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ANALYSE 3

Cours de Licence MIE, 2eme annee

Departement MIDO

Annee universitaire 2017-2018

Olivier Glass

Sur la base des notes de Pierre Cardaliaguet et Daniela Tonon

Table des matieres

1 Preliminaire : Suites de Cauchy 1

1.1 Deux resultats connus sur les suites numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2 Series numeriques 3

2.1 Series numeriques : vocabulaire et proprietes fondamentales . . . . . . . . . . . . . .

3

2.2 Serie a terme general positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3 Series semi-convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.4 Quelques exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3 Integrales generalisees 15

3.1 Integrale generalisee sur un intervalle non borne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.2 Integrale generalisee sur un intervalle borne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.3 Integrale doublement generalisee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.4 Calcul integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.5 Quelques exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

4 Suites et series de fonctions 23

4.1 Convergence simple et uniforme d'une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . .

23

4.2 Proprietes de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

4.3 Series de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

4.4 Quelques exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

5 Series entieres29

5.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

5.2 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

5.3 Operations sur les series entieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

5.4 Convergence, continuite, derivabilite et integrabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

5.5 Developpement d'une fonction en serie entiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

5.6 Quelques exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

6 Series de Fourier 37

6.1 Coecients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

6.2 Convergence simple du developpement en serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . .

41
i

6.3 Convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

6.4 Fonctions de periode quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

7 Appendice 1 : Rappels sur l'ordre deR47

8 Appendice 2 : Developpements limites et equivalents 49

8.1 Developpements limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

8.2 Application des developpements limites a la recherche d'equivalents . . . . . . . . . .

51

9 Appendice 3 : L'integrale denie 55

9.1 Existence d'une primitive et denition de l'integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

9.2 Calcul d'integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56
ii Le polycopie qui suit peut avoir des dierences notables avec le cours dispense en amphi (qui seul xe le programme de l'examen). Il comporte des passages qui ne seront pas traites en amphi, et a contrario dans ce dernier pourront ^etre donnes des complements ne gurant pas dans ces notes, les preuves ^etre plus detaillees, etc. Les trois derniers chapitres apportent des rappels (qui ne pretendent pas ^etre exhaustifs) de premiere annee. La ma^trise de ces outils de premiere annee estindispensablepour pouvoir bien aborder ce cours de deuxieme annee. Il est donc fortement conseille de lire ces chapitres regulierement pour s'assurer que ces notions sont bien acquises. iii iv

Chapitre 1

Preliminaire : Suites de Cauchy

Introduction.Ce court chapitre introduit une notion essentielle en analyse : celle des suites de Cauchy. Pour les suites numeriques (et plus tard, pour des suites a valeurs dans d'autres espaces), cela est en eet un outil fondamental qui permet de montrer qu'une suite converge, sans conna^tre sa limite.

1.1 Deux resultats connus sur les suites numeriques

Il est tres souvent utile de montrer qu'une suite convergesans conna^tre sa limite a l'avance. Cela permet par exemple de montrer l'existence de reels satisfaisant certaines proprietes, en les introduisant comme la limite de suites dont on montre qu'elles convergent a l'aide de theoremes connus. Montrer qu'une suite est de Cauchy sera precisement un moyen pour montrer qu'une suite converge. Avant d'introduire cette notion, rappelons deux resultats qui, eux aussi, montrent qu'une suite (ou une sous-suite) converge, sans conna^tre sa limite. Ces deux resultats ont ete vus en premiere annee et peuvent ^etre consideres comme des consequences de la propriete de la borne superieure ou du theoreme des segments embo^tes (voir le Chapitre 7). Theoreme 1.1.Toute suite croissante et majoree deRadmet une limite nie. Theoreme 1.2(Bolzano-Weierstrass).Soit(xn)une suite bornee de reels. Alors(xn)possede une sous-suite qui converge.

1.2 Suites de Cauchy

Venons-en a l'objet principal du chapitre. La denition suivante sera tres souvent utilisee dans ce cours. Denition 1.3.On dit qu'une suite(xn)est de Cauchy si

8" >0;9n0;8nn0;8p0;jxn+pxnj " :

Heuristiquement, cela signie que les termes de la suite sont proches les uns des autres lorsque nest grand. On montre facilement que : Proposition 1.4.Toute suite qui admet une limite nie est de Cauchy. 1 Demonstration.Soit (xn) une suite qui admet une limite niel. Alors

8" >0;9n0;8nn0;jxnlj "2

On a donc que, pour le m^emen0;8nn0,

8p0;jxn+pxnj jxn+plj+jlxnj "2

+"2 =" :Proposition 1.5.Toute suite de Cauchy est bornee. Demonstration.Soit (xn) une suite de Cauchy. Alors

8" >0;9n0;8nn0;8p0;jxn+pxnj " :

En particulier pour"= 1

9n0;8p0;jxn0+pxn0j 1:

Donc, a partir du rangn0, les termes de la suite appartiennent a une boule de rayon 1 et centrexn0.

Par consequent, la suite (xn) est bornee vu que les termesx0;:::xn01sont en nombre ni.La completude deR, propriete essentielle decrite dans le resultat suivant, peut ^etre vue comme

une consequence du Theoreme 1.2. Theoreme 1.6.DansR, toute suite de Cauchy est une suite convergente. Demonstration.Soit (xn) une suite de Cauchy dansR. Grace a la Proposition 1.5, elle est bornee et grace aux Theoreme 1.2 elle possede une sous-suite qui converge. Soitla fonction strictement croissante deNdansNqui identie la sous-suite convergente (x(n)) et soitl2Rsa limite.

Alors8" >0;

9n0;8nn0;jx(n)lj "2

et

9n1;8nn1;8p0;jxn+pxnj "2

Or,8nmaxfn0;n1g, vu que(n)n;8n2Ncarest strictement croissante, jxnlj jxnx(n)j+jx(n)lj "2 +"2

et donc (xn) converge.Remarque.Le corps des rationnelsQn'est pas complet. Autrement dit, il existe des suites de

Cauchy dansQqui ne sont pas convergentes. N'importe quelle suite de rationnels qui converge vers un irrationnel est de Cauchy (parce qu'elle admet une limite nie dansR) mais elle ne converge pas dansQ, car la limite n'y appartient pas. 2

Chapitre 2

Series numeriques

Introduction.Dans cette partie on s'interesse aux series numeriques, c'est-a-dire aux suites de la forme (Pn k=0xk), ou (xk) est elle-m^eme une suite numerique. Nous limiterons les enonces au cas des series de terme general reel (i.e.,xn2Rpour toutn). Cependant les series de terme general complexe (xn2Cpour toutn) se traitent exactement de la m^eme facon, a condition de remplacer la valeur absolue par le module.

2.1 Series numeriques : vocabulaire et proprietes fondamentales

Denition 2.1.On appelle serie numerique une suite dont le terme generalSnest de la forme S n=nX k=0x k8n2N ou(xn)est une suite numerique, i.e., une suite a termes reels. Vocabulaire.Le reelxns'appelle leterme generalde la serie, (Sn) la suite de sessommes partielles. Remarque.Il arrive que la suite(xn)ne soit denie qu'a partir d'un certain rangn0: par exemple, la suite de terme general1=nn'est denie qu'a partir den0:= 1. Dans ce cas, on etudie les sommes partielles sont denies par S n=xn0+xn0+1++xn=nX k=n0x k8nn0: Par exemple, pour la serie de terme generalxn= 1=n, on considere la suite des sommes partielles (Sn)denie par S n= 1 + 1=2 + 1=3 ++ 1=n8n1: Pour simplier la presentation,on supposera dans tous les enonces que le terme general de la serie est deni pour toutn0, tous les resultats pouvant^etre adaptes de facon immediate au cas general. 3 Denition 2.2.On dit que laseriede terme generalxnconvergesi la suite des sommes partielles (Sn)denie par S n=x0+x1++xn=nX k=0x k admet une limite reelle. Dans ce cas, on appellesomme de la serie de terme generalxnla limite de la suite(Sn), et la note1X k=0x k: 1 X k=0x k= limn!+1Sn: Si la serie de terme general ne converge pas, on dit qu'ellediverge. Exemple.Sixn=anaveca6= 1, alors on montre par recurrence que la somme desnpremiers termes d'une suite geometrique est donnee par S n=nX k=0a k=1an+11a: Par consequent la serie de terme generalanconverge si et seulement si la suite(Sn)de terme generalSn= (1an+1)=(1a)possede une limite reelle, i.e., si et seulement sijaj<1. Dans ce cas1X k=0a k= limn!+11an+11a=11a: On note que sia >1, alorslimn!+1Sn= +1, tandis que sia 1, alorsSnne possede pas de limite. Enn, dans le cas oua= 1, on aSn=n+1et donclimn!+1Sn= +1: la serie de terme generalxn= 1ne converge donc pas.Commencons par quelques proprietes simples et fondamentales. Proposition 2.3.Si la serie de terme generalxnconverge, alors lasuitede terme generalxn converge vers0. Si lasuite(xn)ne tend pas vers0, alors laseriede terme generalxndiverge. Exemple.Une serie dont le terme general est constant ne converge que si son terme general est nul. Remarque.Attention! La reciproque de cette proposition est fausse : la serie de terme general

1=nne converge pas (voir plus loin), alors que la suite(1=n)tend vers0...

Demonstration de la proposition.Nous observons pour commencer que la seconde assertion de l'enonce est la contraposee de la premiere. Montrons donc cette premiere assertion. Soit (Sn) la suite des sommes partielles de la serie. Comme la serie converge, la suite (Sn) possede une limite nie, et est donc de Cauchy :

8" >0;9n0tel que8nn0;8p0;jSn+pSnj " :

En particulier, pour tout" >0, il existe un rangn0tel que, pour toutnn0et pourp= 1, jxn+1j=jSn+1Snj " :

Donc (xn) tend vers 0.4

Proposition 2.4(Linearite).Si les series de terme generalxnetynconvergent, et sietsont deux nombres reels, alors la serie de terme generalxn+ynconverge et sa somme vaut 1 X n=0(xn+yn) =1X n=0x n+1X n=0y n: Demonstration.La preuve est immediate par passage a la limite lorsqueN!+1dans l'egalite : N X n=0(xn+yn) =NX n=0x n+NX n=0y n:Une des questions majeures lorsque l'on etudie une serie reelle est de savoir si celle-ci converge ou non. En eet, le calcul exact de la limite est la plupart du temps dicile, voire impossible. Pour

savoir si une serie converge ou non, on utilise des \criteres de convergence", i.e., des regles \simples"

permettant de decider si la serie converge, ou non. Avant d'etablir ces regles, il nous faut mieux comprendre le probleme. Montrons d'abord que la question de la convergence d'une serie ne depend que de comportement a l'inni (c'est-a-dire pour \ngrand") : Proposition 2.5.On considere deux series, de terme generalxnetynrespectivement. On suppose que les suites(xn)et(yn)concident \pour toutnassez grand" : autrement dit, on suppose qu'il existen00tel que, pour toutnn0,xn=yn. Alors la serie de terme generalxnconverge si et seulement si la serie de terme generalynconverge. Demonstration.Notons la suite des sommes partielles de (xn) par (Sn) et celle de (yn) par (S0n).

Pour toutnn0, on a :

S

0n=Sn+n

01X k=0y kn 01X k=0x k; et donc les suites (Sn) et (S0n) ne dierent que de la constantePn01 k=0ykPn01 k=0xkpournn0.

Par consequent, si la suite (Sn) a une limite nie, alors (S0n) aussi, et si (Sn) n'a pas de limite, alors

(S0n) non plus.

En cas de convergence, on a bien s^ur

1 X k=0y k=1X k=0x k+n 01X k=0y kn 01X k=0x k:

En particulier, comme

Pn01 k=0ykPn01 k=0xkn'est pas forcement nul, les sommes des series ne sont en general pas egales.Denition 2.6.Lorsque la serieP1 k=0xkconverge, on appelle reste de la serie la suite(Rn)denie par R n=1X k=n+1x k8n2N: On notera que la suite (Rn) tend vers 0. En eet, si on pose`=P1 k=0xk, alors, d'apres la linearite des sommes des series entieres, `Rn=nX k=0x k!`quandn!+1: 5

DoncRn!0.Le premier critere de convergence, decrit ici, est fondamental. Il repose sur la denition suivante :

Denition 2.7.On dit que la serie de terme generalxnestabsolument convergentelorsque la serie de terme generaljxnjconverge. Theoreme 2.8.Une serie absolument convergente est convergente. Autrement dit, si la serie de terme generaljxnjconverge, alors la serie de terme generalxnconverge aussi. Remarque.Attention! La reciproque est fausse en general... Nous verrons par exemple que la serie de terme general(1)n=nest convergente, mais pas absolument convergente. Demonstration.Soit (Sn) la suite des sommes partielles de la serie de terme generalxnet (n) celle de terme generaljxnj. Comme la serie de terme generaljxnjconverge, la suite (n) est de

Cauchy :

(2.1)8" >0;9n0tel que8nn0;8p0;jn+pnj " :

Notons que

n+pn=n+pX k=n+1jxkjet queSn+pSn=n+pX k=n+1x k CommeRest complet, pour montrer la convergence de la serie de terme generalxn(i.e., que la suite (Sn) a une limite nie), il sut de montrer que la suite (Sn) est de Cauchy. Pour cela, xons " >0 et choisissonsn0comme dans (2.1). On a alors, pour toutnn0et pour toutp0, jSn+pSnj= n+pX k=n+1x k n+pX k=n+1jxkj= n+pn" ;

ou la seconde inegalite vient de l'inegalite triangulaire, et la derniere de (2.1). Par consequent nous

avons montre que la suite (Sn) est de Cauchy, ce qui implique qu'elle converge dansR, et donc que

la serie de terme generalxnconverge.Le theoreme precedent explique l'importance des series a terme general positif, dont l'etude fait

l'objet du paragraphe suivant. En eet, pour une serie dont le terme generalxnchange de signe, on etudie d'abord la serie de terme generaljxnj: si cette serie converge, alors on est assure de la convergence de la serie de terme generalxnconverge.Bien noter cependant que, si la serie de terme generaljxnjdiverge, on ne sait rien sur la serie initiale.

2.2 Series a terme general positif

Commencons d'abord par une remarque evidente, mais fondamentale. Proposition 2.9.Si le terme general de la serie est positif, alors la suite des sommes partielles est positive et croissante. En particulier, il n'y a que deux cas possibles : Cas 1 : la suite(Sn)est majoree. Dans ce cas,(Sn)est une suite croissante et majoree et donc admet une limite nie : la serie converge. Cas 2 : la suite(Sn)n'est pas majoree. Dans ce cas, elle tend vers+1, et la serie diverge. 6 Demonstration.Supposons quexn0 pour toutn. AlorsSn=x0+x1++xnest une somme de reels positifs, et est donc positif. De plus, S n+1Sn=xn+108n0

La suite (Sn) est donc croissante.Un exemple fondamental est le suivant. Il jouera un r^ole particulier par la suite.

Exemple.

S eriesde terme g eneral1=n, pour2R.La convergence de la serie de terme general1=ndepend du parametre2R, ainsi que decrit dans la proposition suivante. Proposition 2.10.La serie de terme general1=nconverge si et seulement si >1.

Demonstration.

1.Notons pour commencer que si0, alors la suite (1=n) ne tend pas vers 0, et donc que la

serie ne converge pas. Pour traiter le cas >0, nous comparons les sommes partielles de la serie avec une integrale que l'on sait calculer.

2.Supposons que >1. Pour montrer que la serie converge, il sut de montrer que la suite des

sommes partielles (Sn) est majoree. Notons que, comme la fonctionx7!1=xest decroissante, on a1k 1x

8x2[k1;k];8k2:

Pourk2, integrons l'inegalite ci-dessus entrek1 etk(intervalle de longueur 1) : 1k Z k k1dxx Sommons l'inegalite ainsi obtenue pourkallant de 2 an: n X k=21k Z n 1dxx Par consequent, pour toutn2, on a (en n'oubliant pas que 1 <0) : S n= 1 +nX k=21k 1 +Z n 1dxx = 1 +x11 n 1 = 1 +n1111 +11: Donc la suite (Sn) est majoree, ce qui montre que la serie de terme general 1=nconverge.

3.On suppose maintenant que= 1. Nous allons montrer que la suite des sommes partielles (Sn)

de la serie de terme general 1=ntend vers +1. Pour cela, nous cherchons a minorerSn. Comme la fonctionx7!1=xest decroissante, on a 1k 1x

8x2[k;k+ 1];8k1:

Pourk1, on integre l'inegalite ci-dessus entreketk+ 1 (intervalle de longueur 1) : 1k Z k+1 kdxx puis on somme l'inegalite ainsi obtenue pourkallant de 1 an: S n=nX k=11k Z n+1 1dxx = ln(n+ 1): 7 Comme la suite (ln(n+ 1)) tend vers +1lorsquen!+1, la suite (Sn) aussi. Donc la serie de terme general 1=ndiverge.

4.Pour nir, considerons le cas2]0;1[. On fait exactement les m^emes calculs que dans le cas

= 1, en remplacant la fonctionx7!1=xpar la fonctionx7!1=x, pour obtenir l'inegalite S nZ n+1 1dxx

=(n+ 1)111!+1quandn!+1:Voici les criteres simples de convergence qui doivent ^etre connus, et qui sont developpes dans la

suite : critere de comparaison pour les series a termes positifs, critere d'equivalence pour les series a termes positifs, criteres de Cauchy et de D'Alembert, critere enn. Proposition 2.11(Critere de comparaison pour les series a termes positifs).Soient deux series de terme general positif(xn)et(yn). On suppose qu'il existe un rangn0tel que

8nn0; xnyn:

Alors :

si la serie de terme generalynconverge, alors la serie de terme generalxnconverge aussi. si la serie de terme generalxndiverge, alors la serie de terme generalyndiverge aussi. Remarque.Attention : ce critere n'est valable que pour les series a terme general positif. Voici un contre-exemple lorsque le terme general de la serie change de signe : on posexn=1etyn= 0. Alorsxnyn, la serie de terme generalynconverge, mais la serie de terme generalxndiverge. Exemple.En pratique, on se sert du critere de la facon suivante : etant donnee une serie de terme general positifxn, on cherche une serie de terme general positifyn\simple" telle queynmajore (ou minore)xnpour toutn. Par exemple, sixn=jsin(n)j=2n, on note que 0xn(1=2)n. Comme la serie de terme generalyn= (1=2)nconverge, on deduit du critere de comparaison que la serie de terme generalxnconverge aussi. Demonstration du critere de comparaison pour les series a termes positifs.Du fait de la Proposi- tion 2.5 on peut supposer sans perte de generalite quen0= 0. Soit (Sn) la suite des sommes partielles de (xn) et (n) celle de (yn). Par hypothesexnynpour toutn, et donc on aSnn pour toutn. Supposons d'abord que la serie de terme generalynconverge. Alors on a S nn1X k=0y k8n0: Donc la suite (Sn) qui est croissante, est egalement bornee. Par consequent elle possede une limite reelle, ce qui prouve la serie de terme generalxnconverge. Supposons maintenant que la serie de terme generalxndiverge. Alors on a S nn avecSn!+1. Donc n!+1, ce qui prouve que la serie de terme generalyndiverge.8 Denition 2.12.Rappelons que deux suites(xn)et(yn)sont equivalentes sixnetynne s'annulent pas pour toutnassez grand et si lim n!+1y nx n= 1: On notexnyn(quoique ce soit une propriete de la suite entiere et non de sonn-ieme terme). On rappelle que cette notion denit une relation d'equivalence sur les suites qui sont non nulles a partir d'un certain rang, i.e., xnxn(Re exivite) sixnyn, alorsynxn(Symetrie) sixnynetynzn, alorsxnzn(Transitivite) Rappelons enn que le calcul d'un equivalent simple d'une suite donnee passe le plus souvent par

l'utilisation des developpements limites (cf. l'appendice pour des rappels sur les equivalents et les

developpements limites en Section 8.2). Proposition 2.13(Critere d'equivalence pour les series a termes positifs).Soient deux series de terme general positifxnetyn. On suppose que les suites(xn)et(yn)sont equivalentes. Alors la serie de terme generalxnconverge si et seulement si la serie de terme generalynconverge. Proposition 2.14(Critere de Cauchy).On considere une serie de terme generalxnstrictement positif. Si la suite((xn)1n )possede une limite0` 1, alors : si` <1, la serie de terme generalxnconverge, si` >1, la serie de terme generalxndiverge. Proposition 2.15(Critere de D'Alembert).On considere une serie de terme generalxnstricte- ment positif. Si la suite(xn+1=xn)possede une limite0` 1, alors : si` <1, la serie de terme generalxnconverge, si` >1, la serie de terme generalxndiverge. Remarque.Et si`= 1? Dans ce cas, on ne sait pas conclure (que ce soit pour le critere de Cauchy ou celui de D'Alembert), sauf a ajouter d'autres hypotheses... Proposition 2.16(Critere enn).On considere une serie de terme generalxnpositif. Alors : s'il existe un reel >1tel que la suitenxnpossede une limite reelle nie, alors la seriequotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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