Résumé de cours et méthodes 1 Nombre dérivé

Premier exercice

Soit f la fonction définie sur IR par. 2 2x f(x) x e. -. = et ( )C sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O;i j). . 1) a- Calculer. )x(

IL Band / Sektions-Vorträge

If f (x) is not congruent to an algebraic square mod p that is

DÉRIVATION

Exemple : On considère la fonction trinôme f définie sur R par f (x) = x2 + 3x ?1. Page 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.

FONCTION DERIVÉE

FONCTION DERIVÉE. I. Dérivées des fonctions usuelles. Exemple : Soit la fonction f définie sur R par f (x) = x2 . Calculons le nombre dérivé de la fonction

f(x)= 5x ? 3x +2 f (x)= 2×5x ? 3

3x +2 f '(x)= 2×5x ? 3. Définition : Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur ? par f(x) = ax2 +bx + c . On appelle fonction dérivée de f

Polynôme du second degré

Soit f une fonction définie sur R par f (x) = x2 +x ?2. 1. Calculer f (1). 2. Déterminer la forme canonique de f . 3. Dresser le tableau de variations de

f(x)= 2x ? 3x +5x ?1 f (x)= 3×2x ?2× 3x +5

3x. 2. +5x ?1 f '(x)= 3×2x. 2. ?2× 3x +5. Définition : Soit f une fonction polynôme du troisième degré définie sur ? par f(x) = ax3 +bx2 + cx + d .

FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE

Exercice 9. Soit f la fonction définie sur ? par f (x) = 3x2 ?3x ? 2. 1) À l'aide de la calculatrice tracer dans un repère la représentation graphique de la

Résumé de cours et méthodes 1 Nombre dérivé - Fonction dérivée

Etant donné f est une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel a f est dérivable en a si Exemple : Soit f définie sur R par f(x) = x2.

TRIGONOMÉTRIE (II) CORRECTION DES EXERCICES

Par conséquent la fonction f est une fonction périodique de période 2?. Exercice 4 : Soit g une fonction définie sur R par g(x) = ?2 cos(2x)+1.

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est une fonction linéaire Exemples : La fonction f définie sur ? par ( ) 6 f x x = ? + est une fonction affine La fonction g définie sur ? par 2

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FONCTION DERIVÉE I Dérivées des fonctions usuelles Exemple : Soit la fonction f définie sur R par f (x) = x2 Calculons le nombre dérivé de la fonction

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La fonction f est continue dérivable sur R et sa dérivée f (x)=3x2 + 2 est strictement positive sur R Par conséquent f est strictement croissante sur R donc

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– une fonction affine f : x ?? ax + b est partout dérivable et f (x0) = a pour tout x0 Voici deux exemples bien connus Exemples a) Soit n ? 1 un entier

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n 2 Z Exercice 4 Soit f : R ! R une fonction périodique qui admet une limite en +1 Que R définie par f(x) = x2 sin(?/x) si x 6= 0 et f(0) = 0

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Soit ƒ la fonction numérique définie sur R par: f(x)= 2x+1+Inx I et soit sa courbe représentative dans un repère orthonormé(0;i;]) 1) Calculer: lim f(x)

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Déterminer les extrema locaux des fonctions $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ suivantes : $f(xy) = x^2 + xy + y^2 - 3x - 6y$; $f(xy) = x^2 + 2y^2 - 2xy - 2y

Dérivation : Résumé de cours et méthodes

1Nombre dérivé - Fonction dérivée :

DÉFINITIONEtant donnéfest une fonction définie sur un intervalleIcontenant le réela,fest dérivable enasif(a+h)f(a)h

tend vers un réel, appelé alors nombre dérivé defenaet notéf0(a), lorsquehtend vers 0.

Sifest dérivable pour tous les éléments deI, on dit quefest dérivable surIet on appelle dérivée defla fonction, notée

0, qui à toutadeIassocief0(a), le nombre dérivé defena.Exemple :Soitfdéfinie surRparf(x) =x2.

Pour touta,f(a+h)f(a)h

=(a+h)2a2h =a2+2ah+h2a2h =2a+h. Ce quotient tend vers 2aquandhtend vers 0. Pour touta,fest donc dérivable enaetf0(a) =2a. On dit quefest dérivable surRet que sa fonction dérivée est définie parf0(x) =2x.

2Dérivées des fonctions usuelles :FonctionFonction dérivéepour toutxdeExemples

f(x) =af

0(x) =0Rf(x) =3)f0(x) =0f(x) =ax+bf

0(x) =aRf(x) =x)f0(x) =1

f(x) =2x4)f0(x) =2f(x) =xn(nentier>2)f

0(x) =nxn1Rf(x) =x2)f0(x) =2x

f(x) =x3)f0(x) =3x2f(x) =1xf

0(x) =1x

2R f(x) =1x n(nentier>2)f

0(x) =nx

n+1R f(x) =1x

2)f0(x) =2x

3 f(x) =1x

3)f0(x) =3x

4f(x) =pxf

0(x) =12

px]0;+¥[1 reSérie Technologique - Dérivationc

P.Brachet -www .xm1math.net1

3Étude forme par forme des opérations sur les fonctions dérivables :

Avertissement :Nous utiliserons par souci de simplification le traditionnel et affreux abus de langage qui consiste par exemple à

dire que la dérivée dex2est égale à 2x(alors que nous devrions dire en fait que la dérivée de la fonction qui àxassociex2est la

fonction qui àxassocie 2x).

Il ne faut jamais oublier que l"on ne doit pas confondre unefonctionfavecf(x)(l"image dexparfqui est unréel) et que la

dérivéef0est elle-même unefonctionqui à toutxassocief0(x)(le nombre dérivé defenx, qui est unréel).

afin de nous concentrer sur l"utilisation des formules.

3-1Formef+g

PROPRIÉTÉSifetgsont deux fonctions dérivables sur un intervalleIalors la fonctionf+gest aussi dérivable surIet(f+g)0=f0+g0.Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x2+xest définie par :

0(x) =2x|{z}

´eriv´eedex2+1|{z}

´eriv´eedex

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x3+4xest définie par :

0(x) =3x2|{z}

´eriv´eedex3+4|{z}

´eriv´eede4x

3)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =px+1x

est définie par : f

0(x) =12

px |{z} d

´eriv´eedepx

(1)x 2|{z} d

´eriv´eede1x

3-2Formekf(kréel)

PROPRIÉTÉSifest une fonction dérivable sur un intervalleIet sikest un réel alors la fonctionkfest aussi dérivable surIet(kf)0=kf0.Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =3x2est définie par :

0(x) =32x|{z}

´eriv´eedex2=6x

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =5x3est définie par :

0(x) =53x2|{z}

´eriv´eedex3=15x2

3)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =2x

=21x est définie par : f

0(x) =2(1)x

2|{z} d

´eriv´eede1x

=2x 2

3-3Formefg

PROPRIÉTÉSifetgsont deux fonctions dérivables sur un intervalleIalors la fonctionfgest aussi dérivable surIet(fg)0=f0g+fg0.2

c P.Brachet -www .xm1math.net1reSérie Technologique - Dérivation

Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =xpxest définie par :

0(x) =1|{z}

´eriv´eedexpx+x12

px |{z} d

´eriv´eedepx

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x2(3+px)est définie par :

0(x) =2x|{z}

´eriv´eedex2(3+px)+x212

px |{z} d

´eriv´eede3+px

3-4Formef2

PROPRIÉTÉSifest une fonction dérivable sur un intervalleIalors la fonctionf2est aussi dérivable surIetf20=2f0f.Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) = (3x+1)2est définie par :

0(x) =23|{z}

´eriv´eede3x+1(3x+1) =6(3x+1)

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x3+4x2est définie par :

0(x) =2(3x2+4)|{z}

´eriv´eedex3+4x(x3+4x)

3-5Forme1f

PROPRIÉTÉSifest une fonction dérivable sur un intervalleI(oùf(x)ne s"annule pas) alors la fonction1f

est aussi dérivable surIet 1f 0 =f0f

2.Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =15x1est définie par :

0(x) =d

´eriv´eede5x1z}|{5(5x1)2

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =1x

2+3est définie par :

0(x) =d

´eriv´eedex2+3z}|{2x(x2+3)2

3-6Formefg

PROPRIÉTÉSifetgsont deux fonctions dérivables sur un intervalleI(oùg(x)ne s"annule pas) alors la fonctionfg

est aussi dérivable surI et fg 0 =f0gfg0g 2.1 reSérie Technologique - Dérivationc

P.Brachet -www .xm1math.net3

Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =7x2x+3est définie par :

0(x) =d

´eriv´eede7xz}|{

(7)(2x+3)(7x)d

´eriv´eede2x+3z}|{

(2)(2x+3)2=14x+2114x(2x+3)2=21(2x+3)2

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x23x+1est définie par :

0(x) =d

´eriv´eedex2z}|{

(2x)(3x+1)(x2)d

´eriv´eede3x+1z}|{

4Tableau récapitulatif des opérations sur les fonctions dérivables :FonctionFonction dérivée

f+gf

0+g0kf(k2R)kf

0fgf

0g+fg0f

22f0f1

f f0f 2f gf

0gfg0g

25Exemples de dérivation nécessitant l"utilisation de plusieurs formes :

La première chose à faire avant de dériver une fonction est de déterminer sa structure (somme, produit, quotient ...) afin de déter-

miner quelles sont les formes à utiliser.

Exemples :

1)Dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =2x3+5x2+7x5 :

La fonction se présente d"abord comme une somme de termes, on utilise donc la formef+g(de dérivéef0+g0) et pour

dériver 2x3et 5x2on utilise la formekf. Ce qui donne : f

0(x) =2(3x2)|{z}

´eriv´eedex3+5(2x)|{z}

´eriv´eedex2+ (7)|{z}

´eriv´eede7x5=6x2+10x+7

2)Dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) = (8x2+5)px:

La fonction se présente sous la forme d"un produit, on utilise donc la formefg(de dérivéef0g+fg0). La dérivée de 8x2

(formekf) est égale à 8(dérivée dex2) =8(2x) =16x. La dérivée de 5 est elle égale à 0. Donc la dérivée de 8x2+5

est égale à 16x.

D"où le résultat final :

0(x) =16x|{z}

´eriv´eede8x2+5px+(8x2+5)12

px |{z} d

´eriv´eedepx

=16xpx+8x2+52 px 4 c P.Brachet -www .xm1math.net1reSérie Technologique - Dérivation

3)Dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =147x2:

La fonction se présente sous la forme d"un inverse, on va donc utiliser la forme 1f (de dérivéef0f

2). On aura donc besoin

de la dérivée de 47x2:

La dérivée de7x2(formekf) est égale à7(dérivée dex2) =7(2x) =14x. La dérivée de 4 étant nulle, la

dérivée de 47x2sera donc égale à14x.

D"où le résultat final :

0(x) =d

´eriv´eede47x2z}|{

(14x)(47x2)2=14x(47x2)2

6Calcul d"une équation de la tangente à une courbe en un point :

PROPRIÉTÉSifest une fonction définie et dérivable sur un intervalleIcontenant le réela, alors la tangente à la courbe defau point

d"abscisseaest la droite passant par le pointA(a;f(a))et dont le coefficient directeur est égal àf0(a).

Une équation de la tangente à la courbe représentative defau point d"abscisseaest alors : y=f(a)+f0(a)(xa).Exemples :

1)SoitTla tangente à la courbe représentative de la fonctionfdéfinie parf(x) =x23x+1 au point d"abscisse 2 .

Une équation deTest :y=f(2)+f0(2)(x2)

- on calcule d"abordf(2):f(2) =2232+1=46+1=1. - on dérivef:f0(x) =2x3. - on en déduit la valeur def0(2):f0(2) =223=1.

Une équation deTest donc :y=1+1(x2),y=x3

2)SoitTla tangente à la courbe représentative de la fonctionfdéfinie parf(x) =2x1x+3au point d"abscisse1 .

Une équation deTest :y=f(1)+f0(1)(x(1)),y=f(1)+f0(1)(x+1)) - on calcule d"abordf(1):f(1) =2(1)11+3=32 - on dérivef:f0(x) =2(x+3)(2x1)1(x+3)2=2x+62x+1(x+3)2=7(x+3)2. - on en déduit la valeur def0(1):f0(1) =7(1+3)2=74

Une équation deTest donc :y=32

+74
(x+1),y=64 +74
x+74 ,y=74 x+14 x1 reSérie Technologique - Dérivationc

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quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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1Nombre dérivé - Fonction dérivée :

0, qui à toutadeIassocief0(a), le nombre dérivé defena.Exemple :Soitfdéfinie surRparf(x) =x2.

Pour touta,f(a+h)f(a)h

2Dérivées des fonctions usuelles :FonctionFonction dérivéepour toutxdeExemples

0(x) =0Rf(x) =3)f0(x) =0f(x) =ax+bf

0(x) =aRf(x) =x)f0(x) =1

0(x) =nxn1Rf(x) =x2)f0(x) =2x

0(x) =1x

0(x) =nx

2)f0(x) =2x

3)f0(x) =3x

4f(x) =pxf

0(x) =12

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3Étude forme par forme des opérations sur les fonctions dérivables :

3-1Formef+g

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x2+xest définie par :

0(x) =2x|{z}

´eriv´eedex2+1|{z}

´eriv´eedex

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x3+4xest définie par :

0(x) =3x2|{z}

´eriv´eedex3+4|{z}

´eriv´eede4x

3)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =px+1x

0(x) =12

´eriv´eedepx

´eriv´eede1x

3-2Formekf(kréel)

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =3x2est définie par :

0(x) =32x|{z}

´eriv´eedex2=6x

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =5x3est définie par :

0(x) =53x2|{z}

´eriv´eedex3=15x2

3)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =2x

0(x) =2(1)x

´eriv´eede1x

3-3Formefg

Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =xpxest définie par :

0(x) =1|{z}

´eriv´eedexpx+x12

´eriv´eedepx

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x2(3+px)est définie par :

0(x) =2x|{z}

´eriv´eedex2(3+px)+x212

´eriv´eede3+px

3-4Formef2

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) = (3x+1)2est définie par :

0(x) =23|{z}

´eriv´eede3x+1(3x+1) =6(3x+1)

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x3+4x2est définie par :

0(x) =2(3x2+4)|{z}

´eriv´eedex3+4x(x3+4x)

3-5Forme1f

2.Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =15x1est définie par :

0(x) =d

´eriv´eede5x1z}|{5(5x1)2

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =1x

2+3est définie par :

0(x) =d

´eriv´eedex2+3z}|{2x(x2+3)2

3-6Formefg

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Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =7x2x+3est définie par :

0(x) =d

´eriv´eede7xz}|{

´eriv´eede2x+3z}|{

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x23x+1est définie par :

0(x) =d

´eriv´eedex2z}|{

´eriv´eede3x+1z}|{

4Tableau récapitulatif des opérations sur les fonctions dérivables :FonctionFonction dérivée

0+g0kf(k2R)kf

0g+fg0f

22f0f1