (admise)
f est une fonction deux fois dérivables sur un intervalle I. CCCC est la courbe représentative de f dans
un repère et Ia Î. Le point ()()afaA; est un point d"inflexion de CCCC si, et seulement si, f¢¢ s"annule en a en changeant de signe.Exemple
Pour tout nombre réel x, ()3xxg=, ()23xxg=¢, ()xxg6=¢¢ Avec le tableau de signe ci-contre, on retrouve que l"origine O du repère représente un point d"inflexion de la courbe f. x 0 ()xxg6=¢¢ - 0 +10.4. Position relative de courbes
1. Une propriété de exp
Propriété : Pour tout nombre réel x, xex>Démonstration
La fonction exponentielle est convexe sur , donc, dans un repère, sa courbe CCCC est au-dessus de toutes ses tangentes.En particulier,
CCCC est au-dessus de sa tangente T au point d"abscisse 0 dont on sait qu"uneéquation est
1+=xyAinsi pour tout nombre réel
x, 1+³xex. Or xx>+1 , donc xex>.1. Une propriété de ln
Propriété : Pour tout nombre réel 0>x, xxln>Démonstration
La fonction logarithme est concave sur , donc, dans un repère, sa courbe CCCC est en-dessous de toutes ses tangentes.En particulier,
CCCC est en-dessous de sa tangente T au point d"abscisse 1 dont on sait qu"uneéquation est 1
-=xyAinsi pour tout nombre réel
x, 1ln-£xx. Or xx<-1 , donc xx· La droite d"équation xy= est au dessus de
la courbe représentative de la fonction logarithme népérien sur ][+¥;0 xy= xey= xyln=quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37[PDF] seuil monoxyde de carbone ppm
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