[PDF] Cours dAnalyse 3 Chapitre I. est dérivable sur R

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Printemps 2017

Chap 1, Analyse 3 (SMIA)

Cours d"Analyse 3, Chapitre I.

B. Bouya & A. Hanine

Chapitre 1

Formule de Taylor et applicationsFixons un pointx02Ret soitIun intervalle ouvert contenantx0.Considérons une fonction

f:I7!Rdérivable au pointx0.Nous savons très bien que le grapheC(f) defadmet une droite tangente au pointx0,dont l"équation est un polynôme de degré 1.Nous voulons maintenant faire mieux, nous nous demandons alors si c"est possible d"approcherC(f) au voisinage de x0par, cette fois, un parabole, autrement dit par un graphe d"un polynôme de degré 2! La formule de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor, permet en effet l"approximation

d"une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d"un point par un polynôme de degré assez

grand que nous souhaitons. La figure suivante illustre le cas de la fonction exponentielle au voisinage de 0.xy 1 0

Åx36

1

Formule de Taylor et applications2

1. Dérivées successivesDans toute la suite, nous désignons parIun intervalle ouvert deRet parf:I!Rune fonction

réelle. Une fonction est dite de classeC0surIsi tout simplement elle est continue surI,dans ce cas nous écrivonsf2C0(I).L"ensemble de toutes les fonctions réelles qui sont continue sur

Iest noté parC0(I).

1.1. Les classesCn(I)etC1(I).

On dit que la fonctionfest de classeC1surIsifest dérivable surIet sa dérivéef0est continue surI,dans ce cas nous écrivonsf2C1(I).Si de plusf0est dérivable surI,on dit alors

quefest deux fois dérivable surI.La dérivée def0est appelée la dérivée seconde defet est

souvent notée parf00ouf(2). Plus généralement, pournÊ2, on dit quefestnfois dérivable sur

Isifestn¡1 fois dérivable et que la (n¡1)ièmedérivée, notée parf(n¡1),est aussi dérivable,

nous avons f

0AEf(1),³

f(1)´0AEf(2),¢¢¢,³ f(n)´0AEf(nÅ1). On peut aussi utiliser la notation classique suivante f (n)(x)AEdnfdx n(x),x2I.Définition 1 Soitnun entier naturel. La classeCn(I) est l"ensemble de toutes les fonctionsnfois dérivable surIet dont lesnièmedérivées sont toutes continues surI. (a) Une fonction fde l"ensembleCn(I) est dite de classeCnsurI. (b) Sif2Cn(I),pour toutn2N,on dit alors quefest de classeC1surI.La classe C1(I) est donc c"est l"ensemble des fonctions admettant des dérivées supérieurs de tout ordre.D"après cette définition, nous déduisons que, C

0(I)¾C1(I)¾¢¢¢¾C1(I),

et que C

1(I)AE\

n2NCn(I).

Exemples :

-Les polynômes sont de classeC1(R). -Les fonctions rationnelles sont de classeC1sur leur domaine de définition. -La fonction suivante f(x)AE(x2sin(1x )si x2R\{0},

0si xAE0.

est dérivable surRmais n"est pas de classeC1(R).

Formule de Taylor et applications3

1.2. Opérations élémentaires sur les dérivées.Soitfetgdeux fonctions réelles définie surI,nous pouvons montrer facilement par récurrence

la propriété suivante.Propriété 1 Sifetgsontnfois dérivable surIet si¸2RalorsfÅget¸fsontnfois dérivable surIet

(fÅg)(n)AEf(n)Åg(n)(¸f)(n)AE¸f(n)Nous déduisons alors que la classeCn(I) est un espace vectoriel, pour toutn2N.

La formule de Leibniz

SoitnÊ1 un entier naturel. Sifetgsontnfois dérivables surI, alors leur produitf gest aussinfois dérivable surI,et on a la formule de Leibniz (f g)(n)AEnX iAE0Ã n i! f (i)g(n¡i) où les nombres entiers Ãn i! sont les coefficients binômiaux : n i!

AEn!i!(n¡i)!.

Démonstration de la formule de Leibniz.

On considère l"hypothèse de récurrence suivante; Hn: Sifetgsont deux fonctions dérivables à l"ordrensurI, alors le produitf gest aussi dérivable à l"ordrensurIet on a (f g)(n)AEnX iAE0Ã n i! f (i)g(n¡i). L"hypothèse de récurrenceHn,pournAE1,provient du simple fait que le produit de deux fonctions dérivable est aussi dérivable et de plus (f g)0AEf0gÅf g0. Fixons maintenant un entier naturelnÊ1 et supposons queHnest vérifiée. Soientfetgdeux

fonctions dérivables à l"ordrenÅ1 surI. D"après notre supposition,fetgsont donc dérivables

à l"ordrensurI,ainsi que leur produit et

(f g)(n)AEnX iAE0Ã n i! f (i)g(n¡i). Les fonctionsfietgn¡ipouri2{0,1,...,n}sont dérivables ( carfetgsontnÅ1 fois dérivables)

donc (f g)(n)est dérivable. Par conséquent le produitf gest aussinÅ1 fois dérivable. Nous

rappelons la formule suivante, dite du triangle de Pascal, Ãn i¡1!

ÅÃn

i!

AEÃnÅ1

i!

Formule de Taylor et applications4

Nous avons

(f g)(nÅ1)AE³ (f g)(n)´0AEnX iAE0Ã n i! f(i)g(n¡i)´0AEnX iAE0Ã n i! AE nX iAE0Ã n i! f (iÅ1)g(n¡i)ÅnX iAE0Ã n i! f (i)g(nÅ1¡i) AE nÅ1X iAE1Ã n i¡1! f (i)g(nÅ1¡i)ÅnX iAE0Ã n i! f (i)g(nÅ1¡i)

AEf(nÅ1)gÅf g(nÅ1)ÅnX

iAE1"Ã n i¡1!

ÅÃn

i!# f (i)g(nÅ1¡i) AE nÅ1X iAE0Ã nÅ1 i! f (i)g(nÅ1¡i).

Ceci entraine que l"hypothèseHnÅ1est satisfaite. Ainsi, la formule de Leibniz est démontée.Nous terminons cette section par la proposition suivante, que nous pouvons déduire à partir de

la propriété 1 et de la formule de Leibniz.Proposition 1 L"ensembleCn(I),oùn2N,muni de l"addition et de la multiplication habituelle des fonc- tions, est une algèbre.Exercice. Montrer qu"une fonctionf2Cn(I) est inversible dans l"algèbreCn(I) si et seulement si elle ne s"annule pas surI.

2. Fonctions convexes

Tout d"abord, on cherchera à se familiariser avec la notion de la convexité, et ensuite nous allons

établir le lien avec les fonctions dérivables. Rappelons que pour tous pointsa,b2Itels que aÉb AE {¸aÅ(1¡¸)b:¸2[0,1]} AE {¸1aŸ2b:¸1,¸22[0,1] et¸1Ÿ2AE1}.Définition 2 On dit quefest convexe surIsi pour tous pointsx,y2Iet tout scalaire¸2[0,1],

On dit aussi quefest concave si¡fest convexe.

Autrement dit, la fonctionfest convexe si l"image du barycentre est plus petite que le ba- rycentre des images. Notons aussi que dans la définition de la convexité, nous n"avons pas supposer que la fonctionfest continue.

Formule de Taylor et applications5

Exercices.Soitfune fonction réelle et convexe surI.

1.Montrer quefest convexe si et seulement si pour tous pointsx,y2Iet tous scalaires

¸1,¸22[0,1] vérifiant¸1Ÿ2AE1,on a 2.

Montrer que f2C0(I).

Interprétation géométrique de la convexité.

La figure suivante représente une courbe

convexeC(f) d"une fonction réellefcoupée par une droite en deux points d"abscissesxety.

L"image parfd"un point entrexetyest toujours plus petite que son image par la droite.xyC(f)Une droite coupantC(f)Exemples de fonctions convexes.

xy 1 0

1yAEexp(x)yAE(x¡1)2yAE¡ln(x)2.1. L"inégalité de Jensen

Une fonctionfest convexe sur un intervalleIsi et seulement si pour tous pointsx1,x2,¢¢¢,xn2I

et tous scalaires¸1,¢¢¢,¸n2[0,1] vérifiantPn iAE1¸iAE1,on a f nX iAE1¸ ixi!

ÉnX

iAE1¸ if(xi),(1.1)

Formule de Taylor et applications6

oùnÊ1 est un entier naturel, c"est l"inégalité de Jensen.

Exercice.Montrer par récurrence (1.1).

Démonstration.PournAE1,l"inégalité de Jensen est trivial, sans même supposer la convexité

def.PournÊ2,nous allons la montrer par récurrence. Remarquons que pournAE2,l"inégalité (1.1)n"est autre que la définition de la convexité. Supposons maintenant que(1.1)est bien

réalisé pour un entier fixenÊ2,et montrons la pournÅ1.Pour cela, on considère des points

x1,x2,¢¢¢,xnÅ12Iet des scalaires¸1,¸2¢¢¢,¸nÅ12[0,1] vérifiantPnÅ1

iAE1¸iAE1.Dans le cas où

¸nÅ1AE0,on en déduit le résultat trivialement de notre hypothèse de récurrence. Dans le cas où

¸nÅ16AE0,il est claire que

nAE1¡n¡1X iAE1¸ i6AE0

On pose

X nAE¸n® nxnŸnÅ1® nxnÅ1.

Puisque

n® nŸnÅ1® nAE1, doncXn2Iet d"après notre hypothèse de récurrence f(Xn)ɸn® nf(xn)ŸnÅ1® nf(xnÅ1).(1.2)

Nous avons

nÅ1X iAE1¸ ixiAEn¡1X iAE1¸ ixiŸnxnŸnÅ1xnÅ1 AE n¡1X iAE1¸ ixiÅ®nXn. Maintenant, nous appliquons encore une fois notre hypothèse de récurrence au points

x1,x2,¢¢¢,xn¡1,Xn2Iet aux scalaires¸1,¸2¢¢¢,¸n¡1,®n2[0,1],nous obtenons

f nÅ1X iAE1¸ ixi!

AEfÃ

n¡1X iAE1¸ ixiÅ®nXn! n¡1X iAE1¸ if(xi)Å®nf(Xn).(1.3)

Les inégalités (1.2) et (1.3) nous donne

f nÅ1X iAE1¸ ixi!

ÉnÅ1X

iAE1¸ if(xi). Ceci termine la démonstration de l"inégalité de Jensen.

2.2. Critères de convexité

Nous commençons par la propriété suivante.

Formule de Taylor et applications7

Propriété 2 : Critère de la pente croissante.La fonctionfest convexe surIsi et seulement si pour tout pointz2I, la fonctionÁzdéfinie

par z(x)AEf(x)¡f(z)x¡z,x2I\{z},(1.4) est croissante.Démonstration. Pour montrer queÁzest croissante, nous prenons deux pointsx,y2I\{z} tels quexÇyet nous considérons les trois cas suivants xÇzÇy,xÇyÇzetzÇxÇy. Pour chaque cas, la démonstration se déduit facilement du fait que pour tous pointsa,b,c2I tels queaÇcÇb,l"inégalité suivante f(c)¡f(a)c¡aÉf(b)¡f(c)b¡c est satisfaite si et seulement si

Nous allons maintenant se servir de la propriété 2 pour démontrer la propriété suivante.Propriété 3 : Critère de la dérivée.

Supposons que la fonctionfest dérivable surI. Alorsfest convexe surIsi et seulement sif0est croissante surI.Démonstration.Soity2I.Puisquefest dérivable, on peut calculer que 0

Pour queÁ0

yÊ0 il est nécessaire et suffisant que f

Ceci veut dire que lorsquexÇy

f

0(x)Éf(y)¡f(x)y¡x

et lorsqueyÇx f(x)¡f(y)x¡yÉf0(x). Par conséquent, la fonctionfest convexe surIsi et seulement si pour tous pointsx,y2I vérifiantxÇy,on a f

Le résultat de la propriété 3, se déduit de (1.5) et du théorème d"accroissements finis.

Formule de Taylor et applications8

Proposition 2 : Critère de la dérivée seconde.Soitfune fonction deux fois dérivable sur un intervalleI. Alorsfest convexe si et seule-

ment sif00Ê0 surI.Démonstration.Il découle directement de la propriété 3.

2.3. Inégalités de ConvexitéProposition 3 : Convexité et Extremum.

Soitfune fonction convexe et dérivable sur un intervalleI.S"il existe un pointx02Itel quef0(xo)AE0, alorsfadmet un minimum global enxosurI.Exemples. 1.

P ourtous points x1,x2,¢¢¢,xn2R,on a

nX kAE1x k! 2

ÉnnX

kAE1x2 k. La démonstration repose sur le fait que la fonctionx7!x2est convexe puisquef"(x)AE2Ê

0.Il suffit maintenant d"appliquer l"inégalité de Jensen pour tous scalaires¸1,¸2,¢¢¢,¸n2

[0,1] vérifiantnX kAE1¸ kAE1,on obtient alors nX kAE1¸ kxk! 2

ÉnX

kAE1¸ kx2 k, et puis considérer le cas particulier lorsque¸kAE1n 2.

P ourtous nombres a,b,cÈ0

abÅcÅbaÅcÅcaÅbÊ32 .(1.6) Pour montrer l"inégalité(1.6), on peut remarquer d"abord que(1.6)est équivalente à dire que pour tous nombresa,b,cÈ0 tels queaÅbÅcAE1,on a a1¡aÅb1¡bÅc1¡cÊ32 Ensuite, on applique la formule de Jensen à la fonction suivantef:x7!x1¡x,dont on peut vérifier facilement sa convexité puisqu"il est de classeC1sur son domaine de définition et en particulierf2C2(]0,1[). Exercice.Montrer que pour tous pointsx1,x2,¢¢¢,xnÈ0,on a n Y kAE1x1n kÉ1n n X kAE1x k. Autrement dit, la moyenne géométrique et toujours plus petit que la moyenne arithmétique. Pour la démonstration, on peut appliquer l"inégalité de Jensen à la fonction ln.

Formule de Taylor et applications9

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