Premier exercice
Soit f la fonction définie sur IR par. 2 2x f(x) x e. -. = et ( )C sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O;i j). . 1) a- Calculer. )x(
IL Band / Sektions-Vorträge
If f (x) is not congruent to an algebraic square mod p that is
DÉRIVATION
Exemple : On considère la fonction trinôme f définie sur R par f (x) = x2 + 3x ?1. Page 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.
FONCTION DERIVÉE
FONCTION DERIVÉE. I. Dérivées des fonctions usuelles. Exemple : Soit la fonction f définie sur R par f (x) = x2 . Calculons le nombre dérivé de la fonction
f(x)= 5x ? 3x +2 f (x)= 2×5x ? 3
3x +2 f '(x)= 2×5x ? 3. Définition : Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur ? par f(x) = ax2 +bx + c . On appelle fonction dérivée de f
Polynôme du second degré
Soit f une fonction définie sur R par f (x) = x2 +x ?2. 1. Calculer f (1). 2. Déterminer la forme canonique de f . 3. Dresser le tableau de variations de
f(x)= 2x ? 3x +5x ?1 f (x)= 3×2x ?2× 3x +5
3x. 2. +5x ?1 f '(x)= 3×2x. 2. ?2× 3x +5. Définition : Soit f une fonction polynôme du troisième degré définie sur ? par f(x) = ax3 +bx2 + cx + d .
FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE
Exercice 9. Soit f la fonction définie sur ? par f (x) = 3x2 ?3x ? 2. 1) À l'aide de la calculatrice tracer dans un repère la représentation graphique de la
Résumé de cours et méthodes 1 Nombre dérivé - Fonction dérivée
Etant donné f est une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel a f est dérivable en a si Exemple : Soit f définie sur R par f(x) = x2.
TRIGONOMÉTRIE (II) CORRECTION DES EXERCICES
Par conséquent la fonction f est une fonction périodique de période 2?. Exercice 4 : Soit g une fonction définie sur R par g(x) = ?2 cos(2x)+1.
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est une fonction linéaire Exemples : La fonction f définie sur ? par ( ) 6 f x x = ? + est une fonction affine La fonction g définie sur ? par 2
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FONCTION DERIVÉE I Dérivées des fonctions usuelles Exemple : Soit la fonction f définie sur R par f (x) = x2 Calculons le nombre dérivé de la fonction
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La fonction f est continue dérivable sur R et sa dérivée f (x)=3x2 + 2 est strictement positive sur R Par conséquent f est strictement croissante sur R donc
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– une fonction affine f : x ?? ax + b est partout dérivable et f (x0) = a pour tout x0 Voici deux exemples bien connus Exemples a) Soit n ? 1 un entier
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Donner le domaine de définition ainsi que la forme de la fonction f g g f f f et g g pour les fonctions f et g définies de la façon suivante : (a) f(x)=2x2 x
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n 2 Z Exercice 4 Soit f : R ! R une fonction périodique qui admet une limite en +1 Que R définie par f(x) = x2 sin(?/x) si x 6= 0 et f(0) = 0
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Soit ƒ la fonction numérique définie sur R par: f(x)= 2x+1+Inx I et soit sa courbe représentative dans un repère orthonormé(0;i;]) 1) Calculer: lim f(x)
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Soit f la fonction définie sur R? par f(x) = ?x2 +2x?1 x On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé 1) Déterminer les abscisses des
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Soient f : R ? R et g : R ? R telles que f(x) = 3x+1 et g(x) = x2 ?1 Soit la fonction g : Z ? Z définie par g (m) = m?1 alors g ?g(n) = n (pour
Exercices corrigés -Extrema des fonctions de plusieurs variables
Déterminer les extrema locaux des fonctions $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ suivantes : $f(xy) = x^2 + xy + y^2 - 3x - 6y$; $f(xy) = x^2 + 2y^2 - 2xy - 2y
1 sur 6 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE I. Définition Une fonction polynôme de degré 2 f est définie sur ℝ par
f(x)=ax 2 +bx+c , où a, b et c sont des nombres réels donnés et a ≠ 0. Exemples : - 2 ()54 9fxxx =-+ . On a : a = 5, b = -4 et c = 9. - 2 ()4gxxx =-+. On a : a = -1, b = 4 et c = 0. - La fonction carré est une fonction polynôme particulière telle que : a = 1, b = 0 et c = 0. - ()()
()31 2hxxx =+- . En effet : 22 ()36 235 2hxxx xxx =-+-=--. On a : a = 3, b = -5 et c = -2. On peut tracer la courbe représentative d'une fonction polynôme à l'aide de la calculatrice graphique. Il s'agit d'une parabole. " Jesus dit à ses disciples y2 = 2px. Ils ne comprirent pas, c'était une parabole. » Citation apocryphe Le mot vient du grec " parabolê » qui signifiait l'action de jeter à côté : " para » pour à côté et " bolein » pour jeter.
2 sur 6 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr II. Variations Propriétés : Soit f une fonction polynôme de degré 2, telle que2
()fxax bxc=++. - Si a est positif, f est d'abord décroissante, puis croissante. - Si a est négatif, f est d'abord croissante, puis décroissante. a > 0 a < 0 Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir Ex 1 à 3 (page5) p117 n°1, 3 p120 n°31 Ex 4 à 11 (page5 et 6) p117 n°12, 14, 13* ; p118 n°18* p121 n°40* Tableaux de var. de fonctions du second degré données. Ex 1 à 3 (page5) p134 n°1 à 3 p136 n°32 Ex 4 à 11 (page5 et 6) p138 n°42, 44, 43* p138 n°48* p140 n°63* Tableaux de var. de fonctions du second degré données. ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
3 sur 6 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr III. Extremum La courbe représentative de f est une parabole qui admet un axe de symétrie parallèle à l'axe des ordonnées. Définition : Le point de la courbe qui correspond au maximum ou au minimum est appelé le sommet de la parabole. Exemple : La fonction f définie sur ℝ par 2
()4fxxx =-+admet un maximum. En effet, le coefficient devant x2 est négatif, f est d'abord croissante, puis décroissante. Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2, telle que2
()fxax bxc=++ . Alors f admet un extremum pour x=- b 2a. Méthode : Déterminer les coordonnées de l'extremum d'une fonction polynôme de degré 2 Vidéo https://youtu.be/KgsQI1ksdbA Soit la fonction f définie sur ℝ par 2
()21 223 fxxx =-+. a) Quelle est la nature de l'extremum de la fonction f ? b) Déterminer les coordonnées de cet extremum. c) Construire le tableau de variations de f, puis vérifier en traçant sa courbe représentative à l'aide de la calculatrice. a) Le coefficient devant x2 est positif, f admet donc un minimum. b) Le minimum est atteint en 12
3 222b x a Or 2 (3)23123235 f=×-× += donc f admet un minimum égal à 5 pour 3x= . Les coordonnées du minimum sont (3 ; 5). c)
4 sur 6 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr On pourra tracer la parabole à l'aide d'une calculatrice graphique pour vérifier. Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir Ex 12 à 18 (page6) p117 n°5* Ex 19 et 20 (page6) Ex 12 à 18 (page6) p136 n°33 p138 n°39* Ex 19 et 20 (page6) ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 TP conseillé TP conseillé TP Tice1 p110 : Différentes paraboles p129 TP1 : Différentes paraboles ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
5 sur 6 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Exercice 1 Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions du second degré ? f(x)=3x2-3x+2 g(x)=-4x2+1 h(x)=-3x+9 i(x)=x-3()x+2() j(x)=5x-x2-8 k(x)=9x2 l(x)=1x2-3x+2 m(x)=x3x-6() Exercice 2 Justifier que chacune des fonctions suivantes est une fonction du second degré : f(x)=2x-1()5-x() g(x)=3xx-5()+3 h(x)=1-x()3+x() i(x)=2-x()2 Exercice 3 A l'aide de la calculatrice, tracer dans un repère chaque fonction de l'exercice 2. Exercice 4 Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont d'abord croissantes puis décroissantes ? f(x)=x2-2x+4 g(x)=-x2-7x+2 h(x)=5x2-3x+9 i(x)=3x-x2+1 j(x)=-9x2+2 k(x)=x+3()-x+2() l(x)=-2x1-2x() m(x)=-x+1()2 Exercice 5 Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=2x2-4x+5. 1) À l'aide de la calculatrice, tracer dans un repère la représentation graphique de la fonction f. 2) En déduire le tableau de variations de f. Exercice 6 Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=-3x2-12x+1. 1) À l'aide de la calculatrice, tracer dans un repère la représentation graphique de la fonction f. 2) En déduire le tableau de variations de f. Exercice 7 Parmi les fonctions suivantes, quelles sont celles dont les variations correspondent au tableau de variations ci-contre : f(x)=-x2+2x+2 g(x)=x2-3x+5 h(x)=-2x2+x+2 i(x)=-2x
2 +4x+1 j(x)=1-x()2-x() k(x)=2x-1 4+xExercice 8 Parmi les fonctions suivantes, quelles sont celles dont les variations correspondent au tableau de variations suivant : f(x)=x2+2x-2 g(x)=-x2+5x-3 h(x)=x
2 -2x+5 i(x)=x 2 -8x+17 j(x)=x-4 2 +1 k(x)=2x-7 x+3Exercice 9 Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=3x2-3x-2. 1) À l'aide de la calculatrice, tracer dans un repère la représentation graphique de la fonction f. 2) Conjecturer le nombre de solutions de l'équation 3x2-3x-2=0 et une valeur approchée des solutions éventuelles.
6 sur 6 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Exercice 10 Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=-2x2+3x+4. 1) À l'aide de la calculatrice, tracer dans un repère la représentation graphique de la fonction f. 2) Conjecturer le nombre de solutions de l'équation -2x2+3x+4=0 et une valeur approchée des solutions éventuelles. Exercice 11 Conjecturer le nombre de solutions de l'équation -2x2+x-5=0 et une valeur approchée des solutions éventuelles. Exercice 12 Parmi les fonctions suivantes, lesquelles admettent un minimum ? f(x)=-2x2+x+2 g(x)=-x2-4x+1 h(x)=-x2+7x+9 i(x)=3x2-2x+6 j(x)=5-x()4-x() k(x)=3x-5 Exercice 13 Parmi les fonctions suivantes, lesquelles admettent un maximum ? f(x)=-x2+6x g(x)=5x2-2x+9 h(x)=-4x2+x+1 i(x)=x2+7 j(x)=x-1()8-4x() k(x)=-x-2 Exercice 14 À l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de l'extremum de chaque fonction en précisant s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum. f(x)=x2+2x+1 g(x)=-2x2+8x-2 h(x)=x2-2x+3 i(x)=-x2+6x+5 j(x)=3x2+3x k(x)=-x2-3x-2 Exercice 15 À l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de l'extremum de chaque fonction en précisant s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum. f(x)=10x2+3x+1 g(x)=-8x2+x-5 h(x)=50x2-6 Exercice 16 Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=x2-2x+4. 1) Quelle est la nature de l'extremum de f (minimum ou maximum) ? Justifier. 2) Pour quelle valeur de x est-il atteint ? Calculer cet extremum. 3) Construire le tableau de variations de f, puis vérifier en traçant sa courbe représentative à l'aide de la calculatrice. 4) Reproduire la courbe dans un repère. Exercice 17 Même exercice avec la fonction f définie sur ℝ par f(x)=x2-4x-1. Exercice 18 Même exercice avec la fonction f définie sur ℝ par f(x)=-x2+6x-8. Exercice 19 Même exercice avec la fonction f définie sur ℝ par f(x)=-4x2+4x-4. Exercice 20 Même exercice avec la fonction f définie sur ℝ par f(x)=9x2-36x+32. Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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