[PDF] Recueil de notes pour le cours MAT 2100 : Analyse 3

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Recueil de notes

pour le cours MAT 2100 : Analyse 3

M. C.Delfour

D´epartement de math´ematiques et de statistique

Universit´e de Montr´eal

C.P. 6128, succ. Centre-ville

Montr´eal, Canada H3C 3J7

delfour@dms.umontreal.ca http://www.dms.umontreal.ca/˜delfour/

Version 9.0

Montr´eal, le 15 avril 2017

ii

Table des mati`eres

Pr´efacexi

Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

1 Des entiers naturels aux r´eels1

1 Nombres entiers naturelsN(+,·,<) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Nombres entiersZ(+,·,<) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Nombres rationnelsQ(+,·,<) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4 Nombres r´eelsR(+,·,<) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.1 Des fissures dans l"ensembleQdes rationnels . . . . . . . . . 5

4.2?Construction deR: les coupures de Dedekind . . . . . . . 7

4.2.1 D´efinition des coupures . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2.2 Relation d"ordre, addition et multiplication . . . . . 8

4.2.3 Propri´et´e P7 de compl´etude . . . . . . . . . . . . . 10

4.2.4 R´eels ´etendus

R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.3 Bornitudes, infimum et supremum . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.4 Densit´e des rationnels et des irrationnels dansR. . . . . . . 15

4.5 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.6 Repr´esentation d´ecimale des nombres r´eels . . . . . . . . . . . 18

5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Quelques notions ensemblistes et alg´ebriques 23

1 Relation, application et fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.1 Application et fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2 Relation binaire et relation d"´equivalence . . . . . . . . . . . 25

2 Cardinal et d´enombrabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1 D´efinitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Quelques r´esultats g´en´eraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3Rn"est pas d´enombrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4?Cardinalit´e du continucet cardinaux transfinis . . . . . . 33

2.5??0,?1,?2,?3,···, hypoth`ese du continu, et axiome du choix 34

3 Corps, ensemble ordonn´e et corps ordonn´e . . . . . . . . . . . . . .. 34

3.1 Corps et corps commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Ensemble ordonn´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Corps ordonn´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

iii ivTable des mati`eres

4 Nombres complexes et hypercomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2?Nombres hypercomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 Topologie et suites dans les espaces m´etriques 47

1 Espace vectoriel, norme, produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.1 L"espaceRn,n≥1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.2 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.3 Norme et espace vectoriel norm´e . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.4 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2 M´etrique et espace m´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.1 D´efinition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2 Quelques propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3 Ensemble ouvert et ensemble ferm´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.1 Boule ouverte et boule trou´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2 Ensemble ouvert et int´erieur d"un ensemble . . . . . . . . . . 60

3.3 Ensemble ferm´es et adh´erence d"un ensemble . . . . . . . . . 64

3.4 Fronti`ere d"un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4 Ensembles compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5 Caract´erisation de la compacit´e dansRk. . . . . . . . . . . . . . . . 75

6 Suites de Cauchy, compl´etude et compl´et´e . . . . . . . . . . . . .. . 79

6.1 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2 Espace m´etrique complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.3 Compl´et´e d"un espace m´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7 Compacit´e et compacit´e s´equentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8 Ensembles parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9 Ensembles connexes et ensembles convexes . . . . . . . . . . . . . . . 96

9.1 Ensembles connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9.2 Ensembles convexes, sous-ensembles lin´eaire et affine . . . . . 100

10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4 Fonctions, limites et continuit´es107

1 Rappels sur les applications et les fonctions . . . . . . . . . . . . . . 107

2 Limite d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2.1 Limite d"une fonction en un point d"accumulation . . . . . . 109

2.2 Limite d"une fonction d"une variable r´eelle aux infinis . . . . 113

2.3 Limite inf´erieure et limite sup´erieure d"une fonction `a valeurs

r´eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.1 D´efinitions et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.2 Application ouverte ou ferm´ee, hom´eomorphisme . . . . . . . 120

3.3 M´etriques ´equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.4 Prolongement continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4 Continuit´e et compacit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5 Continuit´e et connexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Table des mati`eresv

6 Fonctions uniform´ement continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.1 D´efinitions et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.2 Prolongement uniform´ement continu . . . . . . . . . . . . . . 141

7 Fonctions lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.1 D´efinitions et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.2 Prolongement lipschitzien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

8 Application contractante et th´eor`eme du point fixe . . . . . . . . .. 145

9 Fonctions d"une variable r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

9.1 Limites `a gauche, limites `a droite, discontinuit´es . . . . . . . 146

9.2 Fonction monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

9.3?Fonction `a variation born´ee, fonction absolument continue 150

10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5 Espaces vectoriels, convergences et applications lin´eaires 155

1 Rappels : espace vectoriel, norme, et espace de Banach . . . . . . .. 155

2 Suites, espaces et s´eries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

2.1 Convergences des suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . 157

2.2 Espaces de Banach de fonctions born´ees/continues . . . . . . 161

2.3 Espace de fonctions lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . 164

2.4 S´eries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

3?Espaces de Banach de fonctions diff´erentiables . . . . . . . . . . . 167

4 Produit scalaire et espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5 Applications lin´eaires et lin´eaires continues . . . . . . . . . . . . . . 172

6 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.1 Espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.2 L"espace des applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . 178

6.3 Orthogonalit´e et transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

7 Groupe g´en´eral lin´eaire : m´etriques et compl´etude . . . . . .. . . . 185

7.1 Rappels sur la notion de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . 185

7.2 D´efinition et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

7.3 Une premi`ere m´etrique sur GL(n) . . . . . . . . . . . . . . . 188

7.4?Une seconde m´etrique sur GL(n) invariante `a droite . . . . 189

8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6 D´eriv´ee, d´eriv´ees directionnelles et diff´erentielles 199

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

2 Fonctions num´eriques d"une variable r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . 200

2.1 Continuit´e et diff´erentiabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

2.2 Th´eor`eme de la moyenne ou des accroissements finis . . . . . 204

2.3 Propri´et´e de la d´eriv´ee d"une fonction d´erivable partout .. . 206

2.4 Th´eor`eme de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

3 Fonctions de plusieurs variables r´eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

3.1 D´eriv´ee directionelle et diff´erentielle au sens de Gateaux . . . 208

3.1.1 D´efinitions et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . 208

3.1.2 Op´erations alg´ebriques et premiers exemples . . . . 209

3.1.3 Gateaux diff´erentiabilit´e n"entraˆıne pas continuit´e . 212

viTable des mati`eres

3.1.4 D´eriv´ees partielles, gradient, application et matrice

jacobiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

3.2 Approche g´eom´etrique `a la diff´erentielle . . . . . . . . . . . . 216

3.3 D´eriv´ee directionnelle et diff´erentielle au sens de Hadamard . 220

3.3.1 Formulation ´equivalente `a l"approche de Hadamard 220

3.3.2 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

3.3.3 Continuit´e des fonctions Hadamard directionnelle-

ment d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

3.3.4 Op´erationsalg´ebriquessur les d´eriv´eesdirectionnelles

et les diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

3.3.5 D´erivation et diff´erentiation en chaˆıne des fonctions

compos´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

3.4 Diff´erentielle de Fr´echet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

3.5 Fonctions lipschitziennes et diff´erentiabilit´e . . . . . . . . . . 236

3.5.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

3.5.2 Gateaux d´erivabilit´e et Lipschitzit´e donnent Hada-

mard d´erivabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

3.6 Th´eor`eme de la moyenne pour les fonctions vectorielles . . . . 238

3.7 Fonctions de classesC(p),p≥0, et matrice hessienne . . . . . 241

3.7.1 ClassesC(0)etC(1). . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

3.7.2 ClasseC(2), matrice hessienne et classeC(p). . . . 244

3.8 G´en´eralisation et perspectives : les semi-diff´erentielles . . . . 248

3.9 Tableau des notions de d´erivabilit´e et de diff´erentiabilit´e . . . 249

4 Fonctions convexes et optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

4.1 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

4.2 Fonctions convexes directionnellement d´erivables . . . . . . . 251

4.3 Optimisation convexe : condition n´ecessaire et suffisante . . . 254

4.4 Optimisation diff´erentiable sans contraintes : conditions

n´ecessaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

5 Th´eor`emes de la fonction inverse, de la fonction implicite et du rang 260

5.1 Th´eor`eme de la fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

5.2 Th´eor`eme de la fonction implicite . . . . . . . . . . . . . . . . 264

5.3 Th´eor`emes du rang et des multiplicateurs de Lagrange . . . . 266

6?D´eterminants et formules de changement de variable . . . . . . . . 275

6.1 Formule de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

6.2 Formule de Laplace ou formule de r´ecurrence . . . . . . . . . 282

6.3 Comatrice ou matrice des cofacteurs et calcul de l"inverse . . 285

6.4 Aire, volume et leur g´en´eralisation en dimensionn >3 . . . . 286

6.5 Formule de changement de variable pour l"int´egrale de volume 288

6.6 Int´egrale de ligne, de surface et de sous-vari´et´es de dimension

sup´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

Annexe A. Corrig´es des exercices297

1 Exercices du Chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

2 Exercices du Chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

Table des mati`eresvii

3 Exercices du Chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

4 Exercices du Chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

5 Exercices du Chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

6 Exercices du Chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

El´ements de bibliographie357

viiiTable des mati`eres

Table des figures

1.1 Richard Dedekind (1831-1916). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Georg Cantor (1845-1918). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 William Rowan Hamilton (1805-1865). . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3 Plaque comm´emorative de la naissance des quaternions sur le pont de

Broom (Dublin).

?Ici, le 16 octobre 1843, alors qu"il se promenait, Sir William Rowan Hamilton d´ecouvrit dans un ´eclair de g´enie la formule fondamentale sur la multiplication des quaternionsi2=j2=k2= ijk=-1 et la grava sur une pierre du pont.?. . . . . . . . . . . . 44

3.1 Maurice Ren´e Fr´echet (1878-1973). . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55

3.2 Felix Hausdorff (1868-1942). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3 Augustus De Morgan (1806-1871). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.4 Heinrich Eduard Heine (1821-1881). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.5 F´elix Edouard Justin

´Emile Borel (1871-1956). . . . . . . . . . . . . 78

3.6 Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (1781-1848). . . . . .. 79

3.7 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897)et Sofia Kovalevska¨ıa

(1850-1891). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.8 Augustin Louis Cauchy (1789-1857). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.9 L"ensemble de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.1 Exemples de fonctions

f. PourE=R, la limiteydef(x)enaexiste pour les seconde et troisi`eme fonctions, mais pas pour la premi`ere. . 110

4.2 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859). . . . . . . .. . 111

4.3 Limite de

sin(1/x)ena= 0? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.4 Heinrich Franz Friedrich Tietze (1880-1964). . . . . . . . . . . . . . 128

4.5 Construction de l"escalier de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.1 Exemples de d´eriv´ees `a droite et `a gauche. . . . . . . . . . . . . .. . 202

6.2 Exemples 3.2 et 3.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

6.3 Exemple 3.3 (´echelle logarithmique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

6.4 Exemple 3.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

6.5 Fonction convexe et fonction concave . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

6.6 Tangence du convexe

U`a l"ensemble de niveau defpassant parx?U.254

ix xTable des figures

6.7 Tangence du sous-espace affineAou lin´eaireS`a un ensemble de

niveau def. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

6.8 Demi-tangente

dh(0;+1)au cheminh(t) dansUau pointh(0) =x. . 270

6.9 Fonction de l"Exercice 7.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

Pr´eface

Orientation

Ce recueil de notes de cours s"appuie principalement sur les chapitres 1, 2, 4,

7 et 9 du livre deW. Rudin[1] qui est un grand classique dans le domaine en

Am´erique du Nord. On pr´esume que les notions fondamentales en dimension un

(topologie, suites, s´eries, d´eriv´ees, int´egrale de Riemann, etc.) ont ´et´e acquises dans

un premier cours d"analyse (par exemple, MAT 1000). Il n"est pas possible dans le cadre d"un cours d"une session d"inclure l"int´egrale de Lebesgue. La partie sur les espaces m´etriques est consid´erablement augment´ee pour aller au del`a des principales d´efinitions et r´esultats et en entrevoir lesapplications et les retomb´ees. C"est le cadre le plus g´en´eral dans lequel tout peutse faire via la notion de suite sans imposer de structure alg´ebrique. La notion de m´etrique d´ej`a tr`es pr´esente en g´eom´etrie se retrouve de nos jours un peu partout comme, par exemple, en intelligence artificielle, en th´eorie du codage (m´etrique de Hamming), en th´eorie des graphes, en analyse des donn´ees, en statistique et en imagerie. On a choisi de donner un traitement exhaustif de la compacit´e, de la compacit´e s´equentielle, du compl´et´e et de la compl´etude. On fleurte un peu avec la topologie g´en´erale et l"analyse fonctionnelle. Un des objectifs importants est d"appuyer les notions abstraites par des cons- tructions et des exemples concrets d"espaces m´etriques. La partie sur la continuit´e et la convergence uniforme donnent l"occasion de construire les premiers espaces m´etriques de fonctions.`A l"aide de la fonction caract´eristique et de la fonction distance on construit aussi des m´etriques sur l"ensemble des sous-ensembles d"un ensemble arbitraire. On retrouve entre autres la m´etrique de Pomp´eiu-Hausdorff. On donne aussi deux exemples de m´etriques compl`etes sur le groupe g´en´eral lin´eaire dont l"une est invariante `a droite.

La partie sur la diff´erentiabilit´e a ´et´e consid´erablement d´evelopp´ee pour bien

mettre en lumi`ere le passage de la notion de d´eriv´ee en dimension un `a celle de diff´erentielle `a partir de la dimension deux. Ces notions se prolongent quasi- int´egralement aux espaces vectoriels de dimension infinie menant naturellement au Calcul des variations et de ses rejetons, mais aussi au calcul diff´erentiel sur des sous- vari´et´es r´eguli`eres de l"espace euclidien. On ne peut malheureusement dans le cadre d"un cours d"une session aller au del`a de quelques applications en optimisation et xi xiiPr´eface de l"obtention des gros th´eor`emes de la fonction inverse, de la fonction implicite et de quelques formes du th´eor`eme du rang. Il y a plusieurs directions pour la suite de ce cours, mais l"int´egrationest prioritaire. L"int´egration de Riemann, de Riemann-Stieljes et de Lebesgue sont des sujets incontournables. Le livre suivant (au moins la premi`ere moiti´e qui serait l"´equivalent d"une session au DMS) est fortement recommand´e : R.L. Wheeden and A. ZygmundMeasure and integral, Marcel Dek- ker, New York and Basel, 1977. Avec l"int´egrale de Lebesgue, on obtient l"exemple d"un espace de Hilbert de fonc- tions. Avec la th´eorie des distributions, on obtient les espaces de Sobolev qui sont

fondamentaux en ´equations aux d´eriv´ees partielles. Un autre sujet est la g´eom´etrie

diff´erentielle. Voir, par exemple, le livre suivant : M. Berger et B. GostiauxG´eom´etrie diff´erentielle : vari´et´es, courbes et surfaces, 2-eme ´ed., Presses Universitaire de France, Paris, 1992. (tra- duction anglaise, Differential geometry : Manifolds, curves and surfaces,

Springer-Verlag, New York, 1988.

Un autre est l"optimisation avec les id´ees de semicontinuit´e et de semi-diff´erentielles qui prolongent et compl`etent les notions correspondantes vues dans le cours : M. Delfour,Introduction `a l"optimisation et au calcul semi-diff´erentiel, Collection Sciences Sup., Math´ematiques appliqu´es pour le Master/SMAI,

Dunod, Paris 2012.

La version anglaise de ce livre

M. Delfour,Introduction to optimization and semidifferential calcu- lus, SIAM-MOS series, Society for Industrial and Applied Mathematics,

Philadelphia, USA, 2012.

existe aussi sous forme ´electronique. Elle peut s"obtenir gratuitement (chapitre par chapitre) `a partir d"une machine du r´eseau de l"Universit´e de Montr´eal `a l"adresse suivante : http ://epubs.siam.org/doi/book/10.1137/1.9781611972153

Michel Delfour

Montr´eal, le 1 janvier 2017

Chapitre 1Des entiers naturelsaux r´eels

1 Nombres entiers naturelsN(+,·,<)

On prend comme point de d´epart l"ensemble des

entiers naturels

Nd´ef={1,2,3,...}

sur lequel on d´efinit une addition et une multiplication. L" addition+ :N×N→N ?x,y?N, x+y?N qui a comme propri´et´es :

P1(commutativit´e)x+y=y+x

P2(associativit´e) (x+y) +z=x+ (y+z).

La multiplication·:N×N→Nquotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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