[PDF] TRIGONOMÉTRIE (II) CORRECTION DES EXERCICES

View - Download TRIGONOMÉTRIE (II) CORRECTION DES EXERCICES

Previous PDF

Next PDF

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

TRIGONOMÉTRIE (II)

CORRECTION DES EXERCICES

ÉTUDES DE FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Exercice1:

Émettons dans chaque cas, une conjecture quant à la parité de la fonction représentée en justifiant.

1.La fonctionf1est une fonction paire car sa courbe représentativeC1est

symétrique par rapport à l"axe des ordonnées.

2.La fonctionf2est une fonction impaire car sa courbe représentativeC2

est symétrique par rapport à l"origine du repère.

3.La fonctionf3n"est ni paire, ni impaire car sa courbe représentativeC3

n"est ni symétrique par à l"axe des ordonnées, ni symétrique par rapport

à l"origine du repère.

4.La fonctionf4est une fonction paire car sa courbe représentativeC4est

symétrique par rapport à l"axe des ordonnées.

Exercice2:

Émettons dans chaque cas, une conjecture quant à la parité de la fonction représentée en justifiant.

1.La fonctionf1est une fonction impaire car sa courbe représentativeC1

est symétrique par rapport à l"origine du repère.

2.La fonctionf2est une fonction paire car sa courbe représentativeC2est

symétrique par rapport à l"axe des ordonnées. c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.1

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

3.La fonctionf3est une fonction paire car sa courbe représentativeC3est

symétrique par rapport à l"axe des ordonnées.

4.La fonctionf4est une fonction paire car sa courbe représentativeC4est

symétrique par rapport à l"axe des ordonnées.

Exercice3:

1.Donnons le domaine de définition def.

SoitDfle domaine de définition def.

D f={x?R/4 + cos(x)?= 0}

Ainsi4 + cos(x)>0pour toutx?R.

D"oùDf=R

2.Calculonsf(-x).

f(-x) =-3

4 + cos(-x)

-3

4 + cos(x)carcos(-x) = cos(x)

=f(x)

3.Déduisons la parité de la fonctionf.

De ce qui précède on a:f(-x) =f(x).

D f=Rdonc pour toutx?Dfon a:-x?Dfet de plusf(-x) =f(x) On en déduit donc que la fonctionfest une fonction paire.

4.Montrons quefest une fonction périodique, de période2π.

Pour toutx?R,x+ 2π?Ret on a:

f(x+ 2π) =-3

4 + cos(x+ 2π)

-3

4 + cos(x)carcos(x+ 2π) = cos(x)

=f(x) c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.2

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

Par conséquent, la fonctionfest une fonction périodique de période2π

Exercice4:

Soitgune fonction définie surRpar

g(x) =⎷

2cos(2x) + 1.

1.Étudions la parité de la fonctiongsurR.

Pour toutx?R,-x?Ret on a:

g(-x) =⎷

2cos(-2x) + 1 =⎷2cos(2x) + 1 =g(x).

D"où la fonctiongest une fonction paire.

2.Étudions la périodicité de la fonctiongsurR.

g(x) =⎷

2cos(2x) + 1

2cos(2x+ 2π) + 1carcos(2x) = cos(2x+ 2π)

2cos(2(x+π)) + 1

=g(x+π) On a :g(x+π) =g(x)et on sait que pour toutx?R,x+π?R. Donc la fonctiongest une fonction périodique de périodeπ.

3.Résolvons l"équationg(x) = 0surR.

g(x) = 0?⎷

2cos(2x) + 1 = 0

?cos(2x) =-1 ⎷2 ?cos(2x) =-⎷ 2 2 ?cos(2x) = cos?3π 4? g(x) = 0?2x=3π

4+ 2kπou2x=-3π4+ 2kπaveck?Z

?x=3π

8+kπoux=-3π8+kπaveck?Z

c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.3

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

SoitSl"ensemble solution de l"équationg(x) = 0

S=? -3π

8+kπ;3π8+kπ?

aveck?Z

Exercice5:

Soit la fonctionhdéfinie surRpar :

h(x) = sin(2x) + cos(x)sin(x).

1.Calculonsh(-x).

h(-x) = sin(-2x) + cos(-x)sin(-x) =-sin(2x)-cos(x)sin(x) =-(sin(2x) + cos(x)sin(x)) =-h(x)

2.Déduisons la parité de la fonctionh.

De ce qui précède on a:h(-x) =-h(x).

La fonctionhest définie surRdonc pour toutx?Ron a: -x?Ret de plush(-x) =-h(x).

D"où la fonctionhest une fonction impaire.

3.Calculonsh(x+π).

h(x+π) = sin(2(x+π)) + cos(x+π)sin(x+π) = sin(2x+ 2π) + (-cos(x))(-sin(x)) = sin(2x) + cos(x)sin(x) =h(x)

4.Déduisons la périodicité de la fonctionh.

De ce qui précède, on a :h(x+π) =h(x).

hest définie surRet on sait que pour toutx?R,x+π?R. On conclut donc que la fonctionhest périodique de périodeπ. c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.4

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

Exercice6:

Soit la fonctionfdéfinie surRpar :

f(x) = cos(4x)-cos(x)cos(2x)

1.Calculonsf(-x).

f(-x) = cos(-4x)-cos(-x)cos(-2x) = cos(4x)-cos(x)cos(2x)carcos(-X) = cos(X) =f(x)

2.Déduisons la parité de la fonctionf.

De ce qui précède on a :f(-x) =f(x).

La fonctionfest définie surRdonc pour toutx?Ron a: -x?Ret de plusf(-x) =f(x).

D"où la fonctionfest une fonction paire.

3.Calculonsf(x+ 2π).

f(x+ 2π) = cos[4(x+ 2π)]-cos(x+ 2π)cos[2(x+ 2π)] = cos(4x+ 2×4π)-cos(x)cos(2x+ 2×2π) = cos(4x)-cos(x)cos(2x) =f(x)

4.Déduisons la périodicité de la fonctionf.

De ce qui précède, on a:f(x+ 2π) =f(x).

fest définie surRet on sait que pour toutx?R,x+ 2π?R. On conclut donc que la fonctionfest une fonction périodique de période

2π.

Exercice7:

Montrons que pour tout réelxon a:

1.(cos(x) + sin(x))2+ (cos(x)-sin(x))2= 2

On a: c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.5

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

(cos(x) + sin(x))2= cos2(x) + 2cos(x)sin(x) + sin2(x) (cos(x)-sin(x))2= cos2(x)-2cos(x)sin(x) + sin2(x)

Ainsi on a:

(cos(x) + sin(x))2+ (cos(x)-sin(x))2 = cos

2(x) + 2cos(x)sin(x) + sin2(x)

+ cos

2(x)-2cos(x)sin(x) + sin2(x)

= 2cos

2(x) + 2sin2(x)

= 2(cos

2(x) + sin2(x))

= 2×1carcos2(x) + sin2(x) = 1 = 2

Ce qu"il fallait montrer.

2.(cos(x) + sin(x))2-(cos(x)-sin(x))2= 4cos(x)sin(x)

(cos(x) + sin(x))2-(cos(x)-sin(x))2 = cos

2(x) + 2cos(x)sin(x) + sin2(x)

-(cos2(x)-2cos(x)sin(x) + sin2(x)) = cos

2(x) + 2cos(x)sin(x) + sin2(x)

-cos2(x) + 2cos(x)sin(x)-sin2(x) = 4cos(x)sin(x)

Ce qu"il fallait montrer.

Exercice8:

On considère la fonctiongdéfinie pour tout réelxparg(x) = 1-2cos(x).

1.Montrons que la fonctiongest périodique et précisons sa période.

La fonctiongest définie surRet pourx?R, on ax+ 2π?R. De plus,g(x+ 2π) = 1-2cos(x+ 2π) = 1-2cos(x) =g(x). D"où la fonctiongest une fonction périodique de période2π.

2.a.Représentons à l"aide de la calculatrice la fonctiongsur l"intervalle

[-2π;2π]. c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.6

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

b.Donnons à partir d"une lecture graphique une conjecture de la parité deg. La courbe représentative de la fonctiongest symétrique par rapport à l"axe des ordonnées donc la fonctiongest une fonction paire. c.Prouvons la conjecture précédente.La fonctiongest définie surRet pour toutx?R, on a-x?R.

De plus,g(-x) = 1-2cos(-x) = 1-2cos(x) =g(x).

D"où la fonctiongest bien une fonction paire.

?2≥ -2cos(x)≥ -2

Ce qu"il fallait montrer.

4.Donnons à partir du graphe degles solutions de l"équationg(x) = 3

dans l"intervalle[-2π;2π]. A partir du graphe de la fonctiongon déduit que l"équationg(x) = 3 admet dans l"intervalle[-2π;2π]deux solutions que sont:-πetπ. c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.7

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

5.Résolvons dans l"intervalle[-2π;2π]l"équationg(x) = 3et comparons

avec le résultat précédent. g(x) = 3?1-2cos(x) = 3 ? -2cos(x) = 2 ?cos(x) =-1 Les valeurs dexappartenant à l"intervalle[-2π;2π]et vérifiant la con- ditioncos(x) =-1sont :x=-πetx=π. Ainsi, les nombres réels-πetπsont solutions de l"équationg(x) = 3. D"où la confirmation du résultat de la question précédente.

Exercice9:

Donnons l"expression de la dérivée de chacune des fonctions définies et dériv- ables surRci-dessous.

1.f(x) =-5cos(x)-3x.

Pour toutx?R,f?(x) = 5sin(x)-3

2.g(x) = 3x2sin(x)

Pour toutx?R,

g ?(x) = (3x2)?sin(x) + 3x2(sin(x))? = 6xsin(x) + 3x2cos(x)

D"oùg?(x) = 6xsin(x) + 3x2cos(x)

3.h(x) =x2-2cos(-3x+ 4).

Pour toutx?R,

h ?(x) = (x2)?-2[cos(-3x+ 4)]? = 2x-2×[-(-3x+ 4)?]sin(-3x+ 4) = 2x-2×3sin(-3x+ 4) = 2x-6sin(-3x+ 4)

D"oùh?(x) = 2x-6sin(-3x+ 4)

c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.8

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

4.u(x) = 3xsin(3x-4).

Pour toutx?R,

u ?(x) = (3x)?sin(3x-4) + 3x[sin(3x-4)] = 3sin(3x-4) + 3x(3x-4)?cos(3x-4) = 3sin(3x-4) + 3x×3cos(3x-4) = 3sin(3x-4) + 9xcos(3x-4)

D"oùu?(x) = 3sin(3x-4) + 9xcos(3x-4)

Exercice10:

On considère les fonctions définies surI?[-π,π]ci-dessous. Déterminons pour chacune d"elle, l"ensemble de définition et de dérivabilité puis déterminons la fonction dérivée.

1.f(x) = sin(2x+ 3) + 3x.

Les fonctionsx?→sin(2x+ 3)etx?→3xsont définies et dérivables sur Ren particulier sur[-π;π]donc la fonctionfest définie et dérivable sur[-π;π]comme somme de deux fonctions définies et dérivables sur Pour toutx?R,f?(x) = (2x+ 3)?cos(2x+ 3) + 3 = 2cos(2x+ 3) + 3.

D"oùf?(x) = 2cos(2x+ 3) + 3.

2.f(x) =2sin(x).

SoitDfle domaine de définition de la fonctionf. D f={x?[-π;π]/sin(x)?= 0}.

Posonssin(x) = 0.

sin(x) = 0?sin(x) = sin(0) ?x= 0 + 2kπoux=π+ 2kπ ?x= 2kπoux=π+ 2kπ Ainsi,xétant dans l"intervalle[-π;π]on obtientx= 0,x=-πet x=π. c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.9

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

D"oùDf=]-π;0[?]0;π[.

La fonctionx?→sin(x)est une fonction définie et dérivable surDfet ne s"annule pas. Ainsi, la fonctionfest dérivable surDfcomme l"inverse d"une fonction dérivable surDfet qui ne s"annule pas.

Pour toutx?Df,

f ?(x) = 2×-(sin(x))? sin2(x) = 2×-cos(x) sin2(x) -2cos(x) sin2(x)

D"oùf?(x) =-2cos(x)

sin2(x)

3.f(x) = sin(-3x+ 5)cos(-3x+ 5).

Les fonctionsx?→sin(-3x+ 5)etx?→cos(-3x+ 5)sont définies et dérivables surRen particulier sur[-π;π]. Ainsi, la fonctionfest définie et dérivable sur[-π;π]comme produit de deux fonctions définies et dérivables sur[-π;π].

Pour toutx?[-π;π];

f ?(x) = (sin(-3x+ 5))?cos(-3x+ 5) + (cos(-3x+ 5))?sin(-3x+ 5) =-3cos(-3x+ 5)cos(-3x+ 5)-(-3)sin(-3x+ 5)sin(-3x+ 5) =-3cos2(-3x+ 5) + 3sin2(-3x+ 5) = 3sin

2(-3x+ 5)-3cos2(-3x+ 5)

D"oùf?(x) = 3sin2(-3x+ 5)-3cos2(-3x+ 5)

4.f(x) =1 + sin(x)cos(x).

SoitDfle domaine de définition de la fonctionf. D f={x?[-π;π]/cos(x)?= 0}. c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.10

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

Posonscos(x) = 0.

xétant dans l"intervalle[-π;π]les valeurs dexpour lesquellescos(x) = 0 sontx=-π

2etx=π2.

D"oùDf=?

2? -π2;π2? ??π2;π? Les fonctionx?→cos(x)etx?→1+sin(x)sont définies et dérivables sur Ren particulier surDf. Ainsi, la fonctionfest dérivable surDfcomme quotient de deux fonctions dérivables surDfet dont le dénominateur ne s"annule pas.

Pour toutx?Df;

f ?(x) =(1 + sin(x))?cos(x)-(cos(x))?(1 + sin(x)) (cos(x))2 cos(x)cos(x) + sin(x)(1 + sin(x)) cos2(x) cos2(x) + sin(x) + sin2(x) cos2(x)

1 + sin(x)

cos2(x)

D"oùf?(x) =1 + sin(x)

cos2(x)

Exercice11:

On considère la fonctionfdéfinie surRpar :

f(x) = sin(x)sin(2x)

1.Montrons quefest une fonction périodique et précisons sa période.

fest une fonction définie surRet on sait que pour toutx?R,x+2π?R puis on a: f(x+ 2π) = sin(x+ 2π)sin(2(x+ 2π)) = sin(x)sin(2x+ 2×2π) = sin(x)sin(2x) =f(x) c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.11

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

Ainsi, la fonctionfest une fonction périodique de période2π.

2.Étudions la parité de la fonctionf.

Pour toutx?R, on a:-x?Ret

f(-x) = sin(-x)sin(-2x) =-sin(x)(-sin(2x)) = sin(x)sin(2x) = f(x). Par conséquent, la fonctionfest une fonction paire.

3.Déduisons un intervalleIsur lequel on peut restreindre l"étude de la

fonctionf. La fonctionfest une fonction périodique de période2πdonc on peut re- streindre l"étude de la fonctionfsur un intervalle de longueur2πcomme l"intervalle[-π;π]. De plus la fonctionfest une fonction paire, donc on peut restreindre l"étude de la fonctionfsur l"intervalle[0;π].

D"oùI= [0;π]

4.Calculons la dérivée de la fonctionfsurI.

Pour toutx?[0;π],

f ?(x) = (sin(x))?sin(2x) + sin(x)(sin(2x))? = cos(x)sin(2x) + sin(x)×2cos(2x) = cos(x)sin(2x) + 2sin(x)cos(2x)

D"oùf?(x) = cos(x)sin(2x) + 2sin(x)cos(2x)

Exercice12:

On considère la fonctiongdéfinie surRpar :

g(x) = sin(x)(1 + cos(x))

1.Montrons quegest une fonction périodique et précisons sa période.

gest une fonction définie surRet on sait que pour toutx?R,x+2π?R c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.12

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

puis on a: g(x+ 2π) = sin(x+ 2π)(1 + cos(x+ 2π)) = sin(x)(1 + cos(x)) =g(x) Ainsi, la fonctiongest une fonction périodique de période2π.

2.Étudions la parité de la fonctiong.

Pour toutx?R, on a-x?Ret

g(-x) = sin(-x)(1 + cos(-x)) =-sin(x)(1 + cos(x)) =-g(x). Par conséquent, la fonctiongest une fonction impaire.

3.Déduisons un intervalleIsur lequel on peut restreindre l"étude de la

fonctiong. La fonctiongest périodique de période2πdonc on peut restreindre l"étude de la fonctiongà un intervalle de longueur2πcomme[-π;π]. De plus, la fonctiongest une fonction impaire donc on peut l"étudier sur [0;+∞[. En somme, on peut étudier la fonctiongsur l"intervalleI= [0;π]

4.Calculons la dérivée de la fonctiongsurIet écrivons son expression en

fonction decos(x). g ?(x) = (sin(x))?(1 + cos(x)) + sin(x)(1 + cos(x))? = cos(x)(1 + cos(x)) + sin(x)(-sin(x)) = cos(x) + cos2(x)-sin2(x) = cos

2(x) + cos(x)-(1-cos2(x))

quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

[PDF] fragilité des sols

[PDF] ressource non renouvelable définition

[PDF] surexploitation des sols

[PDF] dégradation des sols par l homme

[PDF] y=f'(a)(x-a)+f(a) exemple

[PDF] comment appelle t on l'eau ? l'état gazeux

[PDF] la cene leonard de vinci

[PDF] leonard de vinci philosophe

[PDF] film de leonard de vinci

[PDF] comment est mort leonard de vinci

[PDF] qu'est ce qu'un mauvais conducteur en physique

[PDF] les gaz rares chimie

[PDF] quelles sont les molécules formées par les atomes de gaz nobles

[PDF] g(x)=e^x-x-1 etudier les variations de la fonction g

[PDF] h(x)=(-x-1)e^-x