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Analyse 3

Notes de cours

Andr´e Giroux

D´epartement de Math´ematiques et Statistique

Universit´e de Montr´eal

Mai 2004

Table des mati`eres1 INTRODUCTION31.1 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 L"ESPACE EUCLIDIEN52.1 Propri´et´es alg´ebriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52.2 Propri´et´es g´eom´etriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82.3 Propri´et´es topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183 FONCTIONS NUM´ERIQUES CONTINUES223.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223.2 Propri´et´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304 FONCTIONS NUM´ERIQUES D´ERIVABLES324.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .324.2 Fonctions continˆument d´erivables. . . . . . . . . . . . . . . .344.3 Propri´et´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .384.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .415 OPTIMISATION435.1 Extremums locaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .435.2 Fonctions convexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .455.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .476 TRANSFORMATIONS DE L"ESPACE EUCLIDIEN496.1 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .496.2 Transformations continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .516.3 Transformations diff´erentiables. . . . . . . . . . . . . . . . .546.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .577 D´ERIVATION EN CHAˆINE597.1 Le th´eor`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .597.2 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .617.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .668 FONCTIONS INVERSES688.1 Le th´eor`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .688.2 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .721

8.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .759 FONCTIONS IMPLICITES779.1 Le th´eor`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .779.2 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .799.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8010 OPTIMISATION SOUS CONTRAINTES8210.1 Vari´et´es diff´erentiables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8210.2 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8410.3 Extremums li´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8710.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89Table des figures1 Un t´etra`edre dansR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72 Un plan dansR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123 Une discontinuit´e `a l"origine. . . . . . . . . . . . . . . . . . .244 Une discontinuit´e le long d"un rayon. . . . . . . . . . . . . .255 Une fonction continˆument d´erivable. . . . . . . . . . . . . . .386 Une fonction convexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .467 Une transformation du plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . .508 Les coordonn´ees sph´eriques dansR3. . . . . . . . . . . . . .529 Un point de rebroussement. . . . . . . . . . . . . . . . . . .852

1 INTRODUCTION

L"analyse math´ematique est l"´etude approfondie du calcul diff´erentiel et int´egral. Ce cours porte sur le calcul diff´erentiel des fonctions de plusieurs va- riables. On commence par y ´etablir les propri´et´es alg´ebriques, g´eom´etriques et topologiques de l"espace euclidien `andimensions, l"espaceRn. On y ´etudie ensuite le calcul diff´erentiel des fonctions num´eriques de plusieurs variables, les fonctionsRn→R. On y analyse enfin les transformations diff´erentiables des espaces euclidiens, les fonctionsRn→Rm, avec en particulier une d´emonstration du th´eor`eme des fonctions inverses et une de celui des fonc- tions implicites. Comme application, on pr´esente les m´ethodes classiques du calcul diff´erentiel pour l"optimisation d"une fonctionf(x1,x2,...,xn), avec ou sans contrainte sur les variablesx1,x2,...,xn. L"´etudiant est r´eput´e ˆetre familier avec le calcul diff´erentiel des fonctions d"une variable, les fonctionsR→R. Rappelons quelques r´esultats impor- tants de ce calcul.a)Le crit`ere de Cauchy. Une suite{xn}n?Nnum´erique est convergente si et seulement si lim n,m→+∞|xn-xm|= 0.b)Le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass. Toute suite{xn}n?Nde points d"un intervalle compact [a,b] contient

une suite partielle convergeant vers un point de cet intervalle.c)La propri´et´e des valeurs extrˆemes.

L"image d"un intervalle compact par une fonction continue est un in- tervalle compact.d)Le th´eor`eme des accroissements finis. Sif: [a,b]→Rest d´erivable sur ]a,b[ et continue sur [a,b], il existe un pointc?]a,b[ tel que f(b)-f(a) =f?(c)(b-a).e)Le th´eor`eme de Taylor. Sifestn+ 1 fois d´erivable dans un intervalle ouvertIcontenantx0, on peut ´ecrire, pourx?I, f(x) =n? k=0f (k)(x0)k!(x-x0)k+f(n+1)(ξ)(n+ 1)!(x-x0)n+1 avecξentrex0etx.3 f)Les fonctions convexes. Une fonction d´erivablef: (a,b)→Rest convexe sur (a,b) si et seulement si sa d´eriv´ee est croissante sur (a,b). Elle satisfait alors les in´egalit´es quelques soienta < x1< x3< x2< bet f(x)≥f(x0) +f?(x0)(x-x0) quelques soientx,x0?(a,b). L"´etudiant est aussi suppos´e connaˆıtre les concepts fondamentaux de l"alg`ebre lin´eaire : matrices, d´eterminants, ´ecriture matricielle d"un syst`eme d"´equations lin´eaires, r`egle de Cramer pour le r´esoudre, vecteurs, transfor- mations lin´eairesRn→Rmet th´eor`eme des axes principaux.

1.1 Exercices

Justifier ses r´eponses.1.Calculer

limsup

n→+∞sinnπ2cosnπ ,liminfn→+∞sinnπ2cosnπ.2.D´eterminer, sans calculatrice, le plus grand des deux nombresπeet

e

π.3.Montrer que

lorsque 0< x <1.4

2 L"ESPACE EUCLIDIEN

Un pointxde l"espace euclidien `andimensionsRnest un n-tuplet : x= (x1,x2,...,xn). L"additionet lamultiplication scalairey sont d´efinies par x+y= (x1+y1,x2+y2,...,xn+yn) et

λx= (λx1,λx2,...,λxn)

respectivement. On peut donc ´ecrire x=n? j=1x je(n) j si e(n) j= (0,0,...,1,...,0) (le 1 occupant laji`emeposition). Pour utiliser l"´ecriture matricielle, il sera quelquefois commode d"identifier le pointxavec son vecteur position, l"´el´ement deRn×1(la matricen×1, le vecteur colonne) dont les entr´ees sont les nombresxj. AlorsxTd´esignera l"´el´ement deR1×n(la matrice 1×n, le vecteur ligne) obtenu par transposition matricielle : x

T= (x1x2... xn).

(Remarquer que les entr´ees d"une matrice 1×nne sont pas s´epar´ees par des virgules.)

2.1 Propri´et´es alg´ebriques

Une somme

N? k=1λ kxk est unecombinaison lin´eairedes pointsxk, unecombinaison affine si?N k=1λk= 1 et unecombinaison convexesi, de plus,λk≥0 pour toutk. Un ensembleE?Rnest unensemble convexes"il contient toute combinaison convexe de ses points.

Exemple.5

Ladroitepassant para,b?Rn(a?=b) est l"ensemble des combinaisons affines deaetb: x= (1-λ)a+λb=a+λ(b-a), λ?R. Dans le cas g´en´erique o`uak?=bkpour toutk, cela impose lesn-1 contraintes suivantes sur les coordonn´ees du pointxqui la parcourt : x Lesegment[a,b] est l"ensemble des combinaisons convexes deaetb

Exemple.

Soientx0,x1,x2,...,xmm+ 1 points tels que lesmvecteurs x

1-x0,x2-x0,...,xm-x0

soient lin´eairement ind´ependants. Lepoly`edre(le polytope) [x0,x1,x2,...,xm] desommets x0,x1,x2,...,xmest l"ensemble des combinaisons convexes de ces points. C"est un ensemble convexe. Lorsquem= 2, on obtient un triangledont lescˆot´essont les segments [x0,x1], [x1,x2] et [x2,x0]. Lorsque m= 3, on obtient unt´etra`edredont lesfacessont les triangles [x0,x1,x2], [x0,x1,x3], [x0,x2,x3] et [x1,x2,x3] et lesarˆetessont les cˆot´es [x0,x1], [x0,x2], [x0,x3], [x1,x2], [x1,x3] et [x2,x3] de ces triangles.

Exemple.

Unpav´e(un parall´el´epip`ede rectangle)Pest d´efini parnin´egalit´es strictes ou larges : P= (a1,b1)×(a2,b2)× ··· ×(an,bn) (dansR, [a,b] d´esigne un intervalle ferm´e, ]a,b[, un intervalle ouvert et (a,b), un intervalle quelconque).6 x 1 x 2 x 3 ?a,0,0??0,b,0??0,0,c?

?0,0,0?Fig.1 - Un t´etra`edre dansR3Lorsquen= 2, il est possible d´efinir un produitxyqui prolonge `aR2la

structure de corps qui existe surR. Identifionsxe(1)

1?Ravecxe(2)

1?R2.

Il suffit de d´efinir

e (2) 1e(2)

1=e(2)

1,e(2)

1e(2)

2=e(2)

2e(2)

1=e(2)

2,e(2)

2e(2)

2=-e(2)

1 et de postuler la distributivit´e de ce produit sur l"addition et sa commuta- tivit´e avec la multiplication scalaire; on obtient : xy= (x1y1-x2y2)e(2)

1+ (x1y2+x2y1)e(2)

2.

Six1e(2)

1+x2e(2)

2?=0,

1x1e(2)

1+x2e(2)

2=x1x21+x22e(2)

1+-x2x21+x22e(2)

2.

Puisque (e(2)

2)2=-1, ce corps ne peut pas ˆetre ordonn´e. Il s"agit en fait du

corps des nombres complexesC. Le produit pr´ec´edent ne peut pas ˆetre prolong´e `aR3. Supposons en effet le contraire. Identifionsx1e(2)

1+x2e(2)

2?R2avecx1e(3)

1+x2e(3)

2?R3et

posons e (3) 2e(3)

3=u1e(3)

1+u2e(3)

2+u3e(3)

3.7

Alors on devra avoir

-e(3)

3= (e(3)

2)2e(3)

3=e(3)

2(e(3)

2e(3) 3) =e(3)

2(u1e(3)

1+u2e(3)

2+u3e(3)

3) =u1e(3)

2-u2e(3)

1+u3(u1e(3)

1+u2e(3)

2+u3e(3)

3) de telle sorte que

0= (-u2+u1u3)e(3)

1+ (u1+u2u3)e(3)

2+ (1 +u23)e(3)

3 et en particulier

1 +u23= 0

ce qui est absurde.

2.2 Propri´et´es g´eom´etriques

Leproduit scalaireest d´efini par

x·y=n? j=1x jyj=xTy et lanorme d"un vecteurpar ?x?=⎷x·x=? ???n? j=1x 2j. Avec ces notations, l"in´egalit´e de Cauchy-Schwarzs"´ecrit avec´egalit´e si et seulement si les vecteursxetysont lin´eairement d´ependants et l"in´egalit´e du triangledevient avec ´egalit´e pr´ecis´ement lorsque les vecteursxetysont des multiples positifs l"un de l"autre.

Exemple.8

Laboule ouvertede centrex0et de rayonr >0 est d´efinie par une in´egalit´e stricte

B(x0,r) ={x| ?x-x0?< r}

et lasph`erede mˆemes centre et rayon est

S(x0,r) ={x| ?x-x0?=r}.

Une boule est un ensemble convexe.

Observons que l"in´egalit´e de Cauchy-Schwarz est ´equivalente `a ?y?= sup?|x·y|?x?|x?=0? = sup{|x·y| | ?x?= 1}. Lanorme d"une transformation lin´eaire A:Rn→Rmest d´efinie par ?A?∞= sup??A(x)??x?|x?=0? = sup{?A(x)? | ?x?= 1}. Si A=( (((a

1,1a1,2···a1,n

a a m,1am,2···am,n) )))?Rm×n est sa matrice relativement aux bases canoniques, c"est-`a-dire si a i,j=e(m) i·A(e(n) j) donc

A(x) =A(

n? j=1x je(n) j) =n? j=1x jA(e(n) j) n? j=1x jm i=1a i,je(m) i=m? i=1( n? j=1a i,jxj) e(m) i, on a ???m? i=1n j=1a

2i,j=?A?.9

Cela suit en effet de l"in´egalit´e de Cauchy-Schwarz : ?A(x)?2=m? i=1( n? j=1a i,jxj) )2 i=1n j=1a 2i,jn j=1x 2j=( m? i=1n j=1a 2i,j) ?x?2.

On a donc

Le nombre?A?est bien sˆur plus facile `a calculer que le nombre?A?∞ mais ce dernier est ind´ependant de la base choisie pour repr´esenterAet se g´en´eralise plus facilement au cas de transformations lin´eaires entre espaces de dimension infinie. (Dans ce cours, nous n"utilisons que la base canonique et nous identifions, quand cela est commode, la transformation lin´eaire avec sa matrice).

Exemple.

Si la matriceAde l"op´erateur lin´eaireA:Rn→Rnest diagonale, A=( (((a

1,10···0

0a2,2···0

0 0···an,n)

on a ?A?=? ???n? j=1a 2j,j et

D´emonstration.

1.On a

?λL?∞= sup{?λL(x)? | ?x?= 1}= sup{|λ|?L(x)? | ?x?= 1} =|λ|sup{?L(x)? | ?x?= 1}=|λ|?L?∞.

2.On a

3.On a

=?N?∞sup{?L(x)? | ?x?= 1}=?N?∞?L?∞.

C.Q.F.D.

L"angleform´e par les vecteursxetyest d´efini par ?(x,y) = arccosx·y?x??y?. que si les vecteursxetysont lin´eairement d´ependants. Les vecteursxety sontorthogonauxlorsque x·y= 0.

Exemple.

L"hyperplanHpassant paraet orthogonal `a la direction d´etermin´ee par le vecteurn(la directionnormale) est

H={x|n·(x-a) = 0}.

Il induit deuxdemi-espaces ouverts

H +={x|n·(x-a)>0} et H -={x|n·(x-a)<0}. Lorsquen= 3, leproduit vectorielest d´efini par x×y= (x2y3-x3y2,x3y1-x1y3,x1y2-x2y1).11 On a x×y·x=x×y·y= 0. Six1,x2etx3sont trois points du planHtels que les vecteurs d´eplacements x

2-x1etx3-x1sont lin´eairement ind´ependants,Hpeut ˆetre d´ecrit par

l"´equation (x2-x1)×(x3-x1)·(x-x1) = 0.x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 ?x 2 ?x 1 ???x 3 ?x 1 ???x?x 1 ?0Fig.2 - Un plan dansR32.3 Propri´et´es topologiques Ladistanceentrexetyest?x-y?. Elle satisfait l"in´egalit´e pour toutz. Un ensembleE?Rnestouvertsi `a chaque pointx0?Ecorrespond r >0 tel que

B(x0,r)?E.

Exemple.12

Une boule ouverteB(a,R) est ouverte : six0?B(a,R), soit?x0-a?=

ρ < R. Alors si?x-x0?< R-ρ,x?B(a,R) car

Exemple.

Un demi-espace ouvert

H +={x|n·(x-a)>0} est ouvert. Six0?H+, soitn·(x0-a) =δ >0. Alors si?x-x0?< δ/?n?, x?H+car n·(x-a) =n·(x-x0) +n·(x0-a)≥ -?n??x-x0?+δ >0. Toute r´eunion, toute intersection finie d"ensembles ouverts est encore un ensemble ouvert.

Exemple.

DansR, les ensembles ouverts sont pr´ecis´ement les ensembles qui peuvent s"´ecrire comme une r´eunion finie ou d´enombrable d"intervalles ouverts dis- joints. Un ensembleE?Rnestferm´esi son compl´ementaireEc=Rn\Eest ouvert.

Exemple.

Un hyperplanHest ferm´e puisque son compl´ementaireH+?H-est ouvert.

Exemple.

Un pav´ePd´efini par des in´egalit´es larges, P= [a1,b1]×[a2,b2]× ··· ×[an,bn], est ferm´e. Six0/?P, il faut que, par exemple, on aitx0,1-b1=δ >0. Alorsquotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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